2006易拉罐形状和尺寸的最优设计

论文4易拉罐形状和尺寸的最优设计获奖等级：国家二等奖指导教师：黎克麟参赛队员：王 坤1 李杨平2 陈秋霖1 (乙组) (1、物理系物教专041学生；2、机电系工设专041学生)摘要：本文验证了一个在物理、力学、工程，材料等方面综合的最优化设计模型。我们先测量市场上流行的易拉罐的尺寸等数据，再通过建立极值的数学模型，运用微分法计算出的结果解释这样的尺寸是否合理，最后提出我们认为更好的易拉罐形状和尺寸优化设计。我们用物理实验工具测得所需易拉罐的数据（见正文），紧接着我们运用同种方法分别建立了易拉罐为正圆柱体和正圆柱体加圆台的模型，根据最优设计涉及到诸多方面，当易拉罐为正圆柱体，我们考虑以易拉罐所用材料最省为目标函数，用微分法求解出了易拉罐的高与半径的比值为4时，且用料最省也满足人机工程，此时就是易拉罐的最优设计，我们的结果在半径与高的比值能合理说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸；当易拉罐为正圆柱体加圆台同理求解出了易拉罐的主要尺寸，我们得到在安全和美学方面是此模型的最优设计，我们所得到的结果还是能够合理地说明我们所测的易拉罐的形状和尺寸；最后，我们在综合考虑怎样设计最优，利用现在市场的需求方向为进一步满足消费者需要和发展趋势。设想一个有盖模型，设计出了一个正圆柱加一个圆锥的易拉罐模型。根据我们自身的体验写出了以前与现在对建模不同认识，在认识上升华了一步（见附录）。一、问题的提出内容：我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。问题：1 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。意义：铝质易拉罐在饮料包装容器中占有相当大的比重。易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，成为铝深加工的一个缩影。随着饮料包装市场竞争的不断加剧，对众多制罐企业而言，如何在易拉罐生产中最大限度地减少板料厚度，减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。二、基本假设1.易拉罐底部为一个平面。2.假设易拉罐上下底面个部分材料均匀、厚度一样。3.实验测得的数据在误差允许的范围内。4.假设1 立方厘米的水和饮料的重量都是1克。5.假设易拉罐侧面各部分的材料分布均匀、厚度相等。6.市场上流通各种易拉罐（355ml）的形状和尺寸几乎一样。三、建立模型（一）.问题的分析：我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计，我们通过调查了解到在某种意义下的最优设计包含了，表面材料的最节约（表面积的最优），加工工艺的减少，运输的方便性，还有就是易拉罐的直径是否满足人机工程学的要求，美学角度（高与直径的比是否满足“黄金分割率”）等。当然作为公司主要是想节约钱，但同时也希望满足其他的条件来增加销售量。所以公司也要考虑消费者的心理。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。实际上本文就是要我们考虑易拉罐的半径与高的关系。问题一：将现实的产品的数据经过多次的测量最后求其平均值，我们选用的十分度的游标卡尺，和螺旋测微器进行测量。问题二：我们可以通过计算出在什么情况下易拉罐的材料是最节约的，此时将它所得到的比例尺寸再和我们测得的数据进行比较，看它是否可以合理的说明我们可以测得的数据。再观察它们满足那一些最优设计。实际上就是要我们考虑易拉罐的半径与高的关系。问题三：问题三是在问题二的基础上进行的最优设计，只是在问题二上加了一个圆台，其实这个圆台的作用是符合一定的人机工程学的（方便饮用）且满足耐压性（易开启，运输）。我们还是可以建立易拉罐的材料是最节约的目标函数。找出其中隐含的约束条件，经过粗略的计算，将解出的数据与我们所测得的数据进行比较，再判断它的最优设计。问题四：是叫我们发挥我们的想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计，理想的饮料灌装容器应以下作用考虑。1、 保护产品灌装容器至少应在下列两个方面起到保护产品的作用：(1) 保护内在质量。即能有效地阻隔微生物进入已被杀菌处理过的资料内，又能防止紫外线、温度及不良气体引起的饮料化学变化。当然这不是我们所要考虑的。(2) 免受物理损坏。使其不受物理性破坏就显得十分重要，2、使用方便、促进销售饮料包装，应当为生产、搬运、保管、使用等各个环节提供各种方便，特别在消费者取用饮料时，既能方便、安全地打开包装且便于携带，这一点在消费者外出游玩是显得尤为突出。这也是我们充分发挥想象的地方。再好的饮料产品，只有为消费都所购买才能产生经济效益。而包装则是激发消费者购买者购买的最好媒介，是无声的营销员。合理利用灌装容器外表面的长、宽、尺寸，用得体的文字和明快的色彩，充分体现被灌装饮料的商标、品名、健康特性、实物形象和容量，加上精巧的造型，将直接激发消费者的购买欲望，从而导致消费行业，起到了促进饮料销售的作用。我们通过考虑材料的最节约，材料的可回收性，人机工程学，美学，加工工艺，运输的方便性和安全性等来进行最优设计。同时我们从消费者的使用习惯和方便考虑到决定设计一个有盖的包装盒和无盖的包装盒。问题五：在这问中是以我们加入建模的学习和以前的学习，结合参加建模的体验，总结建模给我们带来的苦与乐、经验、知识以及再次理解建模的内涵。领悟到建模与实际的联系与区别。再次巩固了建模的步骤，建模中的重要环节和重点。这个小问似乎与本题联系不大，但是它却给我们指引了一个方向。在考虑的时候不能只以纯数学的眼光看待问题。同时在第四问时要考虑问题的全面性，设计最优图形。为了容易观察需要列举出各个环节的关系。（二）主要符号说明：（如表一）表一符号说明符号说明易拉罐表面积（）易拉罐圆柱的高（）易拉罐底面积（）易拉罐的圆台的高（）易拉罐侧面积（）易拉罐的上下底面厚度（）易拉罐上底面半径（）易拉罐罐重（）易拉罐下底面半径（）易拉罐和饮料的重量（）待定参数易拉罐装满水的重量（）易拉罐的侧面厚度（）易拉罐的容量（）易拉罐的总高材料的体积（）对市场上流行的易拉罐的测量：我们通过对355毫升的易拉罐进行了多次测量，最后取其平均值，得到以下数据（如表二和表三）表二 单位（克）次数参数12345678平均370.5370.1369.7370.3370.0369.8370.4370.1370.115.114.815.215.014.715.314.915.115.0380.2380.3379.9380.0380.1379.9379.8380.3380.0表三 单位（毫米）次数参数12345678平均122.44122.46122.46122.42122.41122.43122.45122.41122.4510.0310.0210.049.999.9910.0110.0310.0210.01102.02102.02102.01101.99102.01101.10102.02102.02102.010.150.160.150.170.160.140.150.160.150.300.290.310.320.300.290.290.310.3033.0233.0133.0332.9932.9933.0133.0232.9933.0030.0330.0229.9930.0129.9930.0230.0130.0230.00其中，它们的值指的是易拉罐内部的尺寸大小。问题二16：评价一个产品设计的合理性或最优可以从多方面评价，比如，在设计易拉罐时，须从厂方、材料、顾客、市场等方面全方位观察思考。设易拉罐是一个正圆柱体时见（图1）图1用手摸一下上下底面就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上，假设除易拉罐的上下底面厚度外, 罐的侧面厚度相同, 记作, 上下底面厚度也均匀，记作. 且。因此, 我们可以进行数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积. 易拉罐侧面所用材料的体积为：易拉罐的上下底面的体积为：所以, 和 V 分别为：因为, 所以带的项可以忽略(极其重要的合理假设或简化). 因此我们就可以建立数学模型为：从实用着想，我们要从以下几点考虑： 人机工程学以握住易拉罐时手感舒服、方便为好，这就需要从成人、孩子的手指弯曲程度作生物学考虑。我们查阅资料可以找到满足它们的关系。以考虑得到的是否满足人机工程学的要求： 人们的审美根据形式美的法则，我们可以考虑高与直径的比是否满足“黄金分割率”，当它们满足以下的标准： 那么我们认为它在视觉上最美的。问题三62：当设易拉罐的中心断面如下图形时，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个正圆柱体。同理我们可以按照问题二的思想分析此问。立体图形中心纵面图形首先，我们从经济学的角度考虑模型的造价。由于易拉罐采用的是同一种材料制的，要评判造价最优，在允许的范围内只需考虑所需要的材料最少。建立目标函数：得：其中为圆台的母线长。约束条件为：易拉罐的容积为应满足：圆台的斜高与圆台的高还满足：圆台的上半径小于它的下半径： 人机工程学以握住易拉罐时手感舒服、方便为好，这就需要从成人、孩子的手指弯曲程度作生物学考虑。我们查阅资料可以找到满足它们的关系。以考虑得到的是否满足人机工程学的要求： 人们的审美根据形式美的法则，我们可以考虑高与直径的比是否满足“黄金分割率”，当它们满足以下的标准： 那么我们认为它在视觉上最美的。 安全性通过调查了解到圆台的高和圆柱的高存在一个关系：使得当它受到一定压力的时候有一个缓冲的作用。问题四572：通过对问题二和问题三的验证，我们发现问题二是在考虑材料的表面积最优的设计，但是没有考虑其他的一些因数如：安全、运输、储存、美观。在问题三中，考虑了易拉罐的美观，表面材料和上底面的一些安全、运输、人机问题的最优，但是没有考虑下底面的这些问题。同样，在运输、储存的同时也要满足它的方便性，安全性和稳定性。所以我们可以把易拉罐的下底面形状设计一个内凹的球形（如图3）。不仅叠放在一起便于安全运输和摆放更平稳；也是为了制造蛋壳那样的构造，使得用最小的面积，获得最大的抗压性，因为球形能承受的压力大于平面承受的压力（这在材料力学和工程力学中都有证明），使底部更坚硬，且拉罐不易变形。图3上拱的底面和上底面的圆台， 实际上是由材料冲压而成的, 这些要求保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求。主要数据为：上底半径为 ，高为的圆台和半径为 , 高为的圆柱体。再在上下底面加上一个高为的圆环。且下底面加上的圆环的外半径小于上底面的内半径，使得下底刚好与上底重合，此时设计出的第一种模型的中截面图形见(图3)。再好的饮料产品，只有为消费都所购买才能产生经济效益。而包装则是激发消费者购买者购买的最好媒介，是无声的营销员。合理利用灌装容器外表面的长、宽、尺寸，用得体的文字和明快的色彩，充分体现被灌装饮料的商标、品名、健康特性、实物形象和容量，加上精巧的造型，将直接激发消费者的购买欲望，从而导致消费行业，起到了促进饮料销售的作用。特别在消费者取用饮料时，既能方便、安全地打开包装且便于携带，这一点在消费者外出游玩是显得尤为突出。虽然这样的设计已经很好了，但是由于那样的易拉罐的盖子被拉开后无法重新密封。我们知道现在市场上销售的拉罐，不但不能防止饮料与太阳光和氧气接触而且外出旅游携带不方便。因此，我们准备设计有盖的易拉罐易拉罐旋转盖.比原来的易拉罐盖子易密封，打开易拉罐后，可以放心地喝上一口，仍可拧上盖子放入包中，密封性好，可有效防止饮料与太阳光和氧气接触、重量更轻，十分有利于回收后再循环的优点。这是原来易拉罐无法做到的。与以往非旋转瓶盖的易拉罐相比，355ml易拉罐下部无太大变化，上部变成圆锥体加一个旋转式瓶盖得出设计的第二种图形如（图5）。图形4它相当于是两个图形组装，对应的长度见（图五）已经表注。图5母线显然，我们设计的图形既满足给定的体积，也弥补了老式易拉罐不能在密封的不足，结合人机工程下底直径与总高之比满足黄金分割。为了使得设计的模型稳定不易变形，那么盖、圆柱底、圆柱与圆锥的过度处的厚度相同且为其余部位的2倍入图已经表示。由于瓶盖得半径很小，所以我们可以用圆锥代替上面部分。为简化模型我们将上面圆锥与下面圆柱的过度处视为厚度一样（但实际厚度不一样），以考虑到材料最省。建立目标函数：其中为圆锥的母线长。约束条件为：由于考虑到安全因素，容器并没有装满，常常留有的空余的空间。在这里我们也以作为空余空间，易拉罐的容积为应满足： 人机工程学以握住易拉罐时手感舒服、方便为好，这就需要从成人、孩子的手指弯曲程度作生物学考虑。我们查阅资料可以找到满足它们的关系。以考虑得到的是否满足人机工程学的要求： 人们的审美根据形式美的法则，我们可以考虑高与直径的比是否满足“黄金分割率”，当它们满足以下的标准： 那么我们认为它在视觉上最美的。 安全性通过调查了解到圆台的高和圆柱的高存在一个关系：使得当它受到一定压力的时候有一个缓冲的作用。同时我们也考虑了体积一定时，材料所用的体积最小，也就是说表面积最小，这时我们可将易拉罐设计成一个球体，那么它的表面积最小。也只满足了用料最省。但是球体的加工工艺比圆柱体困难，特别是在密封性上，还有就是球体所占的空间体积大，不易储存，运输成本高。且球体的稳定性低，消费者使用时不方便。所以不能制作成球体形状的易拉罐。四、模型求解问题二的求解3：由约束条件可以求解得到，将它代入目标函数中得到：求临界点，令导数为零得：解得临界点为： ，因此由测得的数据可知，所以，即易拉罐的高是半径的4倍。由测得的数据可以知道实际上易拉罐的容量应为。我们通过计算得到的数据与测得的数据相比较（如表四）表四参数计算数据测量数据由此我们可以得到此时的易拉罐的最优设计是表面积的材料最节约。当然它也满足人机工程，但是没有满足“黄金分割率”。所以视觉上不是很美观。其结果在半径和高之间的比值可以合理的说明我们所测得的易拉罐的形状和尺寸。问题三的求解：把饮料罐的体积看由成两部分构成,经粗略的计算：一是上底半径为 ，下底半径为 。高为的圆台； 二是半径为 , 高为的圆柱体. 它们的体积分别为 31.2立方厘米和 349立方厘米总共为 380.2 立方厘米。 在题目中我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1克。这在问题假设中已经做了说明。我们再来通过测量重量或容积来验证.我们测量的数据是否合理。测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 ， 所装可口可乐确实重 ， 空的饮料罐重量为。 装满水的饮料罐重量为，这和我们的近似计算 380.2 立方厘米十分接近！因此，饮料罐不能装满饮料, 而是留有 10 立方厘米的空间余量.那么 ，为什么要留有空余空间呢？这一点我们思考了很久，碳酸饮料中充有我们从安全方面做了考虑。即使在运输、强烈日照、低温、猛烈的碰撞等情况下，都会使得罐内的压强高于一般情况下的压强。这时空余的空间克服了这点。所以，从安全方面是最优设计但材料则不是最优的。它综合考虑模型的最优的。问题四的求解：由于问题三是在问题二的基础上进行的再优化设计，而我们的问题四也是在问题三的基础上再优化的。所以我们求得的解满足人机工程学和人们的审美观点（黄金分割率）以及满足所用材料的体积相对较少。五、结果分析与检验在问题二中，我们求解得到的与之间的比值与我们测量的易拉罐的总高和上底面的半径的比值相吻合。这说明我们假设易拉罐是一个正圆柱体是合理的。表面所需材料的最少就是正圆柱体的最优设计。但是它还没有考虑人机工程学，美学，加工工艺，运输的方便性和安全性。而在问题三中则多用了一个圆台，通过计算我们知道了它的高和半径，同时也计算出了圆柱体的高和半径，问题三是在问题二的基础上再优化的，所以问题三是表面所需材料的相对较少和安全方面的最优化设计。且在这个基础上还考虑人机工程学，美学，加工工艺，运输的方便性和安全性。计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 非常接近黄金分割比 0.618. 这在美学上是可以认为是最优的。这样的比例看起来最舒服, 无论消费者是携带还是使用都比较合适。在问题四中我们增加了材料，（在易拉罐的上下底部做了一些调整），虽然我们这时的材料成本高了，但这是易拉罐的运输，储存方便了，稳定性好了，安全性增加了。底部的球形形状和顶盖实际上由材料冲压而成的, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求, 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定. 因此, 我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程, 只依靠数学知识是不够的, 必须和实际工作者的经验紧密结合.六、模型评价模型的优点：1. 我们通过合理的假设，建立了一个验证模型。2做问题一的测量时我们借助了物理实验工具螺旋测微器和游标卡尺，并取多次测量的平均值提高了数据的精确度。3在整个过程中我们都和实际联系得很紧密。4从多方面考虑了某种意义下的最优设计。模型的缺点：1. 我们在测量数据时只测了一个易拉罐，降低了数据的可靠度。2不管是可口可乐易拉罐还是青岛啤酒易拉罐他们的设计已经是很完美了,第四问要有创新和突破给我们造成了很大的困难，所以在这方面我们的模型还是跳不出原模型的设计。3由于我们缺乏相关的专业知识，对模型不能进行深入的分析。七、我们眼中的数学建模4刚进入数学建模协会的时，有很多人问我什么是数学建模，它到底要干些什么？对于这些问题我渐渐在平时的学习和暑期培训中找到了答案。现在我们也算是对数学建模深有体会了，下面我们谈谈我们对数学建模的认识。数学建模是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些规律建立其变量、参数间的确定的数学问题（也称为一个数学模型），求解该数学问题，解释验证所的到的解，从而确定能否用于解决问题的多次循环、不断深化的过程。简言之，就是将各种知识综合应用建立数学模型来解决各种实际问题的过程。虽然建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。根据我们以前学习和实践数学建模的亲身体验我们认为建模的关键步骤可分为： 第一步，要充分搜集现实原型的资料，数据，分析它的状态，性质，变化规律，特征，结构，建立经验定律，提出理论假说，确定变量、参数。第二步，建立数学模型。这一过程包括什么是所需要解决的问题的主要方面，什么是次要方面，什么是本质，什么是无关紧要的，以及探寻用什么数学语言，符号，结构来表示所研究的问题或经验定律的结构，即要使数学模型结构（主要是概念，关系，公理等）尽可能与原型的概念，结构相吻合。 第三步，解决数学模型所提出的数学问题。第四步，以原型的数据检验数学模型并对数学解决做出解释和评价。一般认为，评价一个数学模型的科