数学 最新3类编 12 数列的综合应用 文pdf

海岛算经 海岛算经 本来不是一部独立的著作, 是刘徽为了解释“ 重差术” 而附在 九章算术 中 勾股 后的一些问题所 谓“ 重差术” 是计算极高和极低的方法, 是透过对对象的反复观测, 在不引入三角函数的情况下, 运用相似三角形的对应边成 比例的原理来计算出精确的结果, 所以 海岛算经 标志着中国古代测量数学的成就唐代初年, 这一部分被人从 九章算术 抽出来独立成书, 因第一题是测量有关海岛的高度及距离的问题, 故把它命名为 海岛算经 第 十 二 章 数列的综合应用 一、选择题 ( 安徽文)公比为的等比数列an 的各项都是 正数, 且aa , 则a等于( ) A B C D ( 全国大纲文)已知数列an 的前n项和为Sn,a ,Snan,则Sn等于( ) A n B () n C () n D n ( 全国新课标文 )数列an 满足an() n an n, 则an 的前 项和为( ) A B C D ( 辽宁文)在等差数列an 中, 已知aa , 则aa 等于( ) A B C D ( 湖北文)定义在(,)(,) 上的函数 f(x) , 如果对于任意给定的等比数列an , f(an) 仍是等比数 列, 那么称f(x) 为“ 保等比数列函数”现有定义在(,) ( ,) 上的如下函数:f(x)x ; f(x) x; f(x) |x|;f(x) l n |x| 则其中是“ 保等比数列函数” 的f(x) 的序号为( ) AB CD ( 四川文 )设函数f(x)(x) x, an 是公差不为的等差数列, f(a)f(a)f(a) , 则 aaa等于( ) A B C D ( 福建文 )数列an 的通项公式annc o s n , 其 前n项和为Sn, 则S 等于( ) A B C D ( 北京文)已知an 为等比数列, 下面结论中正确 的是( ) AaaaBa a a 最新年高考试题分类解析数学 孙子算经 孙子算经 共分上、 中、 下三卷上卷叙述筹算乘除法, 中卷叙述筹算的分数算法和开平方法, 是了解中 国古代筹算的很好的资料, 可以补充 九章算术 的不足, 下卷则是收集了一些算术难题的问题集如已知头数和足数 的“ 鸡兔同笼” 问题, 在今天的算术教科书中仍然是常见的问题在 孙子算经 中, 最有名的当然是下卷第 题, 就是 通常所称的“ 孙子问题” , 也是现称为“ 中国剩余定理” 的出处 C若aa, 则aaD若aa, 则aa ( 北京文)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间 的关系如图所示, 从目前记录的结果看, 前m年的年平均产量最 高, 则m的值为( ) ( 第题) A B C D ( 江西文)设an 为等差数列, 公差d,Sn 为其前n项和, 若S S , 则a等于( ) A B C D ( 重庆文)在等差数列an 中,a,a, 则 a 等于( ) A B C D ( 湖北文) 九章算术 “ 竹九节” 问题: 现有一根 节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面节的容积 共升, 下面节的容积共升, 则第节的容积为( ) A 升B 升 C 升 D 升 ( 辽宁文)若等比数列an 满足anan n, 则 公比为( ) A B C D ( 四川文)数列an 的前n项和为Sn, 若a, anSn(n) , 则a等于( ) A B C D ( 安徽文)若数列an 的通项公式是an() n ( n ) , 则aaa 等于( ) A B C D ( 湖北文)已知等比数列am 中, 各项都是正 数, 且a, a ,a成等差数列, 则 aa aa 等于( ) A B C D ( 广东文)已知数列an 为等比数列,Sn是它的 前n项和, 若aaa, 且a与a的等差中项为 , 则S 的值为( ) A B C D 二、填空题 ( 重庆文 )首项为, 公比为的等比数列的前 项和S ( 全国新课标文 )等比数列an 的前n项和为 Sn, 若SS, 则公比q ( 江西文 )等比数列an 的前n项和为Sn, 公 比不为若a, 且对任意的nN都有a nanan , 则S ( 上海文)有一列正方体, 棱长组成以为首 项、 为公比的等比数列, 体积分别记为V、V、 、Vn、 , 则 l i m n( VVVn) ( 上海文 )已知f(x) x, 各项均为正数的 数列a n 满足a,anf(an) , 若a a , 则a a 的 值是 ( 辽宁文 )已知等比数列an 为递增数列若 a, 且(anan)an, 则数列an 的公比q ( 北京文 )已知an 为等差数列,Sn为其前n 项和, 若a , Sa, 则a ,Sn ( 浙江 文 )等比数列an 满 足aa , 则 aa a ( 天津文 )已知an 是等差数列,Sn为其前n 项和, nN, 若a ,S , 则S 的值为 ( 辽宁文 )Sn为等差数列an 的前n项和,S S,a, 则a ( 江苏 )设aaa, 其中a,a,a, a成公比为q的等比数列,a,a,a成公差为的等差数列, 则 q的最小值是 ( 广东文 )已知an 是递增等比数列,a, aa, 则此数列的公比q ( 福建文 )商家通常依据“ 乐观系数准则” 确定 商品销售价格, 即根据商品的最低销售限价a, 最高销售限价b(b a) 以及实数x(x) 确定实际销售价格cax(ba) , 这里x被称为乐观系数经验表明, 最佳乐观系数x恰好使得 ( ca) 是(bc) 和(ba) 的等比中项, 据此可得, 最佳乐观系数 x的值等于 ( 北京文 )在等比数列an 中, 若a , a , 则公比q ;aaan ( 浙江文 )若数列n(n) () n 中的最大 项是第k项, 则k ( 天津文 )设an 是等比数列, 公比q ,Sn 为 an 的前n项和记Tn SnSn an , nN设Tn 为数列 第十二章 数列的综合应用 蜂巢断面为正六边形( 一) 如果切开蜂巢的话, 你就会发现它是由很多呈正六边形的棱柱叠加而成的正三角形的每个 角为 , 所以在任意一顶点衔接个这样的角就是 , 同样, 在一个内角为 的正四边形上对接个相同的角或在内 角为 的正六边形上对接个相同的角则都是 在所有边长都相同的正多边形当中, 能在平面衔接最紧密的也只 有正三角形、 正四边形和正六边形这三种为了建巢, 在这三种选择中蜜蜂选择了正六边形那么, 蜜蜂选择正六边形的理 由是什么呢? Tn 的最大项, 则n 三、解答题 ( 浙江文 )已知数列an 的前n项和为Sn, 且 Snn n, nN, 数列bn 满足an l o gbn,nN ( ) 求an,bn; ( ) 求数列anbn 的前n项和Tn ( 江苏文 )已知各项均为正数的两个数列an 和 bn 满足:an anbn a nb n , nN ( ) 设bnb n an ,nN, 求 证: 数 列 bn an () 是 等 差数列; ( ) 设bn b n an , nN, 且an 是等比数列, 求a和b 的值 ( 四川文 )已知数列an 的前n项和为Sn, 常 数, 且 aa nSSn对一切正整数n都成立 ( ) 求数列an 的通项公式; ( ) 设a, , 当n为何值时, 数列 l g an 的前n 项 和最大? ( 湖南文 )某公司一下属企业从事某种高科技 产品的生产该企业第一年年初有资金 万元, 将其投入生 产, 到当年年底资金增长了 预计以后每年资金年增长率与 第一年的相同公司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金 d万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业 上缴资金后的剩余资金为an万元 ( ) 用d表示a,a, 并写出an与an的关系式; ( ) 若公司希望经过m(m) 年使企业的剩余资金为 万元, 试确定企业每年上缴资金d的值( 用m表示) ( 重庆文 )已知an 为等差数列, 且aa, aa ( ) 求an 的通项公式; ( ) 记an 的前n项和为Sn, 若a,ak,Sk成等比数列, 求 正整数k的值 ( 陕西 文 )已知等比数列an 的公比为q ( ) 若a , 求数列 an 的前n项和; ( ) 证明: 对任意kN,ak,ak,ak成等差数列 ( 湖北文 )已知等差数列an 前三项的和为 , 前三项的积为 ( ) 求等差数列an 的通项公式; ( ) 若a,a,a成等比数列, 求数列|an| 的前n项和 ( 天津文 )已知an 是等差数列, 其前n项和为 Sn, bn 是等比数列, 且ab,ab ,Sb ( ) 求数列an 与bn 的通项公式; ( ) 记Tnababanbn,nN, 证明:Tn anbn(nN,n) ( 山东 文 )已知等差数列an 的前项和为 , 且a a ( ) 求数列an 的通项公式; ( ) 对任意mN, 将数列an 中不大于 m的项的个数记 为bm求数列bm 的前m项和Sm ( 全国大纲文 )已知数列an 中,a, 前n项 和Snn an求: ( )a,a; ( ) an 的通项公式 ( 安徽文 )设函数f(x) x s i nx的所有正 的极小值点从小到大排成的数列为 xn ( ) 求数列xn 的通项公式; ( ) 设xn 的前n项和为Sn, 求s i nSn ( 上海文 )对于项数为m的有穷数列an , 记 bkm a xa,a, ,ak (k, ,m) , 即bk为a,a, ,ak中 的最大值, 并称数列 bn 是an 的控制数列, 如,的控 制数列是, ( ) 若各项均为正整数的数列an 的控制数列为, , 写出所有的an ; ( ) 设bn 是an 的控制数列, 满足akbmkC(C为常 数, k, ,m) , 求证:bkak(k, ,m) ; ( ) 设m , 常数a , (), 若a na n ( ) n(n) n, bn 是an 的控制数列, 求(ba)(ba)(b a ) ( 广东文 )设数列an 的前n项和为Sn, 数列Sn 的前n项和为Tn, 满足Tn S nn , nN 求: ( )a的值; ( ) 数列an 的通项公式 ( 福建文 )在等差数列an 和等比数列bn 中, ab,b, an 的前 项和S ( ) 求an和bn; ( ) 现分别从an 和bn 的前项中各随机抽取一项, 写出 相应的基本事件, 并求这两项的值相等的概率 ( 江西文 )已知数列an 的前n项和Snk c n k( 其中c,k为常数) , 且a,aa求: ( )an; ( ) 数列n an 的前n项和Tn ( 上海文 )已知数列an 和bn 的通项公式分 别为a nn,bnn(nN ) 将集合x|xan,nN x|xbn,nN 中的元素从小到大依次排列, 构成数列c, c,c, ,cn, ( ) 求三个最小的数, 使它们既是数列an 中的项, 又是数列 bn 中的项; ( ) 数列c,c,c, ,c 中有多少项不是数列bn 中的项? 请说明理由; ( ) 求数列cn 的前n项和Sn(nN) ( 江西文 )() 已知两个等比数列an , bn , 满 足aa(a) ,b a,ba,ba, 若数列an 唯 最新年高考试题分类解析数学 蜂巢断面为正六边形( 二) 用正三角形建巢很坚固这是事实, 不过相对使用的建巢材料而言空间显得狭小确切地说, 就是盖相同空间的蜂巢, 正三角形相对正六边形需要多倍的材料, 而如果用正四边形的话, 两侧又不太牢固, 容易遭到 外部力量的破坏如果用正六边形的话, 几个边相互对接紧密, 不仅结构坚固, 而且还可使用相对较少的材料获得较大的 空间, 可谓经济实用 一, 求a的值; ( ) 是否存在两个等比数列an , bn , 使得ba,ba, ba,ba成公差不为的等差数列? 若存在, 求出an , bn 的通项公式; 若不存在, 请说明理由 ( 湖北文 )成等差数列的三个正数的和等于 , 并且这三个数分别加上, 后成为等比数列bn 中的b, b,b ( ) 求数列bn 的通项公式; ( ) 数列bn 的前n项和为Sn, 求证: 数列Sn 是等比 数列 ( 全国新课标文 )已知等比数列an 中,a , 公比q ( )Sn为an 的前n项和, 证明:Sn an ; ( ) 设bn l o ga l o ga l o gan, 求数列bn 的通项 公式 ( 重庆文 )已知an 是首项为 , 公差为的 等差数列, Sn为an 的前n项和 ( ) 求通项an及Sn; ( ) 设bnan 是首项为, 公比为的等比数列, 求数列 bn 的通项公式及其前n项和Tn ( 全国文 )记等差数列an 的前n项和为Sn 设S , 且a,a,a成等比数列, 求Sn ( 北京文 )已知an 为等差数列, 且a ,a ( ) 求an 的通项公式; ( ) 若等比数列bn 满足b,baaa, 求bn 的 前n项和公式 ( 陕西文 )已知an 是公差不为零的等差数列, a, 且a,a,a成等比数列求: ( ) 数列an 的通项; ( ) 数列 a n 的前n项和Sn ( 江苏 )设各项均为正数的数列an 的前n项 和为Sn, 已 知aaa, 数 列Sn是 公 差 为d的 等 差 数列 ( ) 求数列an 的通项公式; ( 用n,d表示) ( ) 设c为实数, 对满足mnk且mn的任意正整数 m,n,k, 不等式SmSnc Sk都成立求证:c的最大值为 ( 四川文 )已知等差数列an 的前项和为, 前项和为 ( ) 求数列an 的通项公式; ( ) 设bn(an)q n( q,mN ) , 求数列 bn 的前n 项和Sn ( 湖北文 )已知某地今年年初拥有居民住房的 总面积为a( 单位:m ) , 其中有部分旧住房需要拆除 当地有关部 门决定每年以当年年初住房面积的 建设新住房, 同时也拆 除面积为b( 单位:m ) 的旧住房 ( ) 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式; ( ) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房 面积增加了 , 则每年拆除的旧住房面积b是多少? ( 计算时 取 ) ( 天津文 )在数列an 中,a, 且对任意k N,ak,ak,ak成等差数列, 其公差为k ( ) 证明a,a,a成等比数列; ( ) 求数列an 的通项公式; ( ) 记Tn a a n an , 证 明: nTn ( n) ( 湖南文 )给出下面的数表序列: 表表表 其中表n(n, ) 有n行, 第行的n个数是, ,n , 从第行起, 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和 ( ) 写出表, 验证表各行中的数的平均数按从上到下的 顺序构成等比数列, 并将结论推广到表n(n) ( 不要求证明) ; ( ) 每个数表中最后一行都只有一个数, 它们构成数列, , , 记此数列为 bn求和: b bb b bb bn bnbn ( nN ) ( 安徽文 )设C、C、 、Cn、 是坐标平面上的 一列圆, 它们的圆心都在x轴的正半轴上, 且都与直线y x 相切, 对每一个正整数n, 圆Cn都与圆Cn相互外切, 以r n表示 Cn的半径, 已知rn 为递增数列 ( ) 证明: rn 为等比数列; ( ) 设r, 求数列 n rn 的前n项和 ( 第 题) ( 江西文 )正实数数列an 中,a,a, 且 a n 成等差数列 ( ) 证明: 数列an 中有无穷多项为无理数; ( ) 当n为何值时,an为整数? 并求出使an 的所有整 数项的和 第十二章 数列的综合应用 C 的别名是足球 在化学分子中能找到足球的影子 年, 由 个碳原子组成的C 在实验室合成成功, 而发现这一物 质的科学家为此还获得了 年诺贝尔化学奖 C 又名巴克球(b u c k y b a l l) , 其结构与足球相同为截角正二十面体, 在 个顶点各有一个碳原子犹如用脚踢来踢去也安危无恙的足球一样 C 同样具有很强的耐高温、 耐高压的特性, 结构非常稳 定; 同时对放射线也有很强的抵抗力, 所以在纳米技术等许多方面前景十分看好 A 【 精析】 因为an,aa a q a , 所以 a , 所以a aq 故选A B 【 精析】 a,Snan, a Snan两式作差则得到 an an ( n) an , () n , n, n Sn () n () n B 【 精析】aa,aaa,aa a,aaa,aaa,a aa,a a a, , 所以aaaa (aaa a)(aaaa)(a a a a )( )()( ) , 故选B B 【 精析】 由等差数列性质, 得aa aa 故 选B C 【 精析】 设数列an 的公比为q对于, f(an) f(an) a n a n q , 故数 列 f(an) 是 公比 为q 的等 比数 列; 对 于, f(an) f(an) a n a n a nan( 不为常数) , 故数列 f(an) 不是等 比数列; 对于, f(an) f(an) |an | |an| an an |q|, 故 数列 f(an) 是等比数列; 对于, f(an) f(an) l n | an| l n |an| ( 不为常 数) , 故数列 f(an) 不是等比数列由“ 保等比数列函数” 的定义 知应选C D 【 精析】 因为f()f()() , f()f()() , f()f()() ,f(), 所以f()f()f() , 于是由 f(a)f(a)f(a) , 得aaa 故选D A 【 精析】T , 且c o s c o s c o s c o s , 所以S 故选A B 【 精析】 由等比数列性质, 得a a aaa , 故 选B C 【 精析】 观察图形,m时,Sn值快速增加,m增 速减缓, 所以前年的年平均产量最高, 故选C B 【 精析】 因为S S , 所以a 又d, 所以 a da , 所以a , 故选B D 【 精析】 设ana(n)d, 则由 ad, ad, 解得 a, d 所以a ad 故选D B 【 精析】 设最上面一节的容积为a, 公差为d, 则由 aaaa, aaa, 得 ad, a d, 解得 a , d , 所以a , 即第节的容积为 升, 故选 B B 【 精析】 由anan n, 得a nan n, 所以 anan anan n n , 即q 又q, 所以q故选B A 【 精析】a,aa,a(aa), a(aaa)() , a , a , 故选 A A 【 精析】 因为aaaaaa , 所 以aaaa 故选A C 【 精析】 由aaa, 得aq a aq, 因为a ,q, 所以由q q, 得q , 所以a a aa q ( ) , 故选C C 【 精析】 因为 aaa, aa , 所以 aq a, aq aq , 解得 a , q 所以S () 故选C 【 精析】S 故选 【 精析】 由 a(q ) q a (q ) q , 得q q(q), 即q q, (q) , 所以q, 故填 【 精析】 由ananan, 得q q又 q, 所以q,S( ) 故填 【 精析】 因为V 、V、 、Vn、 是以为首项, 公比 为 () 的等比数列, 所以l i m n( VVVn) , 故填 最新年高考试题分类解析数学 网格球顶 C 的正式名称叫巴克敏斯特富勒(b u c k m i n s t e r f u l l e r e n e) 或富勒, 其结构与美国发明家理查德巴克敏斯 特富勒设计的“ 网格球顶” 外形相似, 故得此名网格球顶是把正二十面体的正三角形面分成多个相同的正三角形, 然后 将这些相同的正三角形内接于球体内, 最后将各顶点投射于球面而形成在外表面积相同的立体图形中球拥有的体积最 大, 所以, 与球相似的网格球顶较其他建筑物使用材料少、 拥有空间大, 而且又非常轻便、 稳定、 坚固, 因而成为建筑行业的 最爱 【 精析】 因为an an, a, 所以a , a ,a ,a ,a 又 因 为a a a , 所以a a , 解得a ( a ) 又a n an , 所 以a , 所 以a a a , 所以a a 故填 【 精析】 由(anan)an, 得(ananq ) anq, 所以q q又由题意, 得q, 所以q故填 n n 【 精析】 设公差为d, 则由a , Sa, 得 d , a, 所以Snn an ( n) d n n(n) n 故填, n n 【 精 析】 由 等 比 数 列 的 性 质, 得aa aa ( aa) () , 故填 【 精 析】 由 aad, S a d, 即a d , 解得a ,d, 所以S a d , 故填 【 精析】 由条件, 得aaaa, 即aa 又a, 所以a故填 【 精析】 设at, 则tqtq q 于是由 t, 得qm a xt,t, t 所以qm i n , 故填 【 精析】 由q q, 解得q或q, 又an 单调递增, 所以q, 故填 【 精析】cax(ba) ,bcba(ca) (x) (ba) , 最佳乐观系数满足ca是bc和ba的等 比中项, 所以有 x(ba) ( x) (ba) 又ba, 所以 x x, 即xx, 解得x 又x, 所以 x 故填 n 【 精析】 aaq q , 所以q, q所以aaana (q n) q ( n) n 故填, n 【 精析】 由题意, 得 k(k ) () k (k ) (k ) () k , k(k ) () k (k ) (k ) () k , 解得 ( k) , k 又kN, 所以k故填 【 精析】 Tn a() n a( n) a() n () () n () n () ( )() , 当且 仅 当 () n () n, 即 n , n时 等 号 成 立, 故填 () 由Snn n, 得 当n时,aS; 当n时,a nSnSnn 所以a nn,nN 由na n l o gbn, 得 bn n, nN ( ) 由() 知anbn(n) n, nN, 所以Tn ( n) n, Tn ( n) n( n) n 所以TnTn(n) n ( n) (n) n 故Tn(n) n, nN ()由 题 设 知an anbn a nb n b n an bn an () bn bn an () , 所以b n an bn an () , 从而 bn an () bn an () (nN) , 所以数列 bn an () 是以为公差的等差数列 ( ) 因为an,bn, 所以( anbn) a nb n(anbn) , 从而a n anbn a nb n () 设等比数列 an 的公比为q, 由an知q下证q 若q, 则aa q a , 故当n l o gq a 时, anaq n , 与() 矛盾; 若q, 则aa q a, 故当nl o gq a 时, an aq n, 与( ) 矛盾 综上, q, 故ana(nN ) , 所以a 又b n b n an a b n(nN ) , 第十二章 数列的综合应用 蜗牛爬树 一棵树高九丈八, 一只蜗牛往上爬白天往上爬一丈, 晚上下滑七尺八试问需要多少天, 爬到树顶不下滑? 解: 设蜗牛需x天才爬至树顶不下滑, 而爬到九丈八需x天, 可列方程式如下: ( ) (x) , 解得x , 即蜗牛需 天才爬到树顶不下滑 所以 bn 是公比为 a 的等比数列 若a , 则 a , 于是bbb 又由a abn a b n , 得b n aa a a 所以b ,b,b中至少有两项相同, 矛盾 所以a , 从而b n aa a a 所以ab () 取n, 得 a Sa,a( a) 若a, 则Sn 当n时,a nSnSn, 所以an(n) 若a, 则a , 当n 时, an Sn,an Sn, 两式相减得a nanan, 所以a nan(n) , 从而数列an 是等比数列, 所以a na n n n 综上, 当a,a n; 当a时,an n ( ) 当a且 时, 令bn l g an , 由( ) , 有b n l g nnl g 所以数列 bn 是单调递减的等差数列( 公差为 l g ) bbb l g l g l g , 当n时,b nb l g l g l g , 故数列 l g an 的前项的和最大 () 由题意, 得a ( )d d aa( )d a d d anan( )d a nd ( ) 由() 得an a nd a nd ()d () an dd () n ad () () n 整理得a n () n ( d)d () n () n ( d)d 由题意, am , 即 () m ( d)d 解得d () m () m ( mm) mm 故该企业每年上缴资金d的值为 ( mm) mm 时, 经过 m(m) 年企业的剩余资金为 万元 () 设数列an 的公差为d, 由题意知 ad, ad 解得a,d, 所以a na(n)d(n)n ( ) 由() 可得Sn n(aan) n ( n) n(n) 因为a,a k,Sk成等比数列, 所以a kaSk 从而( k) ( k) (k) , 即k k 解得k或k( 舍去)因此k () 由aaq 及q , 得a, 所以 数 列 a n的 前n项 和Sn () n () () n ( ) 对任意kN; ak(akak)aq k(