高中数学新题型选编共70个题二

高中数学新题型选编（共70个题）（二）36、有穷数列an，Sn为其前n项和，定义为数列an的“凯森和”， 如果有99项的数列a1、a2、a3、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列 1、a1、a2、a3、a4、a99的“凯森和”= 991 。37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知，求证， 证明：构造函数 因为对一切xR，恒有0，所以0, 从而得， （1）若，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。解：（1）若，求证： (4)（2）证明：构造函数 (6) (9) (11) 因为对一切xR，都有0，所以=0, 从而证得：. (14)38、已知两个向量， .（1）若t=1且，求实数x的值；（2）对tR写出函数具备的性质.解：（1）由已知得 2分 4分解得，或 6分（2） 8分具备的性质：偶函数；当即时，取得最小值（写出值域为也可）；单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减 14分说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（，）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分39、对于集合N=1, 2, 3, n及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合1, 2, 4, 6, 9的交替和是964216，集合5的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N=1, 2的所有非空子集为1，2，1, 2，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(21)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N=1, 2, 3, n的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= n .2n1 。(不必给出证明)40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有= 。41、已知（1）, 求的最小值（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质由 可抽象出由 可抽象出(1) 3等号当x=2时成立， 4(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)5由4y=lg(2x)可得：y=4lg(2x)(3) h(x)=_y=2x等_, (x)=_y=lgx等_1142、已知函数的最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。（3）若函数中， 是（2）中较大的一组，试写出在区间,n上的最大值函数的表达式。 答案：（1），配方得，由得最大值。3分 ，。6分 （2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。9分中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则12分（3）由（2）知13分 18分1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+1234nxOy43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数的值域为。44、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、Bn(n,yn)（nN） 顺次为一次函数图象上的点， 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、An(xn,0)（nN） 顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0a1）， 对于任意nN，点An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形。求yn的通项公式，且证明yn是等差数列；试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列xn的通项公式； 在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。解：（1）(nN),yn+1-yn=,yn为等差数列 (4) （2）xn+1-xn=2为常数 (6) x1,x3,x5,x2n-1及x2,x4,x6,，x2n都是公差为2的等差数列， x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a， xn= (10) （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()xn+1-xn=2() 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2() a=(n为奇数，0a1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n5，则(*)无解； (14) 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，xn+1-xn=2a. 2a=2()a=(n为偶数，0a1) (*)，取n=2，得a=, 若n4，则(*)无解. 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、. (18)45、证明：当a1时，不等式成立。要使上述不等式成立，能否将条件“a1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。 请你根据、的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。解：（1）证：,a1，0， 原不等式成立 (6) （2）a-1与a5-1同号对任何a0且a1恒成立，上述不等式的条件可放宽 为a0且a1 (9) （3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a0且a1，mn0，则有(12) 证：左式-右式= (14) 若a1，则由mn0am-n0,am+n0不等式成立； 若0a1，则由mn00am-n1, 0am+n1不等式成立.(16)46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：加密密钥密码发送解密密钥密码 明文 密文 密文 明文， 现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”， 再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密 后得到明文为 14 。47、规定ab=，a, b，若1k=3，则函数f(x)=kx的值域为 (1,+ ) 48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列 满足，则 （结论用数学式子表示）.和49、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 解（1）. 4分 （2）， 8分 ， 当时，. 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16分研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 18分50、定义一种运算“*”，对于，满足以下运算性质： ； 。则的数值为_3004_。 A B C D A1 B1 C1 D151、已知命题：平面上一矩形的对角线与边和 所成角分别为，则。若把它推广到空 间长方体中，试写出相应的命题形式：_ _。长方体中，对角线与棱所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角线与平面所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为，则。52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差(1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；(3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数(1)解：由等方差数列的定义可知：5分(2)证法一：是等差数列，设公差为，则又是等方差数列，7分 即， 10分，即是常数列11分证法二：是等差数列，设公差为，则又是等方差数列，设公方差为，则7分代入得， 同理有，两式相减得：即，10分，即是常数列11分证法三：（接证法二、）由、得出：若，则是常数列 8分若， 则 是常数, ，矛盾10分 是常数列 11分(3)依题意， ， ，或， 13分 即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种，故，这种密码共种16分53、已知函数，当点在的图像上移动时，点在函数的图像上移动（1） 若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；（2） 求函数的解析式；（3） 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为时有最小值而没有最大值解：（1）当点坐标为（），点的坐标为，2分点也在的图像上，即5分（根据函数的单调性求得，请相应给分）（2）设在的图像上则，即 8分而在的图像上，代入得，为所求11分（3）；或 等 15分如：当时，在单调递减， 故 ，即有最小值，但没有最大值18分（其他答案请相应给分）（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：在上必须有意义（否则不能参加与的和运算）；由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；为方便起见，可以考虑通过乘积消去；乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧（否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下54、如图，一个计算装置有两个数据输入口、与一个运算结果输出口，当、分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下： 若、分别输入1，则；若输入固定的正整数，输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；若输入1，输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。 试求： （1）的表达式；（2）的表达式； （3）若、都输入正整数，则输出结果能否为2005？若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。解：（1） （2） （3） ， 输出结果不可能为。55、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。 对自然数，规定为的阶差分数列，其中。 （1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？ （2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。 （3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。 解：（1），是首项为4，公差为2的等差数列。 是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。 （2），即，即， ，猜想： 证明：）当时，； ）假设时， 时， 结论也成立 由）、）可知， （3），即 存在等差数列，使得对一切自然都成立。56、对于在区间m，n上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意xm，n均有| f (x) g (x) |1，则称f (x)与g (x)在m，n上是接近的，否则称f (x)与g (x)在m，n上是非接近的，现有两个函数f 1(x) = loga(x 3a)与f 2 (x) = loga(a 0，a1)，给定区间a + 2，a + 3 （1）若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间a + 2，a + 3上都有意义，求a的取值范围； （2）讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间a + 2，a + 3上是否是接近的？解：（1）要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义，则有要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间a + 2，a + 3上有意义，等价于真数的最小值大于0即 （2）f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间a + 2，a + 3上是接近的| f 1 (x) f 2 (x)|11|loga(x 3a)(x a)|1a(x 2a)2 a2对于任意xa + 2，a + 3恒成立设h(x) = (x 2a)2 a2，xa + 2，a + 3且其对称轴x = 2a 2在区间a + 2，a + 3的左边当时f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间a + 2，a + 3上是接近的当 a 0，由不等式2=2，=3,，启发我们可以得出