抛物线切线的几个典型性质及其证明

2007 年第5期中学数学研究 抛物线切线的几个典型性质及其证明 浙江省海盐元济高级中学(314 3 0 0 )崔宝法 在直线与圆锥曲线的关系问题中， 切线是位置最特殊的 直线.笔者经过研究发现， 抛物线 证明:不妨设P、 Q 的坐标分别为(xl， . 、 ， _ _ . 、。D* 。 二 必_扩_ ，、n 少1 / 、 汤2 ， 少Z j ， ， 1乍zy、四 共 汽 JZ， 2 一 几 ， 吐 aO 在抛物线上. 易 知 过 尸 点 的 双 曲 线 的 切 线 方 程 为 学- xZ一 Zpk x 一 ZP m 二 0， 则 =4p2k2十 SP m =0， 刀王= _世 2 由 此知尸 Q 的方程为y= 麟 世 2 k x一 ， 且xZ= P k ， y Z 二 k x Z一 世 _ 世 22 由y二 赶一二1 联立 护 一 护 - 丈 护 与 世 2 粤= 1， 即y= 口一 过Q点 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 为 ，=争 尸 得临2无 2一aZ)xZ一占 2无 3P x aZbZ=0. *鱿 对到 过 扩 一 对 + H 2 - 2 a - b yZ， 由 于尸 Q 是它 们的 公切线， 则 一 。4 * ，2一4 (。2 ;2一)(望 _ 2 _ m l! 右 竺 兰 1 = 乃 诩 一 曰bZ 夕 1 二 一yZ， 即 xl =aZ 乙 2)=0， 即PZ 无 4+4占 2龙 2一 4a2=0.(2) 护 - y l 迎 P bZ 少 ixZ aZ P ，y ly 2 = 一 护(由 此知此公切线必是与 二 不 二“ 丈_ 国翎 爪四从aZ = 1(a 0， b 0)与抛 护 - 护 双曲线下支相切， 即与不包含抛物线焦点的一 物线xZ=ZP y (P0 ) 有共同 的 焦点 少 尹 支)， 结合 x羞 = 2户 ， 2， 故xlxZ= 护 y， 瑞_ aZ p一 所以pZ一 4a2=4石 2， 代入(2)得pZ 无 4+ (pZ一 4a2)秃 2一 4a2=0， 即乏 2= 卫 2 一 - - 护 一 y Z - 2神Z y l y Z _ aZ 户 一 一 2b2， 故y Z一 琴， ， ，- 尸 从而， 1+ 从而k卯诵咫 ， 将其代入(1 ) 即 得 一 X l一 X Z 誓 一 音 y l +y Z+ 夕 X I X Z 誓 一 音 y ly Z 一 “ 一 2b2 (1) k即诵 叫二一 1， 即 艺尸 F砚=90 0 。 类似文 1 本文的性质可推广为: 若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重 合， 且双曲 线的中 心为抛物线的顶点， 它们的公 切线的 切点对该焦点的张角为直角. 下面计算yl+y: 的 值.不妨设公切线尸 Q 的 程 为y=公十 m. 由y=k x 十 m与 护=ZP y (p0 ) 联立， 得 参考文献 【 1 米小渊.圆 锥曲 线的 一个优美性质【 J . 中学 学研 究(江西师大)， 20 0 7， 1. 二2 0 中学数学研究2007 年第5期 作为圆锥曲线中唯一的无心曲线， 其切线有着 其他圆锥曲线所没有的一些典型性质.下面列 出 其中 几条， 并给出 证明. 性质 1自 抛物线外任意一点引两条切 线， 则(1 ) 此点到焦点的距离恰为两切点处两条 焦半径的比 例中 项;(2 ) 两 条切线段在焦点 处所 张的角相等. 证明:设 抛物线少二 ZP x (P0 ) 过焦点F (粤 ， 0)的 弦 两 个 端点 为A(xl， ， 1)、 B(xZ ， 、 2 “ 产” ， ， “ ，一 ，叨 八 ，、 / ，“ 、 立 7 1产 、 “ 、 乙 y Z )， 则点A、 B 处的切线方程分别为y l y = P(x +xl)和yZ y 二 P(x +xZ).设它们的交点 为 。(二 。， 。)，贝。有 yly。 =P ( x 0 +xl)， y Z y。 =P(x。 +xZ)， 这表 ( t， 妹 龙 山 证明:(1 ) 如图1， 设抛物 线 方程为少二 ZP x (P0 ) ， 焦 点 为F(粤 ， 0 ) ， 自 抛 物 线 外 一 朴 、 、 / ，、 2 ” 产 曰甲 “脚 点丁所引的两条切线的切点 分别为尸(ZptlZ， Zp t l)和Q 明 切点A(x， ， y Z )， B(xZ， yZ )都在直线y o y= P(x +x。 )上， 因 此直线A B的方程为y o y = P(多 +xo ) 又因为直线AB 经过焦点， 0 ) 坐标代入得x。 二 _ 卫 2 所以将焦点F 因此两切线的 月 月 尸 洲 / 一 叶 石 . / ， 山 卜 . 卜 二 匕 亿 卜 入 厂 | 图 (2P t 22， ZP t Z )， 则尸点 处的 切线方程为Z t ly二 x+2P t 1 2， Q 点 处的 切线方程为Z t Z y = x + ZP t 尹 ， 由 此 解 得两 条 切线的 交点为T(ZP t ltZ ， ，(:1 +:2 )， 故1刃1 一(2环1 :1一 音)，+， ，(，1 +:2 )2一4，2 o 1 2才2 2+，2(，1 2+:2 2 )+子- (2拼1，+专)(2并2，+音) 又 F P 一2 P t 1 2+音 ，咫一2 P t 2 2+ 音 ， 刃 一邵卜咫1， 即刃是 F P卜 M (x。 ， ， 。)在 准 线 :二 一音 上 性质3若抛物线准线上任意一点(异于 顶点)处的切线与通径所在直线及准线各交于 一点， 则这两个交点到焦点的距离相等. 证明:如图2， 设抛物线 方 程为少=ZP x (P0 ) ， 其 上 任意一点 为尸 (ZP t “ ， ZP t ) (:， 。)， 则 焦 点 为F(音 ， ”)， 通 径 所 在 直 线 方 程 为 二 一 音 ， FQ!的比例中 项. 尸点 处的 切线 方 程为Zt y =x +ZP t Z， 易 知切线 与 通 径 所 在 直 线 的 交 点 为A (粤 ， 鲤 尝 井 卫)， 与 J 二 啥乙 (2) : 直线尸 F 的斜率k二= 4t i 4tiZ一 1 直线 些 巡 生卫 、_ 4 t 从而可得 QF 的 斜率为k印= :_ _红 鱼 土些 刀“ 甘一4tltZ一 1 4t2 4 t 尹一 1 直线 T石 ， 的斜率 准 线 的 交 点 为 ”( - -音 .A F一 冷卫，.B F I _ / J J - 世 鱼 亡 二 1分 _ - 八 I P， ， 2一 Vl ( 】 f . .根据直线交角公式可得 2+ I4P t +P ，4 t t8JI / 尸 Fl ， 2(tl 一 tZ) 4tltZ+ 1 _ 2(tl一 tZ ) 4titZ+ 1 tan 艺QFT= 性质4 :. 八 F l= IBF I. 若自 抛物线准线上的任意一点引 .ta n 艺尸 FT = t助艺QFT ， 抛物线的两条切线， 则该点和焦点所连直线与 准线所夹的两角恰好分别被两条切线平分. 又 . 0 艺尸 石 丁 二 ， 00)， 过其上任意一点尸 (xo， y。 )的 切线方程为男。 一 ， (二 +x。 ) 过 焦 点 F(音 ，“ )向 切 线 ” !垂 线 ， _ 2_ 2 二 _ _ 上2 立_ _ 2立_ n 祷 _2_ 。儿 、 框 P x 。 +匕 士 飞一 号 二 0.将y o 二 ZP x 。 代入， 得P x P一匕一 ， ”一 一 。， 、 ，一 ， ， ，二 一 +娜。 +Zxox 一 娜。 =0， 即(p +Zx。 )x =0， 而 P+Zx。 0， 故x 二 0， 即 垂足在过顶点的 切线 x = 0 上. 性质6若抛物线上任意一点处的切线与 对称轴所在直线交于一点， 则此交点及切点到 焦点的 距离相等. 证明:如图4， 设抛物线 方 程为yZ=ZP x (P0 ) ， 其