N阶矩阵高次幂的求法及应用

学校代码学号密级分类编号本科毕业论文n阶矩阵的m次幂的求法与应用解决方案和应用程序ofm-orderofnnmartix作者姓名专业名称学科类成绩评定论文提交日期指导教师摘要矩阵是许多实际问题中抽象化的概念，它是高等代数的重要组成部分，几乎贯穿了高等代数的各章，广泛应用于自然学科的各个分支和经济管理等领域。 由于其广泛应用还是解决诸多问题的有力工具，学习和掌握矩阵的运算及其运算规则和方法是我们掌握矩阵知识的重要环节，但矩阵的幂运算既比较复杂又非常麻烦， 寻找简单的运算方法是计算矩阵高次幂的重要环节，因此许多学者在研究上花费了很大的心血，本文根据他们的研究，将实例应用数学归纳法、乘法耦合法、二项式展开法、块对角矩阵法、标准形法、最小多项式法和特殊矩阵法等多种方法关键词：数学归纳法二元展开式矩阵的幂相似矩阵Abstractmatrixisaconnectmypraccticalproblemintheabstract， itisanimportantpartofthelinearalgebra itisallosthevarioussectionsoflinearalgebra intheforefornaturalsciencesandeconomic管理， 不仅是thebranchadwiderangeofapplications，disaportforsolvingmanproblems renallingandmatertheoperformationremonandperformationremodull n rix电源计算，itismatrixmultiplicationisbased； however， themetricationexporticaleoperisionsomencomplementationsolutionalprational soureforasimplementtpartofcomputingpowermatrixhighrege pplicationexamplesbymathematicinduction，multiplicationassociativeapproach，binomial expansion method， the method block诊断矩阵minimpolynomialavirationityofstorecommethemethemetheparityofstorecommethemethemethemethemethemet以及the关键字：物质指导； power matrix； binomial expansion similar矩阵目录摘要IAbstractII战斗机目录III引言11知识的准备12.1采用数学归纳法求解阶矩阵的高次幂22.2采用二项式展开法求矩阵的高次幂42.3利用标准形求矩阵的高次幂5利用2.4块对角矩阵求矩阵的高次幂8利用2.5乘法结合法求方阵的高次幂102.6利用最小多项式解矩阵的高阶幂112.7用特殊矩阵法求矩阵的高阶幂132.7.1对合矩阵132.7.2幂等矩阵142. 8用图论算法求矩阵的高阶幂152.8.1邻接矩阵152.8.2元素的含义152.9用特征多项式求解矩阵的高阶幂16三矩阵在幂人口流动中的应用17总结20参考文献21感谢22查词典矩阵是高等代数的主要内容之一，是处理线性方程、二次型、线性变换等问题的重要工具，基本上具有研究高等代数问题的一致性。 矩阵理论和计算方法对我们研究的许多问题都发挥了十分重要的推动作用，是解决数学和许多科学领域问题的重要工具，具有非常广泛的应用。 矩阵的运算及其运算规则和方法是我们掌握矩阵知识的重要环节，但矩阵的幂运算既复杂又非常麻烦，因此寻找简单的运算方法成为计算矩阵高次幂的重要课题目前，关于矩阵的高次幂的计算问题，很多学者对此进行了很多研究，文献 1，2-13，15 从不同的角度阐述了矩阵的高次幂的计算问题，但是，对于矩阵秩为1的次矩阵，可以考虑用矩阵乘法结合法则的方法来求解，另外，也可以使用二项式展开法， 也有阻挡对角矩阵的方法。对于常规阶矩阵求解，可以采用Jordan标准形式的方法、最小多项式的方法，但是我们也可以采用一些特殊矩阵求解(例如，联合矩阵、幂等矩阵)。由于在许多这些方法中，所有的方法都仅为阶矩阵的幂运算提供参考，所以在实际应用中，可以根据矩阵的差异，使用不同的运算方法来减少单纯矩阵的幂运算准备知识在矩阵的计算中，乘法是最常用的方法。 特别地，如果矩阵是正方形的，即，有矩阵，则可以定义该矩阵及其自身的乘法，该矩阵应当是我们所说的矩阵。假设定义1矩阵为矩阵(正方矩阵)且为正整数，则将形式称为幂.平方矩阵幂运算规则：，但是，都是非负整数.二阶矩阵高阶幂的几种求法及应用2.1采用数学归纳法求解阶矩阵的高阶幂数学归纳法在初等数学中应用广泛，是计算数学命题的常用方法。 在一些特殊情况下，在确定矩阵的幂问题时，可利用数学归纳法计算矩阵的高阶幂。 求矩阵高次幂的根本思路是首先计算矩阵的等低次幂矩阵，利用等低次幂矩阵的计算结果，利用从归纳法推测的公式，最后利用数学归纳法证明对所有自然数均成立(其中，相同)。示例1已知矩阵，尝试解开原因根据这两个矩阵定律，由于第一行的元素是展开公式的三个元素，第一行的元素是展开公式的前三个元素，因此可以推测能够概括的第一行的元素是展开公式的前三个元素.以下采用数学归纳法进行证明。 很明显，如果当时成立的假设成立的话，求得的结果，显然当时的结论也成立了，所以上述假设的结论是正确的。 所以求出的结果就是那个例2设定、计算原因是什么所以推测以下，利用数学归纳法进行证明。 当时，如果结论明显成立的话，结论也成立，也就是说当时很明显当时的结论也成立了，所以上述假定的结论是正确的，数学归纳法知道的求解结果是.注意通过观察这两个矩阵，在求解矩阵高次幂问题的过程中，数学归纳法的关键在于用低矩阵次幂的计算结果来正确地归纳，以验证进一步归纳是否正确，但该方法不是所有矩阵的高次幂，而是使用几个相对简单的矩阵和相对特殊的矩阵类似于以上两个例题。2.2用二项式展开法求矩阵的高阶幂如果要求给出问题的阶矩阵能够分解，即求和的高次幂矩阵比较容易计算(即和或矩阵乘法符合交换规则，分解的该二次幂矩阵不能相互交换，则二项式展开式对于该矩阵不成立，即二项式展开法不适用于该矩阵)，则满足要求.具体地，如果阶矩阵的主对角线上的元素相同，则这样的矩阵通过这种方法变得简单，因为一个标量矩阵和另一个矩阵的和，即给定矩阵的高阶幂可以相对容易地计算出来。例3试着求出已知的行列解首先把行列其中容易得到并验证矩阵的满意度即和是可交换的，基于二项式展开公式.例4是已知，求出解首先把行列，其中有一个.从观察者可以看出，在解决这种矩阵问题时，首先确定该给定矩阵是否能够被分解，并且随后可以相对容易地计算被分解的矩阵的高阶幂。2.3利用标准形求矩阵的高次幂定义2格式为的矩阵被称为块，其中，由若干若干若干此类块构成的准对角矩阵被称为矩阵，其通用形式为，其中有些是一样的根据定理，如果是矩阵，则矩阵类似于一个矩阵，因为该矩阵是由除块的排列次序之外的矩阵唯一确定的，所以我们将这样的矩阵称为矩阵的标准形式。 即，这是因为存在阶可逆矩阵，楼梯。 因为有。 那就是了此时，如果求块的高次幂，则可以得到以下结果，其中.而且.是矩阵的特征性根.例5已知矩阵的尝试(自然数)解为此初等因为因子是，所以矩阵类似于标准形.让我们来求可逆矩阵，是通过计算得出的然后呢.例6求矩阵的幂求解已知矩阵的特征矩阵，队伍像行列。 将其相似变换矩阵变为可逆矩阵因为即，可以求解这三个线性方程因为要求向量，再见了注解矩阵解题时要注意的是，我们解决的这个问题是否有可逆矩阵，它是否与我们的相似。 这是应用的前提用2.4块对角矩阵求矩阵的高阶幂在给定矩阵的次数较大的情况下，我们可以使用一些横线和纵线将该矩阵分成多个小块，这些小块是矩阵的子阵列。 如果能够将该矩阵分为对角形式，就能够将求高次矩阵的问题转化为求简单子阵的高次问题的计算，从而简化求解的目的。块对角矩阵是其中有正方阵，我们常用的子块的高次幂计算结果例7试着求出已知的行列解首先写成分块列，其中我要求如下因此.例8是已知，求出因为解矩阵可以分块合计起来因此，另外，其中，根据二项式展开式，因此寻求注意当我们用块对角矩阵求矩阵的高次幂时，我们必须理解，我们必须把它们分成块，在求解问题的过程中学到很多方法用2.5乘法结合法求方阵的高阶幂对于矩阵，有秩为1的矩阵是下列形式，因为在该矩阵中至少一行的元素不是零，而是指示所有其它行的元素都是其倍数的双曲馀弦值因为是非零实数，所以我记得，那就是。 这种计算方法叫做矩阵乘法结合律已知例9是求出(自然数).解对初等变换表明，矩阵秩为1，即假设那么，接下来.例10，求解开原因=另外，其理由是.注：确定应用乘法结合法解决问题后，要在我们心中理解这个公式我还记得。 这是适用乘法结合律的关键。2.6利用最小多