数学理科江西卷1

绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至4页，共150分。第卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件，相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在复平面内，复数对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】D。 因所以对应的点在第四象限。2定义集合运算：设,，则集合的所有元素之和为A0 B2 C3 D6【解析】D 因。3若函数的值域是，则函数的值域是A B C D【解析】B. （换元法）令，则，4A B C D不存在【解析】A5在数列中，则A B C D【解析】A. ，6函数在区间内的图象是 【解析】D. 函数7已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A B C D【解析】C. 由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则 。又，所以8展开式中的常数项为A1 B46 C4245 D4246【解析】D. 常数项为9若，则下列代数式中值最大的是A B C D 【解析】A. （由得）10连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： 弦、可能相交于点 弦、可能相交于点 的最大值为5 的最小值为1其中真命题的个数为A1个 B2个 C3个 D4个【解析】C. 解：正确，错误。易求得、到球心的距离分别为3、2，若两弦交于，则，中，有，矛盾。当共线时分别取最大值5最小值111电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为A B C D【解析】C. 一天显示的时间总共有种，和为23总共有4种（为：09:59，18:59，19:49，19:58），故所求概率为12已知函数，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是A B C D 解：B. 当时，显然不成立当时，因当即时结论显然成立；当时只要即可即，则。绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第卷注意事项： 第卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上13直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则= 【解析】22 由已知得,则14不等式的解集为 【解析】15过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 【解析】抛物线的准线方法为，设、两点到准线的距离分别为，则，由已知得、两点的纵坐标为，所以16如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）【解析】BD。 易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。（也可经过计算比较复杂）三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在中，分别为角所对的边，求及【解析】由 得化简得 ， 又 由 得 即 由正弦定理 得 。18（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5。若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6。实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数（1）写出的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元。问实施哪种方案的平均效益更大？【解析】（1）的所有取值为的所有取值为,、的分布列分别为：0.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.150.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，, 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大。（3）令表示方案所带来的效益，则101520P0.350.350.3101520P0.50.180.32所以可见，方案一所带来的平均效益更大。19（本小题满分12分）等差数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且，是公比为64的等比数列。（1）求与；（2）求证.【解析】（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有 由知为正有理数，又由,为的因子之一，解得故（2） 20（本小题满分12分）如图，正三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且长度均为2、分别是、的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱、或其延长线分别相交于、，已知（1）求证：平面；（2）求二面角的大小。【解析】解法一：（1）证明：依题设，是的中位线，所以，则平面，所以。又是的中点，所以，则。因为，所以平面，则，因此平面。（2）作于，连。因为平面，根据三垂线定理知，就是二面角的平面角。作于，则，则是的中点，则。设，由得，解得，在中，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则所以所以所以平面由得，故：平面（2）由已知设则由与共线得:存在有得 同理:设是平面的一个法向量,则令得 又是平面的一个法量所以二面角的大小为（3）由（2）知，平面的一个法向量为。则。则点到平面的距离为21（本小题满分12分）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程；（2）求证：三点共线。【解析】设，由已知得到，且，（1）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以 解得由 可得即为重心所在曲线方程。（2）设切线的方程为：由得从而，解得因此的方程为：同理的方程为：又在上，所以，即点都在直线上又也在直线上，所以三点共线22（本小题满分14分）已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）对任意正数，证明：【解析】（1）当时，求得 ，于是当时，；而当 时，即在上单调递增，而在上