第二章 卷积积分与积分变换

工程应用数学,主讲北京理工大学机械与车辆学院李晓雷,第二章卷积积分与积分变换,本章主要复习傅立叶级数，介绍傅立叶级数的复数表示，脉冲响应与卷积积分、傅立叶变换和拉普拉斯变换及其性质。,2.1傅立叶级数2.2脉冲响应与卷积积分2.3傅立叶变换2.4拉普拉斯变换,2.1傅立叶级数,1周期函数的傅立叶级数,2复数形式的傅立叶级数,1周期函数的傅立叶级数,如果g(t)是以T为周期的周期函数，即,g(t+T)=g(t),并且g(t)还满足下列条件(Dirichlet条件),1.在-T/2，T/2上连续,或者只有有限个一类间断点(即存在极限的间断点);,2.只有有限个极值；,3.在-T/2，T/2上绝对可积，即,则在-T/2，T/2上g(t)可以展成傅立叶级数，即有,这里：,称为周期函数g(t)的基频,p0(p=2，3，)称为基频的p次倍频。,a0=c0，b0=0,0=0,p=1,2,ap、bp、cp和p(p=0,1,2,)称为周期函数g(t)的傅立叶系数或谐波系数，cp是谐波的振幅,p是谐波的初相位。,c1cos(t1)称为周期函数g(t)的基波；cpcos(ptp)（p1）称为周期函数g(t)的基波的p次谐波。,2复数形式的傅立叶级数,单边傅立叶级数,根据欧拉公式,有,代入g(t)的傅立叶级数表达式,有,这里,0=0,=apibp=cp(cospisinp),p=1,2,双边傅立叶级数,由于对任意复数z有,因此，当p0时,则,而,令,因而可以得到,即,在频率轴的正半轴上，双边谱的系数dp与单边谱的系数Ap之间有如下关系,通常用频谱图来直观显示周期函数所包含的频率成分及其大小。以频率f(很少用)为横轴，分别以cp(或Ap)和p为纵轴作图，并称fcp图为g(t)的幅频图，fp图为相频图。一般来说，频谱图多为单边的，只画出f0的部分。周期函数频谱图的特点是只在离散点0，f，2f，上有值，被称为离散谱，有时也形象地称为谱线图。,例：求下图所示周期方波信号g(t)的傅立叶级数,a0=c0=0,利用0T=2，有,即,另外,因此,同样,周期函数的均方值,如果g(t)是简谐函数，即,g(t)=Acos0t,则g(t)的均方值为,显然，简谐函数的均方值只与它的振幅有关，与它的频率无关。,如果g(t)是周期函数，则可展为傅立叶级数,g(t)的均方值为,根据三角函数的性质,(mn),(mn),p=1,2,p=1,2,有,上式为周期函数的巴塞伐(Parserval)公式。它的右端为一无穷级数，级数的每一项是周期函数的谐波的均方值。巴塞伐公式表明，周期函数的均方值是它的基波和各次谐波的均方值之和。可以解释为，周期函数在时域内的总能量等于在频域内的总能量。巴塞伐公式表明，在频域中，运动的总能量是各谐波能量之和。换句话说，在频域中能量可按谐波直接相加。,2.2脉冲响应与卷积积分,1脉冲函数,2脉冲响应,3卷积积分,1脉冲函数,脉冲函数又称为函数,定义如下：,它表示在t=0时刻作用的一个幅值无穷大，但冲量为1的脉冲力。力学上称为单位脉冲力。,在时刻作用的单位脉冲力可表示为：,在任意时刻作用的幅值为的脉冲力可以表示为,意义：在时刻的一个力值无限大，但作用时间为零的脉冲力。,其冲量为：,函数性质：,(a)如果F(t)是一个连续函数，则,(b)(t)为偶函数，即,(t)=(t),2脉冲响应,例：设如图所示单自由度系统在t=0以前静止，在t=0时受到脉冲力(t)的激励。,这里：0表示小于零但无限接近于零的时刻，0+表示大于零但无限接近于零的时刻。,运动微分方程,根据动量定理，在0到0+这段时间内系统动量的改变为,mv(0+)mv(0)=,即在t=0时的脉冲力作用下，质量的速度v由v(0)=0变为v(0+)=/m，而位移没有变化。,当t0后，系统不受外力，是自由振动。,系统的运动微分方程为,=1时，即系统受到单位脉冲力作用时，系统响应称为系统脉冲响应，用h(t)表示：,在t时刻以前静止的系统，在t时受一个单位脉冲力激励后的响应为：,3卷积积分,以上例说明卷积积分。,在振动系统受任意持续激励时，可把激励看为一系列脉冲力的迭加。设在t=时刻附近的冲量。,它对t上一定存在,并且积分,绝对可积且一致收敛，G(s)为解析函数。,2拉普拉斯变换的性质,1.线性,2.微分,La1g1(t)+a2g2(t)=a1Lg1(t)+a2Lg2(t)L1a1G1()+a2G2()=a1L1G1()+a2L1G2(),Lg(t)=sLg(t)g(0)Lg(t)=s2Lg(t)sg(0)g(0),Lg(n)(t)=snLg(t)=snLg(t)sn1g(0)sn2g(0)sg(n2)(0)g(n1)(0),3.积分,L=s1Lg(t),4.延时,Lg(t)=Lg(t),5.位移,Leatg(t)=G(sa),6.尺度,Lg(at)=,7.初值与终值定理,Lg(t)=G(s)且存在,则,(a)初值定理如果,(b)终值定理如果,Lg(t)=G(s)且存在,则,8.卷积,Lg1(t)*g2(t)=G1(s)G2(s),L1G1(s)G2(s)=g1(t)*g2(t),Lg1(t)g2(t)=G1(s)*G2(s),g1(t)g2(t)=L1G1(s)*G2(s),它的拉普拉斯变换为,解：如果g(t)是周期函数,即有,例周期函数的拉普拉斯变换,g(t+T)=g(t)(t0),Lg(t)=,令u=tjT，则t=u+jT，dt=du。,t=jT时，u=0；t=(j+1)T时，u=T，因此,由于g(t)是周期函数，g(u+jT)g(u)，因此,Lg(t)=,Lg(t)=,3拉普拉斯逆变换的求法,由于g(t)的拉普拉斯变换就是的傅立叶变换，,根据傅立叶逆变换公式,有,由此可得,令s=+i，则有d