人教版七年级上册1.5《有理数的乘方》典例精析

有理数的乘方典例精析1【例1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，求 ？【 解析】a，b互为相反数，则，0的任何次幂都是0；c，d互为倒数，即cd=1，1的任何次幂都是1【 答案】 【 点评】注意利用数的特殊关系解题【例2】观察下列算式：，通过观察，用你发现的规律，判断 的末尾数字【 解析】在以上各式中，底数不变，当指数为 1、2、3、4、5、6、7时，末尾数字分别为3、9、7、1、3、9、7， 不难发现末尾数字按4个一组进行循环【 答案】2007 4的余数为3，则 的末尾数字是7 【 点评】对于规律题，要善于使用合理的方法观察、研究 【例3】计算： 【 解析】本例按常规运算顺序，应先算小括号里的减法，运算较繁，观察算式中的数字特征，可发现首尾两数互为倒数，根据这一迹象，抓住算式的结构特点对应解决 【 答案】原式= = =8-3=5【点评】数与数之间的特殊关系，利用运算定律，适当改变运算顺序有理数的乘方典例精析2【例1】计算：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）【分析】本题的几个小题的形式各不相同，解决的关键是要分清局部乘方与整体乘方之间的联系【解】（1）（2）（3）（4）（5）【点评】特别提醒：的底数是，的底数是总结：有理数乘方的运算有以下两种方法：（1）根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；（2）先确定幂的符号，再确定幂的绝对值【例2】计算：(3)2(2)3(3)(5)【分析】(3)2中前面的“”表示(3)2的相反数，而(3)2是负数的偶次方，结果应为正，(2)3的负数的奇次方，结果应为负，中括号里面是两个负数的减法运算，应转化为加法【解】(3)2(2)3(3)(5)9(8)(35)9(8)29(4)13【点评】在有理数的混合运算中，最容易出错的就是符号，符号“”可以表示减号，又可以表示负号，还可以表示相反数，要结合具体情况，弄清算式中每个“”号的具体含义【例3】计算：2201122012【分析】22011与22012的底数相同，指数接近，可根据乘方意义将它们写成乘法形式后，提公因数计算【点评】底数相同的幂进行加减运算时，可用提取公因数法计算【例4】我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数，这两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为123122021120=13，按此方式，则将十进制数52换算成二进制数应为_【分析】本题考查数的十进制与二进制的相互换算，同时考查逆向思维能力，即52125124023122021020，因此十进制数52换算成二进制数为110100【答案】110100【点评】我们常用的数都是十进制数，而计算机中使用的是二进制数，它们之间是可以相互转化的，在解答时应以双向的思路来解决这类问题【例5】小刚学习了有理数运算法则后，编了一个计算程序，当他输入任意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入的有理数的平方与1的和，当他第一次输入2，然后将所得到的结果再次输入后，显示屏上出现的结果应是（ ）A8 B5 C24 D26【分析】根据程序可得他第一次输入2后，所得的结果应是2215然后将5再次输入后，显示屏上出现的结果应是521=26，也就是26【答案】D【点评】解答本题的关键是通过阅读题意，弄懂程序所包含的算法，再根据算法进行计算【例6】一张纸的厚度大约是0.006 cm，地球到月球的距离约等于3.85105km小明说：“如果将一张纸连续对折43次，那么纸的厚度比地球到月球的距离还要远”你相信小明的说法吗？为什么？【分析】第一次对折得221张，第二次对折得2222张，第三次对折得22223张，依次类推，对折43次可得243张【解】对折43次后纸的厚度为2430.006 cm5.31010（cm）530000（km）5.3105千米3.85105千米所以小明的说法是对的【点评】有理数的乘方可以解决倍增问题，一方面减少了繁杂的书写运算过程，另一方面若指数太大时，结果写成幂的形式较为简单有理数的乘方典例精析3【例1】计算：（1）25；（2）-34；（3）；（4）（-1）2012；（5）02013.【解析】25表示的意义是5个2相乘；-34的“-”并没有4次方，只有3被4次方，计算的时候要注意。是分数幂的运算，等于3个连乘；（4）、（5）两题根据特殊情况就能准确计算【解】（1）25=22222=32；（2）-34=-（3333）=-81；（3）=；（4）（-1）2012=1；（5）02013=0.【点评】要区分-34 与（-3）4 ，注意（-1）的偶数次方等于1，（-1）的奇数次方等于-1.0的任何正整数次方都等于0.【例2】下列说法正确的是（）A如果ab，那么a2b2 B如果a2b2，那么abC如果|a|b|，那么a2b2 D如果ab，那么|a|b| 【解析】若a=1，b=-3，则a2b2，故A错；若a=-3，b=1，则ab，故B错；如果|a|b|，那么a2b2故C对；若a=1，b=-3，则|a|b|，故D错【答案】C【点评】比较大小，可以举例子，验证是否正确.【例3】如果a的绝对值是1，那么a2013等于（）A1 B2013 C-2013或2013 D1或-1 【解析】根据绝对值的意义得到a=1，然后根据乘方的意义分别计算a2013的值即可|a|=1，a=1，当a=1，则a2013=1；当a=-1，则a2013=（-1）2013=-1 【答案】D【点评】注意，互为相反数的绝对值相等；1的任何次方都等于1，（-1）的偶数次方等于1，（-1）的奇数次方等于-1。【例4】计算：-17+17（-1）11-52（-0.2）3【解析】此算式以加、减分段， 应分为三段：-17，17（-1）11，52（-0.2）3这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除式中0.2化为， 参加计算较为方便。 【解】原式=-17+17（-1）11-52（-0.2）3 =-17+17（-1）11-52=-17+（-17） =-34+=【点评】做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率.【例5】观察下列算式：313 329 3327 348135243 36729 372187 386551通过观察，用你发现的规律，判断出3101的末位数字是_.【解析】通过观察，3n每循环4次，末位数字（个位）就出现周期变化.当n4k1时，34k1的个位数为3当n4