第六节 两个自由度体系的自由振动

11-6两个自由度系统的自由振动在实际工程中很多问题简化为多自由度系统进行计算。 多自由度系统强制振动时的动力反应与系统的动力特性(自振频率、主振动型等)有密切的关系。 分析多自由度系统自由振动的目的是确定与系统自振频率对应的主振型。 在单自由度系统的自由振动的分析中，明确了衰减对自振频率的影响很小，在多自由度系统中也同样。 另外，在分析多自由度系统的强制振动的动力反应时，经常使用不考虑衰减的系统的主振动型。 因而，在分析多自由度系统的自由振动时，不考虑衰减的影响。 在本节中首先探讨两个自由度体系，在下一节中展开为n个自由度体系。 和单自由度体系一样，两个自由度体系在建立运动方程式上也有柔软度法和刚性法，分别讨论如下。 另一方面，根据柔度法、一.运动方程的确立、运动法，惯性力和分别作用于质点m1和m2时(图11-34b )，质点位移y1(t )、y2(t )必须与这两个惯性力共同作用产生的静力位移相等。 根据重叠原理，式中，物理意义如图11-34c、d所示，是构造的柔软系数。 根据位移相互等定理，在.2 .频率和振动型的计算中，注意到单自由度系的自由振动是单纯共振，微分方程组的特解是，假定两个质点是同频率、同相位的单纯共振，即，二次微分是将上式代入运动方程式，消去公式因子sin(t )而整理出来的其中零解对应于没有振动的情况，不是所要求的解。 为了使方程式具有非零的解，系数矩阵式必须等于零，即，上述方程式被称为频率方程式，且可用以确定系数的自振频率。 因为、和可通过展开等式求解的两个正实根(较大值)及(较小值)为、所以在两个自由度系数中具有两个自振频率，两个自振频率中的较小者用1表示以获得第一频率或基频将：1、2分别代入下式，由此求出对应的A1和A2，=1或=2使方程式(11-46 )的系数矩阵式为零，因此这两个方程式不是独立的，仅根据其中的任意一个方程式求出A1与A2的比此外，在=1时，可知A1由式(11-46 )的第1式得到A2，与此相应地，得到质点位移y1(t )、y2(t )的特解。 在自由振动过程中，两质点的位移之比保持一定，也就是说，在任何时刻系统的振动都保持相同的形状。 这种保持相对位移一定的振动形式称为主振动型，简称为振动型。 类似地，在一些情况下，当系数、振荡时，质点位移y1(t )与y2(t )的比值为1:称为第一模式或基本模式。 当系统振动时，质点位移y1(t )与y2(t )之比为1:称为第二模式。 在多自由度系统以某一主振型自由振动的情况下，由于振动的形状不变，因此能够通过一个几何坐标确定所有质点的位置，因此实际上像一个自由度系统那样振动。 只有在特定的初始条件下才能使、体系在某种主模式下轻松自由振动。 例如，对应于第一模式，应当注意，仅当质点2的初始位移和初始速度分别是质点1的初始位移和初始速度的两倍时，系统才在第一模式中自由振荡。 在这种特定的初始条件下出现的运动形式在数学上被称为微分方程组的特解。 3 .运动方程的通解可以通过线性组合两个特性解得到通解：公式有四个独立的保留常数，它们可以由四个初始条件确定。 因此，给定任何四个初始条件，可完全确定系统的自由振动。 由以上公式可知，在一般的初始条件下质点的位移是重叠了具有不同频率的单纯共振，不是单纯共振。不同质点的位移比也不是常数，随时间变化。 需要指出系统在某主模式下是否自由振动完全取决于初始条件，但从式(11-47)(11-50 )可知，系统的自振频率和主模式与初始条件无关，完全依赖于系统的质量和灵活度系数。 例11-9求出了图a所示的截面简支梁的自振频率和主振动模型。 解： (1)求柔软性系数的体系有两个自由度。 作图，如图b、c所示。 在通过图乘法求出柔度系数、(2)求出自振动频率并将柔度系数及m1=m2=m代入式(11-48 )而求出时，得到两个自振动频率，(3)求出主振动型的通过式(11-49 )求出的第一振动型为通过式(11-50 )求出的第二振动型， 这表示系统以第一频率振动时，两质点保持相同方向且相等的位移，其振动型是对称的，以第二频率振动时，两质点的位移为同值且相反，振幅型为相反对称形状，因此，如果结构本身和质量分布都对称，则其主振幅型不对称是相反的因此，在求出自激振荡频率和模式时，对称和相反对称都可以作为半结构来计算。 例如，图11-36a所示的对称门形架的质量分布也是对称的。 一种主模式必须是对称的，另一种主模式必须是相反的(图11-36b，c )。 通过分别采用半结构(图11-36d、e )，构成2个单自由度系统来求出自激振荡频率。 例如，求出图11-10图11-37a所示的机架的自振频率和主模式。 EI=常数。 解：这是两个自由度体系。 质点的水平位移为y1(t )，以右为正的质点的垂直位移为y2(t )，以下为正。 沿着y1(t )方向的质量m1=2m，沿着y2(t )方向的质量m2=m，(1)求出柔软度系数，如图11-37b、c所示进行了描绘。 通过乘法运算，(2)求出自振频率，将柔量系数及m1=2m、m2=m代入式(11-48 )而求出，两个自振频率由(3)求出主振型，由式(11-49 )求出，第一振型由(11-50 )求出，第二振型由(11-37d、e )表示两个主振型的形状可以是2 .刚性法，1 .运动方程式的确立刚性法或列动力平衡方程式确立运动方程式，在列动力平衡方程式的情况下，可以取质点在隔离体用的平衡条件下确立运动方程式，也可以不分离质点而按照第八章位移法的顺序处理。 即，先在变位方向上对m1、m2施加追加连杆来阻止质点变位(图11-38b )，若施加质点的惯性力，则两连杆的反作用力分别接着在两连杆上产生与两质点的实际位置相同的变位y1(t )、y2(t ) (图11-38c )，则施加于两连杆的力为S1(t )、S2(t ) 式中k11、k21、k12、k2的物理意义如图11-38d、e所示，是结构的刚性系数。 还有，图11-38b、c这两种情况的重叠是使系统返回到图11-38a的实际运动位置以进行瞬时平衡，使得附加链路上的总反作用力为0 (本来没有附加链路)。 即，将代入上式而得到的两个自由度系的自由振动的运动方程式，代入、上式而消除公因子sin(t )，然后、上式是使质点振幅A1、A2为未知量的一次线性代数方程式，称为模式方程式。 具有非零解的满足条件被称为频率方程，因为方程的系数矩阵等于零，即，可用以确定频率的值。 然后，解的两个根据式(11-53 )的第一式求出两个主模式，例如11-11求出图a所示的系数的自振频率和主模式。 已知梁的EI=常数、质点m1=m、m2=2m、弹簧的刚性系数。 解：质点m1、m2的垂直位移分别为y1(t )、y2(t )，以下为正，求出(1)刚性系数，使质点m1、m2向振动的正方向单位位移，如图b、c所示。将质点作为隔离体，利用平衡条件求出刚性系数：k12=k21=-k，(2)求出自振频率，将刚性系数和m1=m，m2=m代入式(11-55 )，求出，两个自振频率，(3)主振动型，从式(11-56 )求出两个主振动型，作为振动型图如图11-39d，e所示求出11-7这样的多自由度系统的自由振动，在本节中研究n个自由度系统的自由振动，采用行列表示形式。 另一方面，柔度法、一.运动方程式的确立的图11-40a表示n个自由度系统，在自由振动的某一时刻t质点mi的位移为yi(t )，该位移可以看作是各质点的惯性力的协同作用下的静力位移。 使用图11-40b所示的柔度系数，在2个自由度系统的情况下，可以编写n个自由度系统的自由振动n个位移方程式。 上式以矩阵形式表示，如下所示。 上式是、式中，和M分别根据柔性矩阵和质量矩阵：位移相互等定理为对称矩阵。 对于质点体系，M是对角矩阵。 假定yi (t )=aisin (t ) (I=1，2，2，n )、即每个质点的振动频率具有相同的相位。 上述方程式被写入矩阵形式，且在方程式中，振幅矩阵，即，、将特性解代入运动方程式，称为振动型方程式，其为位移振幅值的线性代数方程式，并且为了具有非零解，方程式的系数矩阵必须等于零(即，、=0) 由此得到的n次代数方程式，可以求解n根。 因此，能够求出n个频率，这些频率按照数值从小到大的顺序排列，分别被称为第1、第2、第n个频率，统称为频谱。 为了求、主模式，将求出的k (k=1，2，2，n )代入模式方程式时，为、(k=1，2，n )，由于上式的系数行列式等于零，因此仅该n个方程式中的(n-1 )个独立，无法求出确定值，但能