第二章_拉普拉斯变换.ppt

第二章,Laplace变换,本章内容,Laplace变换,Laplace变换的性质,Laplace逆变换,卷积,Laplace变换的应用,2.1,Laplace变换,本节内容,一、问题的提出,二、Laplace变换的概念,三、Laplace变换的存在定理,四、周期函数的Laplace变换,五、小结,拉普拉斯（P.S.Laplace，1749-1827），法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者.,一、问题的提出,对于一个函数j(t),有可能因为不满足Fourier变换的条件,因而不存在Fourier变换.因此,首先将j(t)乘上单位阶跃函数u(t),这样t小于零的部分的函数值就都等于零.而大家知道在各种函数中,指数函数ebt(b0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.,二、Laplace变换的概念,对函数取Fourier变换,可得,其中,若再设,则得,定义:,设函数当时有定义,而且积分,在s的某临域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,(s为一个复参量),函数,的Laplace变换式,二、Laplace变换的概念,记作:,的Laplace变换.,若是的Laplace变换,则称,为的Laplace逆变换.,记作:,称为,二、Laplace变换的概念,求单位阶跃函数,的Laplace变换.,根据Laplace变换的定义,有,这个积分在时收敛,而且有,求指数函数,的Laplace变换(k为实数).,根据,有,这个积分在时收敛,而且有,试求指数函数,的Laplace变换.,练习:,(k为实数),三、Laplace变换的存在定理,Laplace变换的存在定理:,若函数f(t)满足:,1)在t0的任一有限区间上分段连续;,2)当t时,的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数及,使得,成立.,在半平面上一定存在,右端的积分在上绝对收敛而且一致收敛,并且在的半平面内,为解析函数.,则的Laplace变换,三、Laplace变换的存在定理,求正弦函数,的Laplace变换.,(k为实数),根据,有,同理得余弦函数的Laplace变换,求周期性三角波,且f(t+2b)=f(t)的Laplace变换.,根据,有,则,而,因此,当,时,从而,四、周期函数的Laplace变换,设函数的周期为,即,当在一个周期上是分段连续的,则,周期函数的Laplace变换公式,注意:,满足Laplace变换存在定理条件的函数在处有界时,积分,的下限取或不会影响其结果.,证明:,函数在处有界时,积分,故,注意:,但当在处包含脉冲函数时,Laplace变换的积分下限必须明确指出是还是,因为,注意:,故,考虑上述情况.将进行Laplace变换的函数,当时有定义扩大为在及的任意一个邻域内有定义.,因此,应为,注意:,根据,求单位脉冲函数的Laplace变换.,利用性质:,有,求函数,的Laplace变换.,根据,有,根据附录,得到,求的Laplace变换.,根据定义,由欧拉公式有,从而得,在附录中没有现成的结果,但是,求的Laplace变换.,根据附录可以得到,五、小结,思考总结Laplace变换与Fourier变换的异同点.,注意类比于Fourier变换.,Laplace变换的定义是什么?存在条件是什么?,思考复习:,2.2,Laplace变换的性质,这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质.为了叙述方便,假定在这些性质中,凡是需要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分定理中的条件.在证明这些性质时,不再重述这些条件.,说明,注意和Fourier变换比较区分.,本节内容,七、小结,一、线性性质,二、微分性质,六、初值定理与终值定理,三、积分性质,四、位移性质,五、延迟定理,这个性质表明了函数线性组合的Laplace变换等于各个函数Laplace变换的线性组合.它的证明只需根据定义就可推出.,一、线性性质,设,a,b是常数,则,二、微分性质,证明:由Laplace变换的定义,并利用分部积分可得,推论:,二、微分性质,此性质可以使我们有可能将的微分方程转化为的代数方程。,二、微分性质,利用微分性质求函数f(t)=coskt的Laplace变换.,移项化简得,由于,则,即,利用微分性质求函数f(t)=tm的Laplace变换,(其中m是正整数).,由于,而,所以,即,而,象函数的微分性质,若,则,推论:,象函数的微分性质:,求函数f(t)=tsinkt的Laplace变换.,因为,由象函数的微分性质,有,同理,三、积分性质,根据微分性质:,推论:,三、积分性质,由Laplace变换存在定理,可得象函数积分性质:若Lf(t)=F(s),则,三、积分性质,求函数,的Laplace变换.,，由微分性质得,其中F(s)=Lf(t).此公式常用来计算某些积分.,例如,因为,所以,四、位移性质,证明:根据Laplace变换式,有,Leatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c),若Lf(t)=F(s),则有,上式右边只是在F(s)中将s换为s-a,得Leatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c),性质表明了一个象原函数乘以指数函数eat的Laplace变换等于其象函数做位移a.,四、位移性质,求Leattm.,利用位移性质，,求Leatsinkt.,利用位移性质，,证明:,五、延迟性质,若Lf(t)=F(s),又tc),位移性质：,延迟性质：,七、小结,初值定理：,七、小结,若且的奇点全在s平面的左半部,则,终值定理：,七、小结,2.3,Laplace逆变换,本节内容,四、小结,一、问题的提出,二、Laplace反演积分公式,三、Laplace反演积分的计算方法,一、问题的提出,在前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象函数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t).本节来解决这个问题.,由Laplace变换的概念可知,函数f(t)的Laplace变换实际上就是f(t)u(t)e-bt的Fourier变换.,当f(t)u(t)e-bt满足Fourier积分定理的条件时,按Fourier积分公式,在f(t)的连续点处有,二、Laplace反演积分公式,等式两边同乘以ebt,并考虑它与积分无关,则,二、Laplace反演积分公式,Laplace反演积分公式,二、Laplace反演积分公式,右端的积分称为Laplace反演积分,它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷.而积分路线中的实部b则有一些随意,但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的零到正无穷的积分必须收敛.计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算.,二、Laplace反演积分公式,三、Laplace反演积分的计算方法,定理:,若s1,s2,.,sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)b的范围内),且当s时,F(s)0,则有,如图,闭曲线C=L+CR,CR在Re(s)0时,有,得,三、Laplace反演积分的计算方法,如果函数F(s)是有理函数,即,其中A(s)和B(s)是不可约的多项式,B(s)的次数是n,A(s)的次数小于B(s)的次数,这时F(s)满足定理所要求的条件.,三、Laplace反演积分的计算方法,情形A:,若有n个单零点即这些都是的单极点,根据留数的计算方法,有,得,三、Laplace反演积分的计算方法,情形B:,若是的一个m阶零点,是的单极点,即是的m阶极点,是它的单极点.根据留数的计算方法,有,三、Laplace反演积分的计算方法,三、Laplace反演积分的计算方法,利用留数方法求,的逆变换.,有两个单零点,得,利用留数方法求,的逆变换.,为单零点，,为二阶零点.,得,利用部分分式方法求,的逆变换.,因此,利用查表方法求,的逆变换.,根据附录二中的公式,在时,有,利用查表方法求,的逆变换.,在附录二中找不到现成的公式,怎么办?,根据附录二中的公式,有,求,的逆变换.,根据附录二中的公式,有,四、小结,总结求Laplace逆变换有哪些方法与途径.,2.4,卷积,一、卷积的概念,三、小结,二、卷积定理,本节内容,若已知函数则积分,称为函数与的卷积,记为,一、卷积的概念,1.卷积的定义,即,如果与都满足条件:当时,则,一、卷积的概念,2.卷积的运算性质,即卷积满足交换律.,即卷积满足结合律.,即卷积满足分配律.,对卷积,有下面的不等式成立：,即函数卷积的绝对值不大于函数绝对值的卷积.,2.卷积的运算性质,求,按卷积的定义,有,的卷积.,分部积分一次,可得,二、卷积定理,若满足Laplace变换存在定理中的条件,且,则,证明:,易知满足Laplace变换存在定理中的条件,则,积分区域见左图.,由于二重积分绝对可积,可以交换积分次序.,二、卷积定理,令则,二、卷积定理,因此,性质表明两个函数卷积的Laplace变换等于这两个函数Laplace变换的乘积.,二、卷积定理,若满足Laplace变换存在定理中的条件,且,推论:,则有,二、卷积定理,若,因为,令,则,因为,若,所以,若,因为,求,根据位移性质,所以,三、小结,注意与Fourier变换类比.,127,2.5,Laplace变换的应用,128,本节内容,四、小结,一、微分、积分方程的Laplace变换解法,三、线性系统的传递函数,二、偏微分方程的Laplace变换解法,一、微分、积分方程的Laplace变换解法,象原函数(微分方程的解),象函数的代数方程,微分方程,象函数,取Laplace逆变换,取Laplace变换,解代数方程,首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取Laplace逆变换得最后的解.,求方程满足初始条件,的解.,设方程的解,且设,对方程的两边取Laplace变换,得,整理得,变形得,取逆变换得,求方程满足边值条件,的解，,其中为已知常数.,设方程的解,且设,对方程的两边取Laplace变换,得,整理得,取逆变换得,下面确定,令,得,得,故得,下面两个例子要用到的公式,求方程满足初始条件,的解.,对方程的两边取,设,Laplace变换,得,整理得,即,变形得,(分离变量法),得,下面确定,令,得,积分得,取逆变换得,得,求积分方程,的解.,其中为定义在的已知函数.,设,对方程的两边取Laplace变换,得,整理得,如果令,由反演积分公式,质量为m的物体挂在弹性系数为k的弹簧一端,作用在物体上的外力为.若物体从静止平衡位置处开始运动,求该物体的运动规律.,（Newton定律）,物体运动的微分方程为：,且,设,得,记,则,得,如图所示的串联电路,若外加电动势为正弦交流电压,求开关闭合后,回路中电流及电容器两端电压.,根据irchhoff定律，有,其中,得,对方程的两边取Laplace变换,得,设,且,得,的一阶极点,即,.,.,得,化简得,.,令,则,因为过渡电流,，所以,在电路中串接直流电源,求开关闭合后,回路中电流.,请同学们仿例6解答!,求方程组,的解.,满足初始条件,设,得,化简得,解得,由,得,有两个二级极点：,由,因此,故,小结：,用Laplace变换求线性微分、积分方程及其方程组的解时，有如下的优点：）在求解的过程中，初始条件能同时用上，求出的结果就是需要的特解，这样就避免了微分方程的复杂运算.）零初始条件在工程技术中是十分常见的，由上一个优点可知，用Laplace变换求解就显得更加简单，而在微分方程的一般解法中不会因此而有任何变化.,小结：,3）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当齐次项不是连续函数，而是包含函数或有第一类间断点的函数时，用Laplace变换求解没有任何困难，而用微分方程的一般解法就会困难得多.4）用Laplace变换求解线性微分、积分方程组，比微分方程组的一般解法要简便得多，而且可以单独求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，这在微分方程组的一般解法中通常是不可能的.,利用Laplace变换求解定解问题:,二、偏微分的Laplace变换解法,对方程的两边关于t取Laplace变换,设,得,问题转化为求解常微分方程的边值问题:,得方程的通解为:,代入边界条件得,得,对上式取Laplace逆变换,得,利用Laplace变换求解定解问题:,其中均为常数.,对方程的两边关于t取Laplace变换,得,问题转化为求解常微分方程的边值问题:,得方程的通解为:,由边界条件得,得,对上式取Laplace逆变换,得,余误差函数,利用Laplace变换求解定解问题:,取Laplace变换,设二元函数,由微分性质得,对定解问题关于x,问题转化为求解常微分方程的初值问题:,得方程满足初始条件的解为:,得定解问题的解为:,利用Laplace变换求解定解问题:,对定解问题关于t取Laplace变换,记,定解问题转化为含参数的二阶常系数线性微分方程的边值问题:,得通解为:,代入边界条件得,得,对上式取Laplace逆变换,得,利用Laplace变换求解定解问题:,课堂练习:请同学们仿例12解答!,三、线性系统的传递函数,1.线性系统的激励和响应,这是一个一阶常系数线性微分方程.,一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述.例如例6中的RC串联电路,电容器两端的电压uC(t)所满足的关系式为,2.激励和响应的概念,三、线性系统的传递函数,在上述一阶常系数线性微分方程中,通常将外加电动势e(t)看成是这个系统的随时间t变化的输入函数,称为激励,而把电容两端的电压uC(t)看成是这个系统的随时间t变化的输出函数,称为响应.,三、线性系统的传递函数,这样的RC串联的闭合回路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统,如下图所示.而虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接方式.这样一个线性系统,在电路理论中又称为线性网络(简称网络).一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定.,三、线性系统的传递函数,3.传递函数的概念的引入,三、线性系统的传递函数,对于不同的线性系统,即使在同一激励下,其响应也是不同的.在分析线性系统时,我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况,而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系,可绘出如下图所示的情况表明它们之间的联系,为了描述这种联系需要引进传递函数的概念.,三、线性系统的传递函数,4.传递函数的概念,其中均为常数,m,n为正整数,nm.,假设有一个线性系统,在一般情况下,它的激励x(t)与响应y(t)可用下列微分方程表示:,三、线性系统的传递函数,Laky(k)=akskY(s)-aksk-1y(0)+.+y(k-1)(0),设Ly(t)=Y(s),Lx(t)=X(s),则,三、线性系统的传递函数,Lbkx(k)=bkskX(s)-bksk-1x(0)+.+x(k-1)(0),(k=0,1,.,n),(k=0,1,.,m),两边取Laplace变换并通过整理,可得,D(s)Y(s)Mhy(s)=M(s)X(s)Mhx(s),三、线性系统的传递函数,其中D(s)=ansn+an-1sn-1+.+a1s+a0M(s)=bmsm+bm-1sm-1+.+b1s+b0,三、线性系统的传递函数,Mhy(s)=any(0)sn-1+any(0)+an-1y(0)sn-2+.+any(n-1)(0)+.+a2y(0)+a1y(0),Mhx(s)=bmx(0)sm-1+bmx(0)+bm-1x(0)sm-2+.+bmx(m-1)(0)+.+b2x(0)+b1x(0).,则,三、线性系统的传递函数,称G(s)为系统的传递函数.如Gh(s)=0,则,其中,在零初始条件下,系统的传递函数等于其响应的Laplace变换与其激励的Laplace变换之比.当我