第五章 数值积分与数值微分.ppt

第五章数值积分和数值微分，近似计算，但在大多数实际问题上，(1)原始函数存在，但不能用基本函数表示的情况；(2)原始函数可以用基本函数表示，但结构复杂。(3)乘积函数没有表达式，只是函数表。几何意义：曲线梯形区域，左端点矩形近似，寻找明确积分的想法：分割，近似，求和，右端点矩形近似，本章的主要内容：1，数值求积法，2，插值求积法，3，复合求积法求积公式的代数精度，求积公式对于不高于m阶的所有多项式都是常量，并且m阶多项式不能正确成立，则对应的求积公式具有m阶代数精度。在求积公式中具有二次m代数精度的充要条件是时间求积公式正确成立，而时间求积公式不正确成立。求积系数的特征(具有最小零代数精度):求积公式的收敛性和稳定性，两者的误差均为时序，公式稳定，5.2插值求积法，一，插值求积法，想法，n次有理插值多项式3360，设置节点已知函数的函数值，插值，证明：适当性，设置为插值求积公式，至少有n个代数精度。求积公式是插值类型，因为将为不超过n次的所有多项式求积公式精确生成。需要，最小N次代数精度，2，Newton-cotes求积公式，Newton-cotes公式是插值求积公式的特殊形式，求积节点等距离分布：步长，其中Cotes系数为p.133，Newton-Cotes，解决方案：证明：n为偶数，则只需证明馀数为0。剩余，变换，第二积分平均值定理，因此，如果n是偶数，则Newton-Cotes求积公式至少具有n 1个代数精度。三，以上三个求积公式的剩馀项，梯形公式，连续设置，Simpson公式，配置次数小于三次的多项式，满足：连续设置，二次积分中值定理，cotes公式，连续设置，Newton(2)牛顿-科斯特数值稳定性不保证。(n7)，5.3复合求积公式，想法，一，复合梯形公式：积分区间n等分：分割点，区间使用梯形公式，复合梯形公式，复合梯形公式的几何意义，小梯形面积的总和近似，复合梯形公式的其馀部分，设定剩馀估计、练习4 (5)、复合Simpson公式的收敛、相似复合Cotes公式、示例2:复合梯形公式、使用复合Simpson公式计算积分的近似值、由复合Simpson公式计算时不超出误差。，解决方案：首先确定步骤，合成Simpson公式的余数的方法：这个问题的方法：通过归纳法知道，通过解不等式得到函数表：复合梯形公式(n=8)，复合Simpson公式(n)第三，积分阶段的自动选择：复合求积公式缺陷：基本思路(以复合梯形求积公式为例):退出规则：问题1:如何从上一项目生成递归到下一项目？问题2:终止规则有理论依据吗？-嗯？问题1的解：间隔n等分：间隔2n等分：问题2的解：复杂梯形公式的余数已知的结果近似关系，误差控制条件合理。注：步骤思想的自动选择可用于重复s和c公式。收敛速度慢且复杂的Simpson公式，类似于Cotes公式，收敛速度提高，5.4Romberg积分方法，Romberg积分思想，romberg积分表，5.5高斯求积公式，一个，高斯积分问题的公式，确定求积节点数，插值求积公式格式：相似插值求积公式的代数精度不超过2n 1次。证明：这里的命令，求积公式不能正确建立。为了使插值求积公式具有2n次代数精度，将一组节点称为高斯点，其公式为高斯类型求积公式。第二，高斯求积公式特性(存在、剩余、稳定性和收敛性)，存在：证明：需要，设置，求积公式为高斯类型：适当性，其中节点为高斯点，定理为n阶正交多项式(加权函数为1)，添加：证明：满足以下条件的Hermite插值，第二个积分平均值定理，稳定性：高斯类型求积公式总是稳定的：证明：事实上，导入，收敛：3，高斯求积式的更一般形式，插值求积法(*)具有2n次代数精度。求积节点：求积系数：高斯求积公式：4，高斯求积公式构造，方法：n阶正交多项式的n 1零积节点，构造插值求积公式是高斯求积公式。宗地转换， Legendre多项式和Chebyshev多项式。其中，求积节点为n阶legend多项式的0，P147表5.5.1，示例1:应用三点高斯-乐高求积公式：解决方案：转换，见文献13。高斯-切比雪夫求积公式。其中，求积节点是应用n阶Chebyshev多项式的0:示例2:两点高斯-Chebyshev求积公式计算积分，求解：转换，5.6积分方程的数值解法，积分方程是包含积分号下未知函数的方程类型。第二类Fredholm积分方程：积分方程数值解法，寻找给定已知节点上未知函数的近似值，即数据称为积分方程的数值解法。前面Fredholm方程的积分项：的关系：命令：如果记住，上述方程通常采用等角节点计算5.7数值微分，1，插值推导公式，已知表函数，n次la grange插值多项式3360配置，插值推导公式：方便性和估计误差。误差估计：两点