华东师范大学数学分析第三版第八章

.,8.1不定积分概念与基本积分公式,一、原函数,不定积分是求导运算的逆运算.,四、基本积分表,三、不定积分的几何意义,二、不定积分,返回,.,微分运算的逆运算是由已知函数f(x),求函数F(x),一、原函数,例如,.,定义1,例1,数:,.,从(iii)(iv)可以看出,尽管象,.,研究原函数有两个重要的问题:,1.满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存,2.若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出,这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是,一件容易的事.,在原函数,它是否惟一?,来?,.,第一个问题由以下定理回答.,定理8.1(原函数存在性定理),在第九章中将证明此定理.,数F,即,.,定理8.2(原函数族的结构性定理),(ii)f(x)在I上的任意两个原函数之间,只可能相差,一个常数.,.,证,(ii)设F(x)和G(x)是f(x)在I上的任意两个原,由第六章拉格朗日中值定理的推论,即知,函数,则,.,二、不定积分,定义2,在I上的不定积分,.,为方便起见,我们记,由此,从例1(ii)(iii)(iv)可得:,.,若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图,所有的积分曲线都是,三、不定积分的几何意义,像是f(x)的一条积分曲线.,到的.,沿纵轴方向平移而得,由其中一条积分曲线,.,例如,质点以匀速v0运动时,其路程函数,若t0时刻质点在s0处,且速度为v0,则有,的原函数正是在积分曲线中,.,由基本求导公式可得以下基本积分公式:,四、基本积分表,.,.,由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算,定理8.3(不定积分的线性运算法则),上都存在原函数,k1,k2为,任意常数,则,法则.,.,例2,例3,例4,.,8.2换元积分法与分部积分法,一、第一换元积分法,二、第二换元积分法,三、分部积分法,不定积分是求导运算的逆运算,相应,部积分法.,求导公式,不定积分有换元积分法和分,于复合函数求导数的链式法则和乘法,返回,.,定理8.4(第一换元积分法),则,证,一、第一换元积分法,所以(1)式成立.,.,第一换元积分法亦称为凑微分法,即,常见的凑微分形式有,.,例1,解,.,例2,解,.,例3,解,.,解,例5,解,例4,.,(解法二),解(解法一),例6,.,定理8.5(第二换元积分法),上可导,证,二、第二换元积分法,.,等类型的不定积分上,对此可分别设,于是,第二类换元积分法常用在,所以(2)式成立.,.,例7,解,.,解,这里可借助辅助直角三,角形,求出sect,tant.,.,例9,解,其中sect和tant可借助辅助直角三角形求出.,.,例10,解,.,三、分部积分法,定理8.6(分部积分法),若u(x)与v(x)可导,不定积分,两边积分,得,.,1.降幂法,等类型函数的不定积,例11,解,分时,可用分部积分法使xn逐次降幂.,.,定积分时,需要使用升幂法.,例12,解,注通过对xn的升幂和lnx的求导,化解了难点.,2.升幂法,等类型函数的不,.,类型的函数的不定积分时,用分,3.循环法,例13,解,(3),解出方程加上常数C即可得不定积分.,部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,.,(4)式代入(3)式,得,(4),整理后得到,同理,.,.,4.递推法,例14,解,.,由此解出,.,8.3有理函数和可化为,一、有理函数的部分分式分解,本节给出了求有理函数等有关类型的,四、某些无理函数的不定积分,三、三角函数有理式的不定积分,二、有理真分式的递推公式,有理函数的不定积分,不定积分的方法与步骤.,返回,.,有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,一、有理函数的部分分式分解,mn时称为真分式,mn时称为假分式.,假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.,其一般形式为:,.,1.对分母Q(x)在实数系内作标准分解:,2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分,分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:,.,把所有部分分式加起来,使之等于Q(x),由此确定,上述部分分式中的待定系数Ai,Bi,Ci.,.,3.确定待定系数的方法,把所有分式通分相加,所得分式的分子与原分子,分式分解.,组,由此解出待定系数.,必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程,P(x)应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数,.,.,比较同次项系数,得到线性方程组,解得,于是完成了R(x)的部分分式分解:,.,任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形,二、有理真分式的递推公式,下面解这两类积分.,式的不定积分之和：,.,.,.,解得,.,解由例1,例2,其中,.,于是,.,例3,解由于,而,.,由递推公式,.,于是,.,sinx,cosx及常数经过有限次四则运算得到的函,三、三角函数有理式的不定积分,有理函数的不定积分.把,数R(sinx,cosx)称为三角函数有理式.,.,代入原积分式，得到,.,例4,解,.,对三角函数有理式的不定积分,在某些条件下还可,选用如下三种变换,使不定积分简化.,.,.,.,.,例5,解,.,.,例6,解,.,四、某些无理函数的不定积分,例7,解由于,.,.,例8,解,.,.,型不定积分,时也可直接化为有理函数的不定积分.,可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有,.,把它们转化为三角函数有理式的不定积分.,方法2(欧拉变换),.,例9,解用方法1:,.,.,.,因此,.,例10,解,注1对于本题来说,方法2显然比方法1简捷.,但实质上只相差某