数学建模——传染病模型

传染病模型摘要信息当今社会开始定量研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模式，从而为预测和控制传染病提供可靠和充分的信息。本文利用微分方程稳定性理论，对传统的传染病动力学建模方式进行了探讨，并对甲流、SARS等新型传染病模型进行了建模、分析。不同类型传染病的传播过程具有不同的特征，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般传播机制分析(如简单模型、SI模型、SIS模型、SIR模型等)建立各种模型。本文为了说明疾病发展变化的过程和传播规律，应用传染病动力学模型，利用联立微分方程反映了传染病发展过程中各类人的内在因果关系，并在此基础上建立了方程求解算法。然后通过Matlab程序拟合更符合实际的曲线，进行传染病状况预测，评估各种控制措施的效果，持续改进文本模型。本文从简要、困难、全面地评价了该模型的合理性和实用性，然后对模型和数据进行了较为简略的分析，进一步改善了模型的不足。同时，在对问题进行更全面的评价的基础上，引入了更全面、更合理的假设，利用双线性函数模型评价了卫生部的措施，提出了建议，做好了模型的完成和优化工作。关键字：传染病模型、简单模型、SI、SIS、SIR、微分方程、Matlab。第一，再次说明问题像非典(SARS)、甲型H1N1(H1N1)等传染病正在流行，我们想利用目前已经掌握的一些资料，确保传染病扩散所需的控制力，有效地研究这种传染病，以减少国民生命财产的损失。考虑以下几个问题，建立相应的数学模型，作一定的比较分析和评价前景。1、不考虑环境限制，建立单位时间内感染者增长率为常数，求出t瞬间感染者数量的模型。2，假设单位时间感染者增长率为感染者的线性函数，在最大感染时增长率为0。模拟寻找t时间的感染人数。3.假设总人口可以分为传染病患者和感染者，容易感染者与感染者接触，得疾病，因治疗而减少，对疾病的免疫力增强，t时时刻刻分析病者和感染者的关系，建立传染病趋势，最终消灭与否等感染情况的预测模型。二、问题分析1、这是与传染病传播相关的实际问题，可以通过建立一个适当的微分方程模型来解决。2，问题表达中已经对每个子问题提出了一些相应的假设。3、实际上，感染人数是不连续的变量，没有连续的区分因素，不利于建立微分方程模型。但是短时间内改变的是少数民族，所以这种变化与全体人口相比是微不足道的。因此，要利用数学工具建立微分方程模型，还需要基本假设，感染人数是时间的连续微分函数。三、模型假设模型2和模型3的假设条件：家庭1:在疾病传播期间考察的地区总人数n保持不变。也就是说，不考虑生死，不考虑迁移。人群分为两类：感染者和感染者(两个单词的第一个字母称为SI模型)，以下称健康人和患者。时间t这两类人所占的比例分别用s(t)和i(t)表示。假设2:每个患者每日有效接触的平均人数是称为每日接触率的常数。患者与健康的人接触时，感染健康的人，使其成为患者。家庭3:模型3基于家庭1和家庭2进行考虑，然后设置名为每日治愈率(每日治愈率)的患者的比例。患者成为痊愈后仍能感染的健康人，显然1/1是这种传染病的平均传播期。模型4的假设条件：4:假定人数合计n不变。人群分为三类：称为SIR模型的健康人、患者和治愈免疫的移动者。三类人在n中所占的比例分别用s(t)、i(t)和r(t)表示。5:假设患者的每日接触率为l，每日治愈率为m(与SI模型相同)，感染期间接触率为s=l/m。四、符号说明t特定时刻X(t)患者数每天每个患者有效接触的人数n总人数S(t)健康人总数I(t)患者总数I早期瞬间患者的比例t患者的最大值每日治愈率1/平均感染率接触率R(t)移动器s初期健康人的比例五、模型的建立和解决方法模型1在这个最简单的模型中，设置瞬时t的患者数x(t)是连续的、微不足道的函数，每天每个患者有效接触(足以引起疾病的接触)的人数是常数，如果调查t的患者数有增加，则有增加方程式(1)的解决方案如下结果表明，随着t的增加，患者数x(t)无限增加显然不切实际。建模失败的原因是，在患者有效接触的人口中，也有健康的人，只有健康的人才能传染给患者，所以在改进的模型中，要区分两者。型号2(SI型号)也因为这个缘故方程(5)是逻辑模型。答案是此时，患者增长最快可以说是医院诊疗量最大的一天，这是医疗保健部担心传染病高潮来临的时刻。原因是没有在模型中考虑到病人可以被治疗的事实，人群中健康的人只能成为病人，病人不再是健康的人。模型3(SIS模型)可以假设感冒、痢疾等治愈后免疫力很低的一些传染病没有免疫力。因此，患者治疗后成为健康的人，健康的人会被感染，再次变成患者，所以这个模型成为SIS模型。考虑到此模型的假设条件(8)可用的微分方程0 (9)定义(10)其中，被称为在整个感染期间每个患者有效接触的平均数量接触数量。你会得到(11)模型4(SIR模型)天花、流感、麻疹等大部分感染者的免疫力很强，不是病菌的人也不是健康患者(感染者)，因此被感染者(感染者)将被清除。这被称为“去除者”，用“r”记录。SIR模型是感染者一旦感染，就会变成感染者，感觉可以治愈，产生免疫力，成为去除者。人员流程图是S-I-R。1.配置模型：假设1包括：S(t) i(t) r(t)=1 (12)愈合免疫的携带者数量应如下：(13)如果初始时刻感染者、感染者、恢复者的比例分别为( 0)、( 0)、=0，SIR基本模型可以表示为微分方程组，如下所示：(14)解决S(t)、i(t)非常困难。在这里，我要做一个数值计算，预先估计s(t)，i(t)的一般波动规律。2.数值计算在方程式(3)中设定=1、=0.3、i(0)=0.02、s(0)=0.98，然后使用MATLAB软体进行程式设计。Function y=ill(t，x)a=1；B=0.3y=a* x(1)* x(2)-b* x(1)；-a* x(1)* x(2)；Ts=0:50X0=0.20，0.98；t，x=ode45(ill，ts，x0)；Plot(t、x(:1)、t、x(:2)福勒Plot(x(:2)、x(:1)输出的简明计算结果见表1。I(t)，s(t)的图形下的两个图形；如果is图形称为上轨迹，则初始值i(0)=0.02，s(0)=0.98相当于图2中的P0点，并且随着t的增加(s，)在表1、图1、图2中，可以看到i(t)从初始值增加到约t=7时达到最大值，然后减少。t ，I 0，s (t)单调递减，t s 表1 i(t)、s(t)的数值计算结果t012345678I(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247S(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045I(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010S(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.039813.拓朴轨道分析基于数值计算和图形观测，使用相位轨道讨论解决方案i(t)、s(t)的特性。D=(s，i)| s0，i0，s I1 (15)在方程14中，可以去掉定义并确认。(16)于是：使用积分性质轻松寻找方程式(5)的解决方案包括：(17)在域d内(17)表示的曲线是相位轨道，如图3所示。其中箭头表示s(t)和i(t)随时间t的增加而变化的趋势。图3(14)、(17)和图3，分析s(t)、i(t)和r(t)的变化(t的极限值分别记录为和)。1.不管初始条件s0，i0如何，患者消失。也就是说：2.最终，未感染的健康人的比例是(7)在饮食中得到i=0(0，1/)内的根。在图形中，拓扑轨道和s轴在(0，1/)内相交的水平坐标3.如果是1/，则开始为：i(t)首先增加，当s=1/时，i(t)达到最大值。然后，s1/，是，i(t)减少到0，s(t)单调地减少，例如从图3中的P1(，)出发的导轨4.在1/的情况下保持不变，i(t)单调减小到0，s(t)单调减小到从图3中P2(s0，i0)开始的轨道1/(即， 1/s0)是在患者比率i(t)增加到一定程度时确定传染病在传播的阈值，1/(即，1/s0)是传播的阈值，感染期接触次数(阈值1/；和1/，减少时增加(通过映射分析)减少，还控制扩散程度。我们在= 中发现，人们的卫生水平越高，每日接触率越小；医疗水平越高，每日治愈率越大大小越小，因此提高健康水平和医疗水平有助于控制传染病的传播。相反，在感染期间，一个患者被感染的健康人的平均数量交换次数意味着一个患者被健康人交换。因此，可以立即存在。交换不超过1，患者比例i(t)不增加，传染病不扩散。5.集体免疫和预防：根据SIR模型，传染病不会扩散。因此，为了防止扩散，除了提高卫生和医疗水平，扩大临界值1/外，其他方法也可以降低，通过预防接种进行集体免疫的方法一样。忽略患者百分比的初始值为：传染病不扩散的条件如下这意味着通过集体免疫，确保早期瞬间的移动者比率(即免疫比率)，就可以防止传染病的扩散。这种方法生效的前提是免疫系统必须平均分布在全体人口中。据估计，当时印度等国家接触天花传染病的人数=5，至少百分之80必须免疫。世界卫生组织的报告显示，即使花了大钱，也很难平均分配免疫力，因此天花直到1977年才在世界各地根除。有些传染病更高，更难根除。6.模型验证：上世纪初，印度孟买发生的一场传染病导致几乎所有患者死亡。死亡就像移出传染系统。根据关系部门每天移动的人数(即实际数据)，使用此数据验证了SIR模型。首先，方程式(12)、(14)可以得到，两边各点于是：(8)再次(9)(13)样式右端的“泰勒”扩展样式的前三项为：(10)初始值=0时求解高阶常微分方程的：(11)这里以(10)格式很容易得到。然后，通过取参数s0、等，绘制图4中的曲线等(11)样式的图形，可以看出实际数据在图中显示为点，理论曲线与实际数据相当匹配。六、模型评价和宣传以传染病模型为基础进行了研究，建立了传染病动力学模型。传染病流行病学1根据人口增长的特点、疾病发生及人口内传播、发展规则和相关社会等因素，建立反映传染病流行病学特征的数学模型，通过模型流行病学状态的定性、定量分析和数值模拟，分析疾病的发展过程，揭示流行规律，预测变化趋势，分析疾病流行原因和关