非实验室环境下的大学物理实验之二 利用家中自制的三线扭摆测物体的转动惯量

湖南大学物理实验中心 非实验室环境下的大学物理实验之二 利用家中自制的三线扭摆测物体的转动惯量利用家中自制的三线扭摆测物体的转动惯量 实验目的实验目的 1. 学习测量物体转动惯量的一种简便方法三线扭摆法。 2. 通过实验加深对转动惯量、机械能守恒定律、简谐振动等概念和理论的理解。 3. 学习如何利用手机 App 对物理量进行定量测量。 实验原理实验原理 转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度，它与物体的总质量、形状、质量分布和转轴 位置等有关，测量物体转动惯量的大小有很重要的实用价值和研究意义。例如，飞轮设计、 发动机叶片设计乃至炮弹飞行、导弹和卫星的外型设计、分子运动的研究等，都需要有转动 惯量的数据。 测量物体绕定轴转动的转动惯量有很多方法， 本实验所采用的三线扭摆法简便 易行，对复杂形状的物体也可进行测量。 Phyphox 是一个利用手机传感器收集各种物理量数据的 App。 我们日常使用的智能手机 中集成了大量的传感器，力学（加速度、旋转速度等） 、磁学、声学、光学、定位等等，可 以提供非常丰富的测量功能。类似的 App 还有很多。 三线扭摆的运动原理如图 1 所示。上面的圆盘水平固定，下面的圆盘 A 通过悬线悬挂 在上盘的边缘，圆盘 A 可以转动或摆动。 三根悬线的长度均为 l，且悬线在上盘与下 盘的悬挂点均在正三角形的顶点上，因此 圆盘 A 也是水平的，且两个圆盘圆心的连 线 OO是铅垂线。当 A 盘绕 OO轴作纯粹 的转动时，如果转角较小，这个运动是一 个简谐振动。 圆盘 A 的运动周期 TA与它的 转动惯量 JA的大小有关， 这里 JA是指 A 盘 绕通过圆心并垂直于盘面的转轴的转动惯 量。 如果在 A 上放置另一物体 B，它的转 动周期就会发生变化， A+B 的运动周期与 转动惯量 JA+B有关。在转轴明确重合的条 件下，JA+B = JA + JB，所以可通过测定运动 周期来求 B 的转动惯量。 下面简单推导一下物体转动惯量与简 谐运动周期的关系。先考虑圆盘 A 单独存 在的情形。设 A 盘的质量为 mA，其悬线点到圆心的距离为 R，上盘悬线点到其圆心的距离 为 r，悬线长为 l。现将 A 盘绕 OO轴转过一小角度 ，如图 1 所示，则 A 盘将升高 h。通过 简单的几何关系，我们可以得到： 222 1 ()hlRr=， 2222 2 (2cos )hlRrRr=+ 如果 很小（ 5） ，则 h1 + h2 2l，所以有 h2 h1 h R r l 图 1 三线扭摆原理示意图 A O O 湖南大学物理实验中心 22 12 12 12 (1cos ) hhRr hhh hhl = + （1） 若忽略空气阻力及摆线弹性的影响，则系统的机械能守恒，即盘 A 在任一位置满足 22 AAA 11 const 22 Jmm gh+=v 式中 是 A 的角速度（ = d/dt） ，v 是盘 A 垂直升降的速度。因为 ddd (1cos )sinsin ddd hRrRrRrRr ttlltll = v 而 l 远大于 R 和 r，故 v 可忽略。所以有 2 AA 1 const 2 Jm gh+= （2） 对（2）式求导，可得： 2 AA 2 ddddd 0 0 ddddd AA hh Jm gJm g ttttt +=+= 即： 2 A 2 A dd dd m gh tJ = 将（1）式对 求导，把结果代入上式，可得： 2 AA 2 AA d sin d m g Rrm g Rr tJlJl = （3） 这是一个简谐振动方程，圆频率和周期分别为 2 A A A m gRr J l = ， 22 2 A A 2 AA 44 J l T m gRr = 。所以， 圆盘 A 的转动惯量为： 2 A AA 2 4 m gRr JT l = （4） 测出转动周期，我们就可以根据上式计算转动惯量。 如在 A 上放置另一物体 B，使 A、B 一起绕 OO转动，则 2 AB ABAB 2 () 4 mmgRr JT l + = （5） 因此有： JB = JAB JA （6） 注意，这样得到的转动惯量 JB，其转轴应位于将 B 放置于 A 盘上时中心线 OO所在的 位置，放置位置或方式不同，结果是不一样的。 实验操作实验操作 1. 利用一般家庭中厨房里的常用物品， 制作一个三线摆， 如图2所示。 制作时应尽量保证上、下各三个悬线点位于正三角形的顶点上，三根线等 长，越准确误差越小。 2. 挂好三线扭摆，上盘固定不动（可加一重物压住） 。打开手机 App “Phyphox” ，选择应用“Gyroscope” ，按两下“”键（此时手机已经开 始记录数据） ，然后把手机平放在下盘的中间位置。稳住圆盘不动，再将圆 盘转动一个小角度后放手（小于 5） ，圆盘的转动将是一个简谐振动。注 意，让圆盘转起来的时候尽量保证是一个纯粹的转动，不要有“摆动”的 成分。 3. 我们可以观察到手机屏幕上的数据曲线， 其中绕 Z 轴的部分是一个 很好的正弦曲线 （略有阻尼） 。 经过数十个周期的运动后， 数据记录量够了， 图 2 湖南大学物理实验中心 再进行下一步。 4. 将一个待测物体放在手机上（例如一个水杯，将 水杯的中心尽量对准圆盘的中心） ，过程中不要动手机， 让它继续记录下去。我们会发现现在的数据曲线周期变 了。记录数十个周期后，停止测量。数据曲线如图 3 所 示，底部的曲线是绕 Z 轴的运动数据（角速度） ，曲线的 前半截是未加水杯的结果，后半截是加了水杯之后的结 果。 5. 导出数据。点击右上方的“” ，在菜单栏中选择 “Export Data” ，然后将数据以 Excel 或其他格式传输出 去，然后在电脑上处理数据。 6. 用弹簧秤体重秤之类的工具称量 “圆盘 A + 手机” 的质量 mA，物体 B 的质量 mB。也可去超市一类的地方 请别人代为称量。 7. 用卷尺测量上盘、下盘悬线点到圆心的距离，分 别为 r、R，悬线的长度 l。g 取 10（或从 Phyphox 中获 得） 。 数据处理数据处理 1. 打开 Origin，将待处理的数据导入。 2. 我们只需要考虑绕 Z 轴的部分。选择 Z 轴数据，画出其“折线图” （不要画散点图或 点线图） 。 3. 先确定 TA。定位前半截曲线第一个周期的顶点，记下其横坐标（时间 t1） ，再定位最 后一个周期的顶点，记下其横坐标 t2，数 一下中间有多少个周期 n。 则 TA = (t1 t2)/n，如图 4 所示。 4. 再确定 TAB。在曲线后半截进行同 样的操作，可以得到 TAB。 5. 将所得到的数据代入公式 （