数学一轮第六篇数列第2讲　等差数列及其前n项和教案理新人教

第2讲等差数列及其前n项和【2013年高考会这样考】1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题2考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用【复习指导】1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法基础梳理1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)5等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn，或等差数列an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n，数列an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)7最值问题在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值 一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn. 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列双基自测1(人教A版教材习题改编)已知an为等差数列，a2a812，则a5等于() A4 B5 C6 D7解析a2a82a5，a56.答案C2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31 B32 C33 D34解析由已知可得解得S88a1d32.答案B3(2011江西)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11.那么a10()A1 B9 C10 D55解析由SnSmSnm，得S1S9S10a10S10S9S1a11.答案A4(2012杭州质检)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13 B35 C49 D63解析a1a7a2a631114，S749.答案C5在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.解析设公差为d.则a5a23d6，a6a33d7613.答案13考向一等差数列基本量的计算【例1】(2011福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值审题视点 第(1)问，求公差d；第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.从而，an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.进而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7为所求 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以体现了用方程思想解决问题的方法【训练1】 (2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，a9，由题意可得a1a2a3a43，a7a8a94，设等差数列an的公差为d，则有4a16d3，3a121d4，由可得d，a1，所以a5a14d4.答案考向二等差数列的判定或证明【例2】已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式审题视点 (1)化简所给式子，然后利用定义证明(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1，又a1，不适合上式，an 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断【训练2】 已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)证明：数列an是等差数列(1)解设SnAn2BnC(A0)，则解得：A2，B4，C0.Sn2n24n.(2)证明当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)当n1时符合上式，故an4n6，an1an4，数列an成等差数列考向三等差数列前n项和的最值【例3】设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值审题视点 第(1)问：列方程组求a1与d；第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决解(1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)知，Snna1d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值(2)利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值【训练3】 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.法二同法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三同法一得d.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.考向四等差数列性质的应用【例4】设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.审题视点 在等差数列 an中，若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)用此性质可优化解题过程解由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18. 本题的解题关键是将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程【训练4】 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_解析(1)an1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，S17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S202020180.答案(1)153(2)180阅卷报告6忽视an与Sn中的条件n2而致误【问题诊断】 在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：anblcrc (avs4alco1(S1(n1)，,SnSn1(n2).)这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n1和n2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.【防范措施】 由anSnSn1求出an后，一定不要忘记验证n1是否适合an.【示例】(2009安徽改编)已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.求数列an与bn的通项公式错因求an、bn时均未验证n1.实录anSnSn1，an2n22n2(n1)22(n1)4n.又Tn2bn，bnTnTn12bn2bn1，即bnbn1，bnn121n.正解当n2时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，又a1S14，故an4n，当n2时，由bnTnTn12bn2bn1，得bnbn1，又T12b1，b11，bnn121n.【试一试】