注册岩土工程师基础考试基本公式汇总

.一、高等数学公式 导数公式：导数公式： 基本积分表：基本积分表： 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ， ， ， ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式： 诱导公式：诱导公式： 函数 角 A sincostgctg -sincos-tg-ctg 90-cossinctgtg 90+cos-sin-ctg-tg 180-sin-cos-tg-ctg 180+-sin-costgctg 270-cos-sinctgtg 270+-cossin-ctg-tg 360-sincos-tg-ctg 360+sincostgctg 和差角公式：和差角公式：和差化积公式：和差化积公式： 倍角公式：倍角公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 半角公式：半角公式： cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理：正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：余弦定理：Cabbaccos2 222 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( !2 )1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf )(F )( )( )()( )()( )()()( 曲率：曲率： . 1 ;0 . )1( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： 定积分的近似计算：定积分的近似计算： b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：定积分应用相关公式： b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ， ， 隐函数 ， ， 隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组： 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 不确定时 值时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用：重积分及其应用： D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(),0,0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 常数项级数：常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 )1( 321 1 1 1 12 级数审敛法：级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛： 时收敛 时发散 级数： 收敛； 级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数：幂级数： 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( ! 2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( ! 2 )( )()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin ) 11( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式：欧拉公式： 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数：三角级数： 。上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，其中， 0 ,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数：傅立叶级数： 是偶函数 ，余弦级数： 是奇函数 ，正弦级数： （相减） （相加） 其中 ，周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2 , 1 , 0cos)( 2 0 sin)(3 , 2 , 1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期为周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数： 一、向量代数向量代数 1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上的投影 向量的坐标, xyzxyz aa aaa ia ja k 在相应坐标轴上的投影 模长： 222 zyx aaaa 方向余弦： 222 cos | xx xyz aa aaa a ， 222 cos | yy xyz aa aaa a ， 222 cos | zz xyz aa aaa a 单位向量 0 cos ,cos,cosa 2、向量的运算：线性运算：加法 ba、 减法 ba、数乘 a 乘积运算：数量积、向量积 -向量的数量积 ba a b cos xxyyzz a ba ba ba b 几何意义； 0 b a ba a 在b 上的投影 性质： （1） 2 a aa 222 zyx aaaa （2）0a bab 0 zzyyxx bababa 微分方程的相关概念：微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。 得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),( 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： ) 1 , 0()()(2 )(0)( ,0)( )()(1 )()( )( nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程：二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根)04( 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根)04( 2 qp xr exccy 1 )( 21 一对共轭复根)04( 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir ， ， )sincos( 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， sin)(cos)()( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 二、空间解析几何二、空间解析几何 （一） 空间直角坐标系（三个坐标轴的选取符合右手系） 空间两点距离公式 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxxPQ （二）空间平面、直线方程 1、 空间平面方程 a、 点法式0)()()( 000 zzCyyBxxA b、 一般式0DCzByAx c、 截距式1 c z b y a x d、 点到平面的距离 222 000 CBA DCzByAx d 2、 空间直线方程 a、 一般式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA b、 点向式（对称式） n zz m yy l xx 000 （分母为 0，相应的分子也理解为 0） c、 参数式 ktzz mtyy ltxx 0 0 0 3、空间线、面间的关系 a、 两平面间的夹角：两平面的法向量 1 n， 2 n的夹角（通常取锐角） 两平面位置关系： 1 / 2 1 n/ 2 n 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 1 2 1 n 2 n0 212121 CCBBAA 平面 1 与 2 斜交 ， b、两直线间的夹角：两直线的方向向量的夹角（取锐角） 两直线位置关系： 1 L/ 2 L 1 a/ 2 a 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 1 L 2 L 1 a 2 a0 212121 nnmmll b、 平面与直线间的夹角 线面夹角：当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线之间的夹角（取锐 角）称为直线与平面的夹角。当直线与平面垂直时， 2 （ 2 ） 线面位置关系：L/ a n 0nCmBlA L a n/ C n B m A l l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0 其中 ，周期 二、物理学 一、热学 1、RT M PV；nkTP；n 3 2 P ；kT 2 3 ；kT i 2 ；RT iM E 2 2、麦氏分布： Ndv dN vf，表示单位速度间隔的分子数占总分子数的百分比。 最概然速率 RT 4 . 1vp；平均速率 RT 6 . 1v ；方均根速率 RT v7 . 1 2 3、平均碰撞次数nvd 2 2Z；平均自由程 nd 2 2 1 4、等温过程CPV；等压过程C T V ；等容过程C T P ；绝热过程比等温线陡。 总功 2 1 A V V PdV；等温过程 1 2 T lnA 2 1 V V RT M PdV V V ，TR iM E 2 热一律的应用：功是过程曲线下面的面积，AEQ 等容0A ，TR iM 2 EQV ；等压TR iM 2 E ，TR iM 1 2 QP 等温0E ， 1 2 T lnQ V V RT M ；绝热过程0Q 5、顺时针：正循环，热机效率 吸 放 吸 净 Q Q -1 Q A 卡诺循环 1 2 T T -1； 21 2 T-T T 二、波动 1、简谐振动表达式 0 tAcosy， m k /T2 波动方程 00 x2 tAcos u x tAcos y 0 0 u x-x tAcosy 2、波的能量：动能和势能的大小相等，方向、相位相同；波能量不守恒； 平均能量密度 22 A 2 1 3、驻波：振幅相同，方向相反的两列波的叠加。相邻波腹（波节）距离为半波长。 4、多普勒效应： s 0 vu vu ，其中 为观察者接收的频率，为波源频率， 0 v为观察者 速度， s v为波源速度。观察者向着声源运动时， 0 v前取正号，远离取负号；波源向着观察 者运动时， s v前取负号，远离取正号。 三、光学 1、干涉：光程差 2 12 - 1122 k k rnrn，相位差 2 双缝干涉：相邻明（或暗）条纹中心间距 d D x 薄膜干涉：劈尖 2 2 ne，半波损失，从光疏到光密的反射光； l n e 2 2、衍射： 单缝衍射 中央明纹 暗纹 明纹 0 2 2 2 12 sin kk k a 3、光学仪器分辨率： 最小分辨角 D 22 . 1 0 ，分辨率 22. 1 D R X 射线，衍射，布拉格kdsin2 4、光栅常数明纹kdsin 5、偏振：马吕斯定律 2 0cos II 布儒斯特方程： 1 2 0 arctan n n ii，反射光全是线偏振光，折射光为部分偏振光 三、化学 反应速率 v 可表示为： 反应速率常数