数理统计的基本概念

第六章数理统计的基本概念,总体与样本直方图与经验分布函数统计量及抽样分布,数理统计:是一门具有广泛应用的学科.它以概率论为理论基础,根据试验或观察得到的数据来研究随机现象,对所研究的对象的客观规律性作出合理的估计和推断.数理统计的内容:数据的收集,整理统计推断,6.1总体与样本,1.总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标（如:某种灯泡的寿命,某种产品的合格率等)。更多的情况下,我们把全部可能的研究对象的数量指标的所有观察值称为总体.组成总体的元素称为个体。对总体的研究就是对某项数量指标（随机变量）的研究，实际上就是对该随机变量的概率分布进行研究,从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。所以，我们一般用随机变量表示总体,2.样本：来自总体的部分个体X1，Xn如果满足：,（1）同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：X1，Xn相互独立；则称为容量为n的简单随机样本，简称样本。而称X1，Xn的一次实现为样本观察值，记为x1，xn,来自总体X的随机样本X1，Xn可记为,显然，样本联合分布函数或密度函数为,或,3.总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,？,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,直方图,设来自总体的一个样本为,样本观察值为,6.2直方图与经验分布函数,(1)对样本进行排序分组：作为一般性的原则，组数通常在520个，对容量较小的样本;,(2)确定每组组距：近似公式为组距t=(最大观测值最小观测值)/组数;,(3)确定每组组限：各组区间端点为t0,t1=t0+d,t2=t0+2d,tk=a0+kd,形成如下的分组区间(t0,t1,(t1,t2,(tk-1,tk,具体步骤如下:,其中t0略小于最小观测值,tk略大于最大观测值.,（）统计落在每个小区间的频数,（）作频率直方图,（）近似得概率密度曲线图,例为研究某厂工人生产某种产品的能力，我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品的数量，数据如下,列出其频数频率分布表。,组序分组区间组中值频数频率累计频率(%)1(147，15715240.20202(157，16716280.40603(167，17717250.25854(177，18718220.10955(187，19719210.05100合计201,直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标是频率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。,将直方图中每个长方形的“顶边”的中点用一条光滑的曲线连接起来，即得的分布密度函数的近似曲线,经验分布函数,设X1,X2,Xn是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为x(1),x(2),x(n)，则称x(1),x(2),x(n)为有序样本，用有序样本定义如下函数,则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足,Fn()=0和Fn()=1,由此可见，Fn(x)是一个分布函数，并称Fn(x)为经验分布函数。,例1某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）351347355344354,x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=354,x(5)=355,这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：,其经验分布函数为,由贝努里大数定律：只要n相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x)。,6.3,一、2分布,数理统计中常用到如下三个分布：2分布、t分布和F分布。,2.2分布的密度函数f(x),3.分位点设X2(n)，若对于：01，存在,满足,则称,为,分布的上侧分位数。,4.性质a.分布可加性若X2(n)，Y2(m),X,Y独立，则X+Y2(n+m)b.期望与方差若X2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n,1.构造若XN(0,1),Y2(n),X与Y独立，则,的分布称为自由度为n的t分布。记为Tt(n),二、t分布,t(n)的概率密度为,2.基本性质:(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称。(2)f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即,3.分位点设Tt(n)，若对:00，满足PTt(n)=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点,注:,三、F分布,1.构造若X2(n1)，Y2(n2)，X，Y独立，则,称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为,2.F分布的分位点对于：00，满足PFF(n1,n2)=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点；,证明:设FF(n1,n2),则,注：,得证!,6.4、统计量及抽样分布1.统计量,定义：称样本X1，Xn的函数g(X1，Xn)是总体X的