2019届广东省广州市高三第二次模拟考试数学理试题版.pdf

- 1 - 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 理科数学 2019.4 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数 z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范围是 A B. C D. 2己知集合 A= ，则 A.x|x0)上， 则 的最小值为 A.4 B. 3+2 C. 6+4 D.8 10函数的部分图像如图所示，先把函数 y=f(x)图像上各点的横坐 标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数 y=g(x)的图像，则 函数 y=g(x)的图像的一条对称轴为 A.x= B. x= C x= - Dx= - 11.已知点 P 在直线 x+2y-l=0 上， 点 Q 在直线 x+2y+3=0 上，PQ 的中点为 M(xo，yo)，且 1yo -xo7，则 的取值范围为 A. B. C. D. 12.若点 A(t，0)与曲线 y=e x 上点 P 的距离的最小值为，则实数 t 的值为 A. 4- B. 4- C. 3+ D. 3+ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若e e1，e e2是夹角为 60的两个单位向量，向量a a=2e e1+e e2，则|a a|= 14若(ax-l) 5 的展开式中 x 3 的系数是 80，则实数 a 的值是_ 15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法： “以小斜 幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方 - 3 - 得积。”如果把以上这段文字写成公式就是其中 a，b，c 是ABC 的 内角 A，B，C 的对边若 sinC=2sinAcosB，且 b 2，1，c2 成等差数列，则ABC 面积 S 的最大值为_ 16.有一个底面半径为 R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为 a 的四面体，并且四 面体在纸盒内可以任意转动，则 a 的最大值为_ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共 60 分 17. （本小题满分 12 分） 己知an是递增的等比数列，a2+a3 =4，ala4=3 (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn=nan，求数列bn的前 n 项和 Sn 18. （本小题满分 12 分） 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数 据，如下表： 根据上表的数据得到如下的散点图 (1)根据上表中的样本数据及其散点图： (i)求 ; - 4 - (ii)计算样本相关系数（精确到 0.01），并刻画它们的相关程度 (2)若 y 关于 x 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到 0.01），并根据回归方程估计年 龄为 50 岁时人体的脂肪含量。 附： 参考数据： 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 19. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD=60，APD=90，且 AD=PB (l)求证：平面 PAD 平面 ABCD； (2)若 ADPB，求二面角 D-PB-C 的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，动点 M 分别与两个定点 A(-2，0)，B(2，0)的连线的斜率之积为 (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； - 5 - (2)设过点（-1，0）的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，判断直线 x=与以线段 PQ 为直径的圆的位置关系， 并说明理由 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=lnx - (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)有两个零点 xl，x2，求 k 的取值范围，并证明 x1+x2 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4 -4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线l的参数方程为 sin3 ,cos2 ty tx （t 为参数）在以坐标原点 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2= 2p cos +8 (1)求直线l的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线 C 交于 A，B 两点，且求直线l的倾斜角 23.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 己知函数 f(x) =|2x-l|-a (1)当 a=l 时，解不等式 f(x)x+1； (2)若存在实数 x，使得 f(x) f(x+1)成立，求实数 a 的取值范围. - 6 - 绝密 启用前 20192019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 理科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一一、选择题、选择题 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 答案答案 B B D D B B A A D D B B D D A A C C C C B B D D 二二、填空题、填空题 137 142 15 5 5 16 2 2 3 R 三、三、解答题解答题 1717解法解法 1 1： （： （1 1）设等比数列 n a的公比为q， 因为 23 4aa， 14 3a a ， 所以 2 11 3 11 4, 3. a qa q aa q 2 分 解得 1 9, 1 , 3 a q 或 1 1 , 3 3. a q 4 分 - 7 - 因为 n a是递增的等比数列， 所以 1 1 3 a ，3q 5 分 所以数列 n a的通项公式为 2 3n n a 6 分 解法解法 2 2： （： （1 1）设等比数列 n a的公比为q， 因为 23 4aa， 1423 3a aa a， 所以 2 a， 3 a是方程 2 430 xx的两个根2 分 解得 2 3 1, 3, a a 或 2 3 3, 1. a a 4 分 因为 n a是递增的等比数列， 所以 2 1a ， 3 3a ，则3q 5 分 所以数列 n a的通项公式为 2 3n n a 6 分 （2 2）由（1）知 2 3n n bn 7 分 则 1012 1 32 33 33n n Sn ， 8 分 在式两边同时乘以3得， 0121 31 32 33 33n n Sn ， 9 分 -得 10121 233333 nn n Sn ，10 分 即 1 1 1 3 3 23 1 3 n n n Sn ， 11 分 所以 1 11 213 412 n n Sn 12 分 1818解：解：（1 1）根据上表中的样本数据及其散点图： （） 26273941 495356586061 47 10 x 2 分 - 8 - （）r 1 22 22 11 n ii i nn ii ii x ynxy xn xyn y 22 13527.8 10 47 27 23638 10 477759.6 10 27 3 分 13527.8 12690 2363822090 7759.67290 837.8 1548469.6 4 分 8378 6 434 2935 5 分 因为436.56，293554.18， 所以0.98r 6 分 由样本相关系数0.98r ，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强7 分 （2 2）因为回归方程为 1.56ybx，即1.56a 所以 27 1.56 0.54 47 ya b x 【或利用 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy xn x 837.8 0.54 1548 】10 分 所以y关于x的线性回归方程为0.541.56yx 将50 x 代入线性回归方程得0.54 50 1.5628.56y 11 分 所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%12 分 1 19 9 （1 1）证明：）证明：取AD中点O，连结OP，OB，BD， 因为底面ABCD为菱形，60BAD， 所以ADABBD 因为O为AD的中点， 所以OBAD1 分 在APD中，90APD ， O为AD的中点， 所以 1 2 POADAO D C BA P O - 9 - 设2ADPBa,则 3OBa ，POOAa， 因为 222222 34POOBaaaPB ，所以OPOB2 分 【2 2 分分段另证段另证：在APD中，90APD ，O为AD的中点，所以 1 2 POADAO 在 BOP和 BOA中， 因为POAO，PBADAB，BOBO， 所以 BOP BOA 所以90BOPBOA 所以OP OB 】 因为OP ADO ，OP 平面PAD，AD平面PAD， 所以OB 平面PAD3 分 因为OB 平面ABCD， 所以平面PAD平面ABCD4 分 （2 2）解法）解法 1 1：因为ADPB，ADOB，OBPBB， PB平面POB，OB 平面POB， 所以AD平面POB 所以POAD 由（1）得POOB，ADOB， 所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直 5 分 以O为坐标原点， 分别以OA，OB，OP所在直线为x 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系6 分 设2AD，则(1,0,0)A，( 1,0,0)D ， 0, 3,0B ， 0,0,1P ，7 分 所以 1,0, 1PD ， 0, 3, 1PB ， ( 2,0,0)BCAD ，8 分 设平面PBD的法向量为 111 ,x y zn ， 则 11 11 0, 30, PDxz PByz n n 令 1 1y ，则 1 3x ， 1 3z ， z y x O P AB C D - 10 - 所以 3,1, 3 n9 分 设平面PBC的法向量为 222 ,xy zm， 则 2 22 20, 30, BCx PByz m m 令2 1y ，则 2 0 x ， 2 3z ， 所以0,1, 3m10 分 设二面角DPBC为，由于为锐角， 所以coscos,m n11 分 42 7 727 所以二面角DPBC的余弦值为 2 7 7 12 分 解法解法 2 2：因为ADPB，ADOB，OBPBB，PB平面POB，OB 平面POB， 所以AD平面POB 所以POAD5 分 所以POa，2PDa 过点D作DHPB，H为垂足， 过点H作/ /HGBC交PC于点G，连接DG，6 分 因为ADPB，/ /BCAD， 所以BCPB，即HGPB 所以DHG为二面角DPBC的平面角7 分 在等腰BDP中，2BDBPa，2PDa， 根据等面积法可以求得 7 2 DHa8 分 进而可以求得 1 2 PHa， H G D C BA P O - 11 - 所以 1 2 HGa， 2 2 PGa9 分 在PDC中，2PDa，2DCa，2 2PCa， 所以 222 3 cos 24 PDPCDC DPC PDPC 在PDG中，2PDa， 2 2 PGa， 3 cos 4 DPC， 所以 2222 2cosDGPDPGPDPGDPGa，即DGa10 分 在DHG中， 7 2 DHa， 1 2 HGa，DGa， 所以 222 cos 2 DHHGDG DHG DHHG 11 分 2 7 7 所以二面角DPBC的余弦值为 2 7 7 12 分 2020解： （解： （1 1）设动点M的坐标为, x y， 因为 2 MA y k x 2x ， 2 MB y k x 2x ，1 分 所以 1 222 MAMB yy kk xx 2 分 整理得 22 1 42 xy 3 分 所以动点M的轨迹C的方程 22 1 42 xy 20 xy 或4 分 （2 2）解法）解法 1 1：过点1,0的直线为x轴时，显然不合题意5 分 - 12 - 所以可设过点1,0的直线方程为1xmy， 设直线1xmy与轨迹C的交点坐标为P 11 ,x y， 22 ,Q xy， 由 22 1, 1, 42 xmy xy 得 22 2230mymy6 分 因为 2 2 21220mm ， 由韦达定理得 1 y 2 y= 2 2 2 m m ， 1 y 2 y= 2 3 2m 7 分 注意到 1 x 2 x= 12 2 4 2 2 m yy m 所以PQ的中点坐标为 22 2 , 22 m N mm 8 分 因为 2 12 1PQmyy 2 2 22 212 1 22 m m mm 22 2 2146 2 mm m 9 分 点N到直线 5 2 x 的距离为 2 2 2 5256 2222 m d mm 10 分 因为 2 d 2 4 PQ 42 2 2 92012 0 42 mm m ，11 分 即d 2 PQ ， 所以直线 5 2 x 与以线段PQ为直径的圆相离12 分 解法解法 2 2： ： 当过点1,0的直线斜率不存在时， 直线方程为1x ， 与 22 1 42 xy 交于 6 1, 2 P 和 6 1, 2 Q 两点，此时直线 5 2 x 与以线段PQ为直径的圆相离5 分 当过点1,0的直线斜率存在时，设其方程为1yk x， - 13 - 设直线1yk x与轨迹C的交点坐标为P 11 ,x y， 22 ,Q xy， 由 22 1 , 1, 42 yk x xy 得 2222 214240kxk xk6 分 因为 2 2222 44 21 2424160kkkk ， 由韦达定理得 12 xx 2 2 4 21 k k ， 12 x x 2 2 24 21 k k 7 分 注意到 1212 2 2 2 21 k yyk xxk k 所以PQ的中点坐标为 2 22 2 , 21 21 kk N kk 8 分 因为 2 12 1PQkxx 2 2 2 2 22 4 24 4 1 2121 k k k kk 22 2 2164 21 kk k 9 分 点N到直线 5 2 x 的距离为 22 2 2 5265 2212 21 kk d kk 10 分 因为 2 d 2 4 PQ 42 2 2 12209 0 4 21 kk k ，11 分 即d 2 PQ ， 所以直线 5 2 x 与以线段PQ为直径的圆相离12 分 2121 （1 1）解：解：因为 2 ( )ln k f xx x ，函数 fx的定义域为0,， 所以 2 33 122 ( ),0 kxk fxx xxx 1 分 - 14 - 当0k 时， 0fx， 所以函数( )f x在0,上单调递增2 分 当0k 时，由( )0fx，得2xk（负根舍去） ， 当0,2xk时， 0fx，当2 ,xk时， 0fx， 所以函数 fx在0,2k上单调递减；在 2 ,k上单调递增3 分 综上所述，当0k 时，函数( )f x在(0,)上单调递增；当0k 时，函数( )f x在0,2k上单 调递减，在 2 ,k上单调递增4 分 （2 2）先先求求k的的取值范围：取值范围： 【方法【方法 1 1】由（1）知，当0k 时，( )f x在0,上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件 5 分 当0k 时，函数( )f x在0,2k上单调递减，在 2 ,k上单调递增， 所以 min 1 ( )2ln2 2 f xfkk， 要使函数( )f x有两个零点，首先 min 1 ( )ln20 2 f xk，解得 1 0 2e k6 分 因为221kk，且 10fk ， 下面证明 1 2ln20 4 fkk k 设 1 ln2 4 g kk k ，则 22 1141 44 k g k kkk 因为 1 2e k ，所以 222 2 1 1141 e 0 444 k g k kkkk 所以 g k在 1 ,0 2e 上单调递增， 所以2fk 11e ln0 2ee2 g kg - 15 - 【若考生【若考生书写为：书写为：因为当0 x 时， f x ，且 10fk 此处此处不扣分不扣分】 所以k的取值范围是 1 ,0 2e 7 分 【方法【方法 2 2】由 2 ( )ln0 k f xx x ，得到 2 lnkxx5 分 设 2 lng xxx，则 2ln1gxxx 当 1 2 0ex 时， 0gx，当 1 2 ex 时， 0gx， 所以函数 g x在 1 2 0,e 上单调递减，在 1 2 e, 上单调递增 所以由 min g x 1 2 1 e 2e g 6 分 因为0 x 时， 0g x ，且 10g， 要使函数( )f x有两个零点，必有 1 0 2e k 所以k的取值范围是 1 ,0 2e 7 分 再再证明证明 12 22xxk： 【方法【方法 1 1】因为 1 x， 2 x是函数( )f x的两个零点，不妨设 12 xx，令 21 xtx，则1t 所以 1 2 1 2 2 2 ln0, ln0, k x x k x x 即 21 22 21 lnln kk xx xx 8 分 所以 222 11 ln kk t t xx ，即 2 1 2 1 1 ln k x tt ， 1 0 2e k，1t 要证 12 22xxk，即证 2 12 8xxk 9 分 即证 2 2 1 18xtk ，即证 2 2 1 118 ln k tk tt - 16 - 因为 1 0 2e k，所以即证 2 2 1 118lntt t ， 或证 2 2 1 8ln110tt t 1t 10 分 设 2 2 1 ( )8ln11h ttt t ，1t 即 2 2 21 ( )8ln2h tttt tt ，1t 所以 2 2 2 233 2121 822 ( )220 tt t h tt tttt 【用其他方法判断用其他方法判断 0h t均可，均可，如令分子为如令分子为 u t，通过多次求导判断】通过多次求导判断】 所以( )h t在1,上单调递减，11 分 所以 2 2 1 ( )8ln11(1)0, 1h tttht t 所以 12 22xxk12 分 【方法【方法 2 2】因为 1 x， 2 x是函数( )f x有两个零点，不妨设 12 xx，令 21 xtx，则1t 所以 1 2 1 2 2 2 ln0, ln0, k x x k x x 即 21 22 21 lnln kk xx xx 8 分 所以 222 11 ln kk t t xx ，即 2 1 2 1 1 ln k x tt ， 1 0 2e k，1t 要证 12 22xxk，需证 1 2 2x xk9 分 即证 2 1 2txk ，即证 2 1 12 ln k tk tt 因为 1 0 2e k，所以即证 1 2lntt t 1t 10 分 设 1 ( )2lnh ttt t ， - 17 - 则 2 22 121 ( )10 t h t ttt ，1t 所以( )h t在 1,上单调递减，11 分 所以 1 ( )2lnh ttt t 10h 所以 12 22xxk12 分 【方法【方法 3 3】因为 1 x， 2 x是函数( )f x有两个零点，不妨设 12 xx，令 21 xtx，则1t 所以 1 2 1 2 2 2 ln0, ln0. k x x k x x 即 12 22 12 lnln kk xx xx 8 分 要证 12 22xxk，需证 1 2 2x xk9 分 只需证 12 lnlnln2xxk 即证 22 12 ln2 kk k xx ，即证 22 11 ln2 kk k xtx 即证 22 1 11 1ln2kk tx 10 分 因为 1 20kx，所以 2 1 2xk，即 2 1 11 2xk 11 分 所以 2222 1 1111111 1111 11 222 kk txtkt 而 1 ln2ln1 e k ， 所以 22 1 11 1ln2kk tx 成立 所以 12 22xxk12 分 【方法【方法 4 4】因为 1 x， 2 x是函数( )f x有两个零点，不妨设 12 xx，令 21 xtx，则1t - 18 - 由已知得 1 2 1 2 2 2 ln0, ln0, k x x k x x 即 21 22 21 lnln kk xx xx 8 分 先证明 21 21 12 lnln1xx xx x x ，即证明 1 ln t t t 1t 设 1 ln t h tt t ，则 2 1 0 2 t h t t t 所以 h t在1,上单调递增，所以 10h th，所证不等式成立9 分 所以有 21 21 lnlnxx xx 12 22 12 12 1k xx x xx x 10 分 即 3 1212 k xxx x 因为 12 12 2 xx x x （ 12 xx） ，11 分 所以 3 12 12 2 xx k xx ，即 2 12 8xxk 所以 12 22xxk12 分 【方法【方法 5 5】要证 12 22xxk，其中 1 x 0,2k， 2 x 2 ,k， 即证 21 22xkx8 分 利用函数 fx的单调性，只需证明 21 22f xfkx 因为 21 fxfx ，所以只要证明 11 22f xfkx，其中 1 x 0,2k9 分 构造函数 22F xf xfkx，0,2xk， 则 22 lnln 22 22 kk F xxkx x kx 10 分 因为 33 1212 22 22 kk Fx xxkx kx - 19 - 2 2 3 3 422222 22 22 22 kkkxxkxx k xkx xkx （利用均值不等式）（利用均值不等式） 2 2 2242 22 22 kkk xkx xkx 2 2 2 222 0 22 k xk xkx ， 所以 F x在0,2k上单调递减11 分 所以 11 2ln2ln20 22 F xFkkk 所以 22f xfkx在0,2k上恒成立 所以要证的不等式 12 22xxk成立12 分 2222 （1 1）解法）解法 1 1：因为直线l的参数方程为 sin3 ,cos2 ty tx （t为参数） ， 当= 2 时，直线l的直角坐标方程为2x 1 分 当 2 时，直线l的直角坐标方程为3tan2yx3 分 因为 222, cosxyx，4 分 因为8cos2 2 ，所以 22 28xyx 所以C的直角坐标方程为082 22 xyx5 分 解法解法 2 2：因为直线l的参数方程为 sin3 ,cos2 ty tx （t为参数） ， 则有 sin2sinsincos , cos3cossincos , xt yt 2 分 所以