2020届河南省郑州市高三年级二模数学（文科）试卷及答案

第 1页（共 21页） 2020 年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设函数 2 9yx的定义域为A，函数(3)ylnx的定义域为B，则(AB ) A(,3)B （一 8，3)C3D 3，3) 2 （5 分）已知复数()zai aR，若8zz，则复数(z ) A4iB4iC4i D4i 3 （5 分）已知命题:0px ，则31 x ；命题q：若ab，则 22 ab，下列命题为真命题 的是() ApqBpqCpq Dpq 4 （5 分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真 命题是() A若m，则mB若m，/ /m，则 C若，则D若m ，n ，/ /mn，则 / / 5 （5 分）郑州市 2019 年各月的平均气温()C数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( ) A20B21C20.5D23 6 （5 分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的x的取值范围是() 第 2页（共 21页） A(2,)B(2，4C(4，10D(4,) 7 （5 分）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连 接DE并延长到点F，使得2DEEF，则AF BC 的值为() A 5 8 B 1 4 C 1 8 D 11 8 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的一条渐近线与直线350 xy垂直，则双曲线C的 离心率等于() A2B 10 3 C10D2 2 9 （5 分）函数 2 | | ( ) 24 x x f x 的图象大致为() AB CD 10 （5 分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦 第 3页（共 21页） 茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等劳 伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等记区域A为不平等区域，a表示其面积；S 为OKL的面积将 a Gini S ，称为基尼系数对于下列说法： Gini越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为( )yf x，则对(0,1)x ，均有 ( ) 1 f x x ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 2 11(0,1)yxx ，则1 2 Gini ； 其中正确的是() ABCD 11 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，三棱锥 11 ABC D内切球的表面积为4，则正方 体外接球的体积为() A8 6B36C32 3D64 6 12 （5 分）已知函数( ) 2 f x x ，( )cossing xxxx，当 4x ，4 ，且0 x 时， 方程( )( )f xg x根的个数是() A5B6C7D8 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）幂函数 2 ( )(33) m f xmmx的图象关于y轴对称，则实数m 14 （5 分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线0axby与圆 22 (2)2xy有公共点的概率为 15 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3b ， 3(sin3cos)cAA b，则ABC的面积的最大值为 第 4页（共 21页） 16 （5 分）据国家统计局发布的数据，2019 年 11 月全国CPI（居民消费价格指数） ，同比 上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨 3.27 个百分点 如图是2019年11月CPI一篮子商品权重， 根据该图， 下列四个结论正确的有 CPI一篮子商品中权重最大的是居住 CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% 猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5% 猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18% 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）巳知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 21 n Snn （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 1 1 (*) n nn bnN a a ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）在改革开放 40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表： 年份201420152016201720182019 年份代码x123456 年产量（万吨）6.66.777.17.27.4 ( ) I根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程 y bxa ()II根据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量 附：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 y bxa的斜率和截 第 5页（共 21页） 距的最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx （参考数据： 6 1 ()()2.8 ii i xxyy ，计算结果保留到小数点后两位） 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCA BC中，平面 11 AA B B 平面ABC，D是AC的中点 （）求证： 1 / /BC平面 1 ABD； （）若 1 60A ABACB ， 1 ABBB，2AC ，1BC ，求三棱锥 1 CAAB的体积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为2 2，离心率为 3 2 （）求椭圆C的标准方程； （）直线l平行于直线 b yx a ，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若AOB为钝角， 求直线l在x轴上的截距m的取值范围 21 （12 分）已知函数( )() lnx f xaR xa ，曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程 为 1 y e （）求实数a的值，并求( )f x的单调区间； （）求证：当0 x 时，( )1f xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分第一题记分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，圆C的方程为2 sina(0)a 以极点为坐标原点，极轴 为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 31 ( 43 xt t yt 为参数） （）求圆C的标准方程和直线l的普通方程； （）若直线l与圆C交于A，B两点，且|3ABa 求实数a的取值范围？ 第 6页（共 21页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f xxa x （）当2a 时，解不等式( )5f x ； （）若( )|3|xa x ，求a的最小值 第 7页（共 21页） 2020 年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设函数 2 9yx的定义域为A，函数(3)ylnx的定义域为B，则(AB ) A(,3)B （一 8，3)C3D 3，3) 【解答】解：由 2 90 x ，得33x ， 3A ，3， 由30 x，得3x ， (, 3)B 3AB ，3) 故选：D 2 （5 分）已知复数()zai aR，若8zz，则复数(z ) A4iB4iC4i D4i 【解答】解：复数()zai aR，若8zz， 8aiai ，解得4a 则复数4zi 故选：B 3 （5 分）已知命题:0px ，则31 x ；命题q：若ab，则 22 ab，下列命题为真命题 的是() ApqBpqCpq Dpq 【解答】解：0 x ，则31 x 为真命题，即命题p是真命题， 当3a ，0b 时，满足ab，但 22 ab，不成立，即命题q是假命题， 则pq是真命题，其余是假命题， 故选：B 4 （5 分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真 第 8页（共 21页） 命题是() A若m，则mB若m，/ /m，则 C若，则D若m ，n ，/ /mn，则 / / 【解答】解：A错误，由，得不出内的直线垂直于； B正确，/ /m，根据线面平行的性质定理知，内存在直线/ /nm，m，n， n，； C错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得 到； D错误，可以想象两个平面、都和相交，交线平行，这两个平面不一定平行 故选：B 5 （5 分）郑州市 2019 年各月的平均气温()C数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( ) A20B21C20.5D23 【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为： 1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34， 所以中位数是 1 (2021)20.5 2 故选：C 6 （5 分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的x的取值范围是() 第 9页（共 21页） A(2,)B(2，4C(4，10D(4,) 【解答】解：根据结果， 33(32)22 82x ，且333(32)22282x ， 解之得24x ， 故选：B 7 （5 分）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连 接DE并延长到点F，使得2DEEF，则AF BC 的值为() A 5 8 B 1 4 C 1 8 D 11 8 【解答】解：如图， D、E分别是边AB、BC的中点，且2DEEF， 13 ()() 22 AF BCADDFBCBADE BC 13133 ()() 24244 BAAC BCBABCBA BC 第 10页（共 21页） 2 2 535353 ()| |cos601 444444 BABC BCBA BCBCBABC 5131 1 1 4248 故选：C 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的一条渐近线与直线350 xy垂直，则双曲线C的 离心率等于() A2B 10 3 C10D2 2 【解答】解：双曲线 22 22 :1 xy C ab 的渐近线方程为 b yx a 又直线350 xy可化为35yx，可得斜率为 3 双曲线 22 22 :1 xy C ab 的一条渐近线与直线350 xy垂直， 1 3 b a ， 22 2 1 9 ca a 双曲的离心率 10 3 c e a 故选：B 9 （5 分）函数 2 | | ( ) 24 x x f x 的图象大致为() AB CD 【解答】解：因为 22 | | () ()( ) 2424 xx xx fxf x ， 所以( )f x为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B， 又2x 时，( )0f x ，所以排除C 第 11页（共 21页） 故选：D 10 （5 分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦 茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等劳 伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等记区域A为不平等区域，a表示其面积；S 为OKL的面积将 a Gini S ，称为基尼系数对于下列说法： Gini越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为( )yf x，则对(0,1)x ，均有 ( ) 1 f x x ； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 2 11(0,1)yxx ，则1 2 Gini ； 其中正确的是() ABCD 【解答】解：对于，根据基尼系数公式 a Gini S ，可得基尼系数越小，不平等区域的面积 a越小，国民分配越公平，所以正确； 对于，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ，均有( )f xx，可得 ( ) 1 f x x ，所以错误； 对于，因为 12112212 0000 1111 (11)(1)1()|1 2424 axxdxxdxx dxxx ， 1 2 S ，所以 1 42 1 1 22 a Gini S ，所以正确 故正确 故选：B 第 12页（共 21页） 11 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，三棱锥 11 ABC D内切球的表面积为4，则正方 体外接球的体积为() A8 6B36C32 3D64 6 【解答】解：设正方体的棱长为a，则2BDa， 由于三棱锥 11 ABC D内切球的表面积为4，所以球的半径为 1， 根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用， 所以 16 12 43 a，解得2 3a 所以正方体的外接球的半径为 222 (2 3)(2 3)(2 3) 3 2 ， 所以正方体的外接球的体积为 3 4 336 3 故选：B 12 （5 分）已知函数( ) 2 f x x ，( )cossing xxxx，当 4x ，4 ，且0 x 时， 方程( )( )f xg x根的个数是() A5B6C7D8 【解答】解：( )cossincossing xxxxxxx ； 令( )0g x得xk，kZ ( )g x在0，上是减函数，在，2 上是增函数，在2，3 上是减函数，在3， 4 上增 且(0)0g，( )g ，(2 )2g，(3 )3g ，(4 )4g； 故作函数( )f x与( )g x在0，4 上的图象如下， 第 13页（共 21页） 结合图象可知，两图象在0，4 上共有 4 个交点； 又( )f x，( )g x都是奇函数，且( )f x不经过原点， ( )f x与( )g x在 4，4 上共有 8 个交点，故方程( )( )f xg x根的个数是 8 个 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）幂函数 2 ( )(33) m f xmmx的图象关于y轴对称，则实数m 2 【解答】解：函数 2 ( )(33) m f xmmx是幂函数， 2 331mm， 解得1m 或2m ； 当1m 时，函数yx的图象不关于y轴对称，舍去； 当2m 时，函数 2 yx的图象关于y轴对称； 实数2m 故答案为：2 14 （5 分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线0axby与圆 22 (2)2xy有公共点的概率为 7 12 【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组( , )a b有(1,1)、 (1,2)、 (1,3)、(6,6)，共 36 种， 其中满足直线0axby与圆 22 (2)2xy有公共点， 第 14页（共 21页） 即圆心(2,0)到直线的距离小于或等于半径r，可得 22 | 2 | 2 a ab ， 化简得a b，满足条件的( , )a b有数组情况如下： 1a 时，1b 、2、6，共 6 种情况；2a 时，2b 、3、6，共 5 种情况； 3a 时，3b 、4、6，共 4 种情况；4a 时，4b 、5、6，共 3 种情况； 5a 时，5b 、6，共 2 种情况；6a 时6b ，1 种情况 总共有65432121 种 因此，所求的概率 217 3612 P 故答案为： 7 12 15 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3b ， 3(sin3cos)cAA b，则ABC的面积的最大值为 3 3 4 【解答】解：3b ，3(sin3cos)cAA b， sin3coscAA， 2 13 sin(3sincos) 22 SbcAsin AAA 3311 (sin2cos2) 2222 AA 31 sin(2) 232 A ， 当 5 2, 3212 AA 即时，sin(2)1 3 A ， 3 3 4 max S 故答案为： 3 3 4 16 （5 分）据国家统计局发布的数据，2019 年 11 月全国CPI（居民消费价格指数） ，同比 上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨 3.27 个百分点 如图是 2019 年 11 月CPI一篮子商品权重， 根据该图， 下列四个结论正确的有 第 15页（共 21页） CPI一篮子商品中权重最大的是居住 CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% 猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5% 猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18% 【解答】解：CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确； CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%8.0%10.3%19.9%61.2%50%，正确； 猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确； 猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%2.5%4.6%，因此不正确 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）巳知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 21 n Snn （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 1 1 (*) n nn bnN a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）由题意，当1n 时， 11 2aS 当2n 时， 22 1 (21)(1)2(1)121 nnn aSSnnnnn 而当1n 时， 1 2a 不满足上式， 故数列 n a的通项公式为 2,1 21,2 n n a nn 第 16页（共 21页） （）由（）知，当1n 时， 1 12 111 2510 b a a ， 当2n 时， 1111 () (21)(23)2 2123 n b nnnn ， 1 ,1 10 111 (),2 2 2123 n n b n nn 故当1n 时， 11 1 10 Tb， 当2n 时， 123nn Tbbbb 11111111 ()()() 10257792123nn 11 1141 () 102 5232030 n nn 又 1 14 1 1 1020 130 T 适合， 41 2030 n n T n 18 （12 分）在改革开放 40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表： 年份201420152016201720182019 年份代码x123456 年产量（万吨）6.66.777.17.27.4 ( ) I根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程 y bxa ()II根据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量 附：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 y bxa的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx （参考数据： 6 1 ()()2.8 ii i xxyy ，计算结果保留到小数点后两位） 【解答】 解：（1） 由题意可知： 123456 3.5 6 x ， 6.66.777.17.27.4 7 6 y ， 6 2222222 1 ()( 2.5)( 1.5)( 0.5)0.51.52.517.5 i i xx ， 第 17页（共 21页） 所以 1 2 1 ()() 2.8 0.16 17.5 () n ii i n i i xxyy b xx ， 又 70.163.56.44aybx， 故y关于x的线性回归方程为0.166.44yx （2）由（1）可得，当年份为 2020 年时， 年份代码7x ，此时0.1676.447.56y 所以可预测 2020 年该地区该农产品的年产量约为 7.56 万吨 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCA BC中，平面 11 AA B B 平面ABC，D是AC的中点 （）求证： 1 / /BC平面 1 ABD； （）若 1 60A ABACB ， 1 ABBB，2AC ，1BC ，求三棱锥 1 CAAB的体积 【解答】 （）证明：连结 1 AB交 1 A B于点O，则O为 1 AB的中点， D是AC的中点， 1 / /ODBC， 又OD 平面 1 ABD， 1 BC 平面 1 ABD， 1 / /BC平面 1 ABD； （）解：2AC ，1BC ，60ACB， 222 23ABACBCAC BC COSACB，得3AB 222 ACABBC，得ABBC 又平面 11 AA B B 平面ABC，平面 11 AAB B平面ABCAB，BC平面 11 AA B B 1 60A AB， 11 ABBBAA， 1 3AA 第 18页（共 21页） 1 11 13 3 sin 24 A AB SAB AAA AB 11 113 33 3344 CA ABA AB VSBC 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为2 2，离心率为 3 2 （）求椭圆C的标准方程； （）直线l平行于直线 b yx a ，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若AOB为钝角， 求直线l在x轴上的截距m的取值范围 【解答】解： （）由题意可得22 2b ，所以2b ， 2 2 3 1 2 cb e aa ，解得2 2a ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 82 xy （）由于直线l平行于直线 b yx a ，即 1 2 yx， 所以l的方程为 1 (0) 2 yxn n 由 22 1 , 2 1 82 yxn xy 得 22 2240 xnxn， 因为直线l与椭圆C交两个不同的点， 所以 22 (2 )4(24)0nn，解得22n 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 2xxn ， 2 12 24x xnAOB为钝角等价于0OA OB ， 且0n ， 由 12121212 11 ()() 22 OA OBx xy yx xxnxn 222 1212 55 ()(24)( 2 )0 4242 nn x xxxnnnn， 第 19页（共 21页） 即 2 2n ，且0n ， 所以直线l在x轴上的截距m的取值范围( 2 2,0)(0,2 2) 21 （12 分）已知函数( )() lnx f xaR xa ，曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程 为 1 y e （）求实数a的值，并求( )f x的单调区间； （）求证：当0 x 时，( )1f xx 【解答】解：( )( ) lnx If x xa ， 2 ( ) () xa lnx x fx xa ， 2 ( ) () a e fe ea ， 又曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程为 1 y e ， f （e）0，即0a ( )(0) lnx f xx xa ， 2 1 ( ) lnx fx x ， 令( )0fx，得10lnx，即0 xe； 令( )0fx，得10lnx，即xe， 所以( )f x的单调增区间是(0, ) e，单调减区间是( ,)e ()II证明：当0 x 时，要证( )1f xx ，即证 2 0l