第1章位姿几何基础

.第1章姿势几何基础、肩部旋转、腰、胳膊、肘部发生主要运动的机器人的位置机构。 手臂有多个自由度，是机器人的姿势机构，决定空间方向。 末端执行器可以是各种卡盘，也可以是焊枪或喷淋头等各种工具。 操作时，不仅要求手能够到达指定的位置，还要求保持正确的姿势。 机器人主体的结构一般简化为由连杆、关节、末端执行器构成的空间连杆开放链条机构。 研究机器人，首先分析运动学和动力学。 在机器人的各连杆关节上固定坐标系，通过变换记述这些坐标系之间的相对位置和方向，进行机器人的姿势解析。一、坐标系采用参考坐标系和关节坐标系描述机器人的姿势。 参考坐标系：根据机器人各关节的运动，定义位置和方向不变的、机器人相对于其他物体的运动和机器人的运动路径等。 三维空间固定坐标系OXYZ表示。 关节坐标系：用于描述机器人各独立关节的运动。第二，刚体姿态描述了刚体上某点的位置及其在空间中的姿态时，该刚体在空间中完全定位。 将o作为刚体上的任意点，参照坐标OXYZ，o以o系表示位置： Ro=xoyozoT，在刚体上表示动态坐标系OXYZ，动态坐标系的方向表示刚体的方向。 以，O0，x0，z0，y0，iA，向量iA为单位向量， 轴y0与单位向量j0所成的角度为，轴z0与单位向量k0的角度为:单位向量向参照系统o上的各坐标轴投影方向馀弦、向量的方向，n、o， 如果将a分别代表动坐标轴的单位方向矢量的参照系o系上的分量用r矩阵表示动系各坐标轴投影到o系上的方向馀弦刚体的参照坐标系内的方向，则刚体的姿势能够用44矩阵记述： 例1固定在刚体上的坐标系B位于0B点，成为xb=10、xb=10的Zb轴垂直于画面，坐标系B相对于固定坐标系A有300的偏转，试制了表示体位姿势的坐标系B的(44 )行列式。坐标系B的(44 )行列式：链接的姿势表示，链接PQ上的某点的位置和该链接在空间中的姿势被给予的话，链接在空间中是完全确定的。 o是链路的任意点，oxygz是被固定在链路上的动态坐标系，即动态系。 链路PQ在固定坐标系OXYZ下的位置表示为P=xoyozoT，链路的姿势可以由动态系统的坐标轴方向表示。 将n、o、a分别作为x、y、z坐标轴的单位向量连杆的姿势，以坐标形式，机械手的位置和姿势以固定在机械手上的动系B的姿势表示。 手的中心点是动系原点OB，关节轴是ZB轴，单位向量a是接近向量，指向外方。 手指的接线是YB轴，单位向量o是姿势向量，指向可以任意选定。 XB轴与YB轴以及ZB轴垂直，单位向量n是法线向量，是指遵循右手法则的方向。 手的位置向量：动系原点(x0，y0，z0)手的方向向量： n，o，表示a手部位的姿势的(44 )行列式：例2表示手握住物体q，物体是边的长度为2单位的正立方体，写入表示该手部位的姿势的行列式。 解物体的q形心与手坐标系的坐标原点o一致，手位置矩阵可以表示为： P=1111T移动系数x轴的单位方向矢量n :移动系数y轴的方向矢量o :手部位置姿势矩阵可以表示为：移动系数z轴的方向矢量a :刚体的运动可以分解为旋转和并进，旋转和并进的记述可以表示为o系数和o系数的联合坐标变换矩阵.三维、一维坐标或者一个n维空间中的点由n-1维坐标表示，其中n-1维坐标是n维坐标的一维坐标。 二次坐标显示： P=abcwTw :比例系数。 非齐次坐标表示： P=abcT普通坐标与齐次坐标的关系：一对一多。当将二维点(x，y )的一维坐标表示为hx，hy，h时，h1x，h1y，h1、h2x，h2y，h2、表示二维空间中同一点(x，y )的一维坐标。 例如， 12，8，4 、6. 4，2 和 3，2，1 表示点 3，2 的二维坐标。同样，三维空间中的坐标点x，y， z例如是同次坐标(1231 )、(2462 )、(3693 )，将正交坐标下空间点(123 )设为w=1，同次坐标的标准化形式，即P=PXPYPZ1T、w0时是唯一点，点的坐标分别是x=a/wy=b/wz=c/w、w=0时是坐标x=1000T，y=0100T，z=0010T，对于采取体位的姿势，齐次坐标和普通坐标没有实质上的差别，但是对矩阵运算提供了可行性和便利性。 例3用一次坐标表示图示向量u、v、w的坐标方向。解向量u:cos=0，cos=0.866，cos=0.5u=00.8660.50T向量v:cos=0.866，cos=0，cos=0.5v=0.86600.50T向量w:cos=0.866，cos=0.5，cos=0w=0.0 1 .平行移动一次变换空间中的一个点A(XA、YA、ZA )平行移动到A(XA、YA、ZA )，这里，a点与a点之间的坐标关系或者，Trans(X、y、z )也被称为平行移动运算符，并且第四列元素x、y、z分别表示沿着坐标轴x、y、z的移动量。 一旦针对固定坐标系而变换了算符的左、右乘法规则，变换了算符的左乘法相对移动坐标系，就对算符进行右乘法。 写下，坐标系a，a的行列式。 例4所示坐标系的平移变换中，表示相对于固定坐标系的X0Y0Z0，移动坐标系A相对于自己的坐标系轴平移(-1，2，2 )后为A时的动态坐标系A的XYZ轴分别平移(-1，2，2 )，移动至A。 已知：解：动系A的2个并进运算符全部是：A坐标系是动系A沿着固定坐标系进行了并进变换，因此运算符的左乘是，动系A沿着自己的坐标系进行了并进变换，因此运算符的右乘是，2 .旋转的一次变换， 用一个点A(XA，YA，ZA )和矩阵表示以坐标系为中心的旋转变换空间，并且从围绕z轴旋转角度起算的点a与点a之间的坐标关系由下式表示： Rot(Z )表示围绕z轴在下一次坐标变换时的旋转变换矩阵，并且也被称为旋转运算符。 旋转运算符可以是：显示，类似地，围绕x轴旋转的旋转运算符和围绕y轴旋转的旋转运算符：点围绕原点的任意轴旋转的一般旋转变换，旋转运算符是式中：上式是一般的旋转二次变换公式，概括围绕x轴、y轴和z轴进行旋转二次变换的各种特殊情况不仅适用于点的旋转变换，还适用于向量、坐标系、物体等旋转变换计算。 一旦针对固定坐标系而变换了算符的左、右乘法规则，变换了算符的左乘法相对移动坐标系，就对算符进行右乘法。坐标系c和变换t :以z轴为中心旋转90圈，沿x轴方向平行移动10圈，您知道相对于基底系统和动态系统变换时坐标系c的位置吗？ 另外，已知坐标系c和变换t :以z轴为中心旋转90圈，在x轴方向直线移动的10基本系统中变换时的左乘坐标系c表示新的坐标系的位置为P=TC :相对于坐标系c变换时的t右乘坐标系c表示新的坐标系的位置为Q=CT :例5表示单臂操作手腕具有自由度。 手的主姿势行列是，手臂围绕Z0轴旋转90度时，知道手达到G2的手臂不动，只有手以手臂Z1轴为中心旋转90度时，手达到G3。 导出机械手坐标系G2和G3的行列式。解：由于手臂以固定坐标系为中心进行旋转变换，手臂以手臂轴为中心进行旋转是以相对坐标系为中心进行旋转变换，因此将复合变换：的平移变换和旋转变换组合为一次变换，称为复合变换。补充说明：“a”表示被记述系的编号，“0”表示参考系的编号，“姿势矩阵”: Sj坐标系的Si坐标系中的姿势，“点a表示坐标系Si中的姿势”，“点a表示坐标系Sj中的姿势矩阵”，“坐标系间的姿势变换”: S1首先与S0重叠，绕x0旋转90后沿x0移动20，左乘和右乘S1分别沿着基准系数S0和动态系数S1进行T2变换时，新坐标S2的姿势为？第一种情况下：变换S2和S1沿着S1重叠绕z1旋转90圈，沿着x1移动10圈，结论： S2沿着S1运动的情况下用T2右乘，y1、第二种情况下： S2沿着S0运动的情况下S2和S1完全重叠，绕z0旋转90圈，沿着x0旋转10圈y0、O0、结论2:在S2沿着S0运动的情况下，在T2中给出左乘法器z0、x0、y0、O0、xi、yi、Oi，例如6 :图示出运动变换，并描述从Si到Sj的运动顺序。 对于基系，首先围绕z轴旋转，然后移动并左乘。yi，xi，Oi，Oj，xj，yj，对于基础系统，都是先移动，然后旋转，坐在左边。 到达错误的地方。 【教室练习】、【练习1】使角形成系数S1绕基础系数Si的zi轴旋转，使角绕z1轴旋转，形成当前的坐标系Sj。 绘制各坐标系，求出Sj相对于Si的姿势矩阵。 【练习2】沿着基底系数Si的xi轴，a形成系数S1，沿着y1轴，b形成当前坐标系Sj。 绘制各坐标系，求出Sj相对于Si的姿势矩阵。 【练习3】沿着Xi轴移动20次而形成S1，以zi轴为中心旋转90次而形成S2，沿着z2轴移动10次而形成当前的坐标系Sj。 绘制各坐标系，求出Sj相对于Si的姿势矩阵。【练习1】绕基础系统Si的zi轴旋转角形成系统S1，绕z1轴旋转角，形成当前坐标系Sj。 绘制各坐标系，求出Sj相对于Si的姿势矩阵。 【解】、【练习2】沿着基础系数Si的xi轴，a形成系数S1，b沿着y1轴移动，形成当前坐标系Sj。 绘制各坐标系，求出Sj相对于Si的姿势矩阵。 【解】、【练习3】沿Xi轴移动形成S1，以zi轴为中心旋转90度形成S2，沿z2移动形成当前坐标系Sj，绘制各坐标系，求出Sj相对于Si的姿势矩阵。 【解】、【例2-1】已知坐标系S1与S2间的变换求出、点p的两坐标系中的坐标间的关系。 【解】、【a】表示被记述系的编号，“0”表示参考系的编号，“z1，x1，y1，O1，4 .姿势矩阵的逆矩阵，1 .姿势矩阵的逆矩阵，2 .姿势矩阵的逆矩阵，补充知识：旋转矩阵的两个正交性质，(1)R矩阵的9个要素，3个独立，6个约束条件(正交条件)，(2)R矩阵的逆矩阵等于转置矩阵。 例7是坐标系Sj和坐标系Si的变换，(1)标绘(2)映射变换矩阵的逆矩阵的角和移动量，(3)写逆矩阵的r矩阵和p矩阵。【解】，(1)绕x轴旋转角的旋转变换矩阵： (2)绕y轴旋转角的旋转变换矩阵