第6章 微分方程系统求解的伪谱方法 (1)

航空航天中的计算方法,授课教师：陈琪锋中南大学航空航天学院,第二部分边值问题求解方法,第6章微分方程求解的伪谱法,2020/6/4,内容提要,6.1谱方法及伪谱法的概念6.2谱方法与Lagrange插值6.3正交多项式6.4最优配点分布6.5微分矩阵与两点边值问题求解1JohnP.Boyd,ChebyshevandFourierSpectralMethods(SecondEdition),DOVERPublications,Inc.,2000.Chap.1,3-62Shen,J.,andTang,T.,SpectralandHigh-OrderMethodswithApplications（谱方法和高精度算法及其应用）,SciencePress,Beijing,2006,Chap.（1.1-1.3；2.1,2.4）.,2020/6/4,6.1谱方法及伪谱法的概念以N+1个全局基函数的加权和近似某一连续函数：其中：为多项式或三角函数。残差函数：例，二阶微分方程求解残差为某种准则下使残差最小，确定系数。,6.1谱方法及伪谱法的概念,Fourier谱方法,谱方法,2020/6/4,在与未知量个数相对的特定点处令残差为零：配点法加权残差为零：加权残差法Galerkin法：。,为权函数,采用最佳配点的谱方法，即伪谱法。,6.1谱方法及伪谱法的概念,2020/6/4,谱方法、有限单元法、有限差分法的区别：有限单元法将区间分成一些子区间，在子区间选择局部多项式基函数有限差分是局部计算谱方法应用具有高阶次的全局基函数在整个计算域上,6.1谱方法及伪谱法的概念,2020/6/4,伪谱方法精度高、收敛快、存贮省，适用于问题的几何特征平滑和规则时伪谱法的问题：如何选择最优的基函数？如何选择最优的配点？,6.1谱方法及伪谱法的概念,2020/6/4,6.2谱方法与Lagrange插值6.2.1Lagrange插值对函数f(x)，根据N+1个插值点的函数值，构造N次插值多项式近似：其中，插值基函数：任意N次多项式Lagrange插值形式,6.2谱方法与Lagrange插值,等价,2020/6/4,6.2.2Runge现象对任意光滑函数f(x)，根据均匀分布的N+1个插值点的函数值，构造N次Lagrange插值近似，误差随N增大趋于0？例：,两端点附近的误差大,端点附近插值点增多，中间可减少,插值点随均匀分布时，误差随点数增多不收敛,6.2谱方法与Lagrange插值,2020/6/4,6.3正交多项式6.3.1函数正交性与正交多项式函数f(x)与g(x)在加权Sobolev空间上正交，是指其中为上的正值权函数。正交多项式序列是指一系列的多项式，满足可规范化为x的n次首一多项式：,6.3正交多项式,2020/6/4,任意n次多项式q(x)均可表示为正交多项式的线性加权和：若多项式序列是正交的，则多项式与任何不高于n次的多项式正交。若多项式序列是正交的，则多项式的零点是互不相同的实数，且位于开区间内。,6.3正交多项式,2020/6/4,6.3.2正交多项式的生成根据正交多项式的定义（首一情况为例）当，时，得到Legendre多项式当，时，得到Chebyshev多项式,6.3正交多项式,2020/6/4,Legendre多项式：Chebyshev多项式：,6.3正交多项式,2020/6/4,6.3正交多项式,正交多项式曲线图：,2020/6/4,6.4最佳配点分布6.4.1Gauss求积与Lagrange插值将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和：若适当选取和，可使公式对次数2N+1的多项式被积函数均精确成立，节点称为高斯点。等价于将函数f用Lagrange插值近似为插值多项式，然后求积分。若选用Gauss点插值，能实现最高精度。,6.4最佳配点分布,最佳配点（插值点）为Gauss点,2020/6/4,6.4.2几类Gauss点Gauss求积点对于带权函数的Gauss求积：其中Gauss点为正交多项式的零点。由方程组：可唯一解出，并且,6.4最佳配点分布,Gauss点不包括两端点a和b，求解边值问题使用不便,2020/6/4,Gauss-Radau求积点定义：若采用，以及多项式的零点作为求积点，称为Gauss-Radau求积点。由方程组：可唯一解出，并且,6.4最佳配点分布,Gauss-Radau求积点包括端点a,2020/6/4,Gauss-Lobatto求积点定义：则采用，以及多项式的零点作为求积点，称为Gauss-Lobatto求积点。由方程组：可唯一解出，并且,6.4最佳配点分布,Gauss-Lobatto求积点包括端点a和b，适用于两点边值问题,2020/6/4,6.4.3常用正交多项式的Gauss点Chebyshev多项式的Gauss点Chebyshev-Gauss-Lobatto：,6.4最佳配点分布,2020/6/4,Legendre多项式的Gauss点Legendre-Gauss-Lobatto：,6.4最佳配点分布,Legendre-Gauss-Lobatto点没有显式表达式，需数值求解,2020/6/4,Legendre-Gauss-Lobatto：,6.4最佳配点分布,2020/6/4,6.5微分矩阵与两点边值问题求解6.5.1微分矩阵的概念伪谱法将微分方程近似解用Lagrange插值表示：采用Gauss点为配点（插值点），在配点处满足微分方程：需计算近似解的各阶导数在配点处的值是配点未知量的线性函数。,6.5微分矩阵与两点边值问题求解,2020/6/4,1阶微分矩阵：2阶微分矩阵：,6.5微分矩阵与两点边值问题求解,可通过插值公式微分求解,2020/6/4,6.5.2常用伪谱法的微分矩阵Chebyshev伪谱法的微分矩阵当采用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值点时。一阶微分矩阵各元素的显示表达为：高阶微分矩阵与一阶微分矩阵的关系：,6.5微分矩阵与两点边值问题求解,2020/6/4,Legendre伪谱法的微分矩阵当采用Legendre-Gauss-Lobatto插值点时。一阶微分矩阵各元素的显示表达为：,6.5微分矩阵与两点边值问题求解,2020/6/4,6.5.3伪谱法求解两点边值问题以二阶系统为例，考虑边值问题：将问题的解用Lagrange插值近似表示为：采用Chebyshev-（或Legendre-）Gauss-Lobatto插值点，在配点处满足的残差代数方程：,6.5微分