空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法

14安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法 作者：吴平 指导老师：张亚楠摘要：介绍曲线积分，曲面积分的基本定义并探讨曲线曲面积分在空间上的基本的计算方法，一般的曲线曲面积分的参数方程可以利用公式计算，如利用高斯公式，斯托克斯，格林公式求解法，但有时的计算相当麻烦，所以在此基础上探讨并寻找新的求解方法，如对称性求解法以及数形结合法，最后我们通过联系实际问题分析曲线积分曲面积分在其中的应用。 关键词： 曲线积分 曲面积分 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式1 引言：数学的发展归根到底是为了探究大自然的规律，所以数学不可能只是某些经验事实的积累它有其哲学的思辨，在人类文化各个分支中，数学可能是唯一依靠逻辑规则建立自己的分支，本文是关于曲线曲面积分计算方法的心探究。二：本文主要介绍第一类第二类曲线积分，第一类和第二类曲面积分，以及两类曲线积分两类曲面积分的联系，以及后面的格林公式，斯托格斯公式高斯公式的实际问题中应用。三：在探究第一类以及第二类曲线曲面积分方法探究时一定要把积分区域积到，第一：要在量纲上一致，比喻曲线积分一定要化为定积分的计算，曲面积分一定要化为两个有次序的定积分的计算，三重积分一定是由于积分区域式三维区域的是立体的，因此一定化为有次序的三个有次序的定积分，当然也可以化为一个定积分和二重积分，或一个二重积分和一个定积分，第二：无论怎样积分一定要把积分区域中的每一点计算到。2 空间曲线积分方法第一型曲线积分：设为平面上可求长度的曲线, 为定义在上的函数，对曲线做割，它把分隔成可求长度的小曲线段的弧长记为分割的细度为=在上任取一点 若有极限且的值与分割与点的取法无关，则称极限为在上的第一型曲线积分，记着若为空间可求曲线段，为定义在上的函数，则可类似的定义在空间曲线上的第一型曲线积分，并记着第二型曲线积分：设函数与定义在平面有向可求长度曲线: 上，对的任意分割 ，它把分成个小曲线段其中记各种小曲线段的弧长为.分割T的=.又设的分割点的坐标为,并记为=-,=-(i=1,2,3,4.)在每个小曲线段上任取一点（,）若极限+存在且与分割T与点（,）的取法无关，则称此极限为函数P（x，y）,Q(x,y)沿有曲线L的第二型曲线积分，记为+Q(x,y)或者+Q(x,y)上述积分可以也写成+ +若L为封闭的有向曲线，则可以记为+Q第一类二类曲线积分的计算：例一：计算其中L为球面被平面x+y+z=0所截得的圆周解：有对称性知 =所以 =) = =第二类曲线积分的计算：例二：计算+(y-x),其中L分别沿如图的路线（1）直线AB（2）ACB(抛物线：y=2+1 (3)ADBA(三角形周界)解（1）直线AB的参数方程为 t0,1故由公式可得-(y-x) = =)dt=(2)曲线ACB为抛物线y=2+1,1x2所以 +(y-x)dy=+2+35x-12)dx= (3)这里L是一条封闭曲线，故可以从A开始应用公式性质2，分别求沿AD,DB和上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分，由于沿直线AD:x=x,y=1(1x2)的线积分为： 沿直线DB：x=2,y=y,(1x3)的线积分为：=dy=0沿直线BA的线积分为：dy=-所以=+0+(-)=-两类曲线积分的性质以及联系：虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的性质，但在一定的条件下，如在规定了曲线方向之后，可以建立他们之间的联系。设L为从A到B的有向光滑曲线，它以弧长s为参数，于是L 0sl其中 L为L的全长，且A与B的坐标分别为(x(0),y(0)(x(l),y(l).曲线上每一点的切线方向指向弧长增加的一方，现以（t,x）(t,y)分别表示为切线方向t与x轴与y轴正向的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是=, 1 若P（x,y）,Q(x,y)为曲线L上的连续函数，则有：Q(x(s),y(s)ds= 2最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式，这里指出当二式左边第二型曲线积分的L改变方向时，积分值改变符号，相应在二式右边第一型曲线积分中，曲线上各点的切线方向指向相反的方向，（即指向弧长减少的方向）这时的夹角（t,x）,(t,y)分别与原来的夹角相差一个弧度，从而都要变号，因此一旦方向确定了公式2总是成立的，这样根据条件1和2便成立了两种不同类型的曲线积分之间的联系。3 空间曲面积分的方法：第一曲面计型算方法设S为空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S作分割T，把S分成n个小曲面块(i=1,2,3.),以记小曲面块的面积，分割T的细度=，在任取一点（）（i=1,2,3,4.）,若极限存在，且与分割T与（）(i=1,2,3.)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在上的第一型曲面积分，记着特别的，当f(x,y,z)=1时，曲面积分就是曲面块S的面积。例三：计算,其中S是球面+=被平面z=h(0h0,y0部分并取球外侧解：曲面S在第一，五卦限部分的方程分别为：=-他们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分，依题意，积分是沿上侧和的下侧进行，所以 = dxdy-dxdy =2dxdy =2dr=如果光滑曲面S由参量方程给出：S：若在D上各点它们函数行列式：,不同时为零，则分别有： =dudv dudv两类曲面积分积分的联系：与曲线积分一样，当曲面的侧确定后，可以建立两类曲面积分的联系。设S为为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S的正侧进行，因而有：(由区面积公式得：=dxdy其中，它是定义在上的函数，因为积分沿曲面正侧行所以内必存在一点，使这点的法线方向与Z轴的夹角满足等式：或 =于是R(=R( n个部分相加后得： 现在以表示曲面,）的法线方向与Z轴正向夹角的余弦，则由的连续性，可得当这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角，因而其中的分别是S上的法线方向与x轴正向和Y轴正向的夹角，一般的有： =+Q这样，在确定了余弦函数之后，便建立了两种不同类型曲面积分的联系。4 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的定义介绍：格林公式：若函数P（x,y）,Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有：-）d=这里L为区域D的边界曲线，并取正方向。高斯公式：设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲线面S组成，若函数P,Q,R在V上连续，且有一阶连续偏导数则+）dxdydz=其中S取外侧，则此为高斯公式。斯托克斯公式：设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q，R在S（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则：-）dydz+(-)dzdx+(-)dxdy=巧5 用对称性解题：考虑积分区间及域的对称性可以使计算量大大减小，从而提高运算效率，对于重积分及曲线曲面积分，巧用积分区域的轮换对称性，更使计算大大简化。1利用积分区间的对称性与被积函数的奇偶性计算定积分命题1如果函数f(x)在上连续，则：当f为上的奇函数时dx=0当f(x)为上的偶函数时，dx=2例五：计算积分解：根据定积分性质= 因为为偶函数，为奇函数，所以原式=2=22利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算重积分当f是关于x的奇函数即f=- f时，=0当f是关于x的偶函数即f= f时，=2例六：求，其中D：解：积分区域D关于x轴，y轴都对称，被积函数是x,和y的偶函数，所以=4dy=23利用积分区域的轮换对称性计算重积分所谓积分区域的轮换对称性，是指积分区域的边界区域的边界的方程中任意两个变量互换，积分区域不变，当积分区域具有轮换对称性时可以扩张法或收缩法简化重积分的计算。例七：求其中解：=（此例为扩张法）例八：求其中D为直线x=0,y=0,x+y=1所围成的平面区域。解：知积分区域具有轮换对称性，则于是有=5（此例为收缩法）4利用对称性计算曲线（面）积分如果积分曲线面具有对称性，且被积函数关于某变量具有奇偶性，则可得到以下类似结论。如果空间曲线关于平面x=0对称，是的0部分，则如果如果如果空间曲线关于平面y=0(z=0对称，关于y(或z)具有奇偶性，则有类似结论。如果曲面关于平面x=0对称，时的x部分，则0如果 如果而曲线关于平面z=0对称，2z是关于z的奇函数，所以：有些积分须经过坐标变换后再利用对称性计算。例九：计算曲面积分其中为球面解：为球面，具有很好的对称性，不过此时球心不在原点，不好计算，为此先作坐标平移，将坐标原点移到球心处处令u=x-a,v=y-b,w=z-c,球面变成：，于是积分I=变成I=于是I=由于w是关于w的奇函数，曲面关于w=0对称，所以注意到球面关于u，v,w轮换对称，因此=又恰好为球面的表面积，因此=4所以有：I=5 曲线曲面积分的应用5.1 求转动惯量：例十：设螺旋形弹簧一圈方程为其线密度等于点到原点距离的平方，求此线对z轴的转动惯量。解：依题意线密度函数为，I=5.2求引力例十一：求质量均匀分布的半圆环对位于圆心的单位质点的引力F解：质线L对质量的质点的引力F=其中其中是L上任意点（x，y）处线密度，k为引力常数，对于本题，设半圆环的圆心在圆点，半径为则所求引力为F=5.3求质量和做功例十二：在球面上取以A（1，0，0），B（0，1，0），C(0,0,1)之点为顶点的球面三角形。（1） 求在力场 F=作用下单位质点从沿球面三角形边界ABCD一周所做的功，（2） 若面密度为u=,此球面三角形的质量。解：（1）所求的功就是I=的积分值由对称性I=令x=得I=（3） 所求质量是I=是所给球面三角形，解得I=结束语：本文通过大量的对于参考文献的参考主要描述了第一二类曲线积分曲面积分的基本定义以及其基本利用公式的计算方法，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的灵活应用，以及运用对称法等巧妙计算法，并进一步提到了第一二类曲线曲面积分在实际问题中的广泛应用，从而使实际问题的方便解决。参考文献：【1】华东师范大学数学系，数学分析M,高等教育出版社，2002年【2】潘正义利用对称性计算重积分和曲线曲面积分天津农学院学报1998 年【3】于兴江，孟晗，区间值函数与Fuzzy值函数的曲线积分曲面积分，模糊集理论与应用98年中国模糊数学与模糊系统委员会第九届年会论文选集【C】，1998年【4】彭一鸣，马新科，第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法，高等数学研究，2009年【5】北京：北京大学数学系数学研究所, 1983网络文献【6】陶仁骥. 密码学与数学. 自然杂志, 1984, 7（3）：627629【7】Von Neumann J，Theory of Self-reproducing Automata M，Illinois University Press，1966.【8】C G Langton，Self-reproducing in Cellular AutomataJ，Physica,1984,D 10:135-144.【9】 Wolfram S，A New Kind of Science M，Champaign，IL：Wolfram Media.c2002.【10】 Nagel.M Schreckenberg，A Cellular Automata Model for Freeway TrafficJ，J Phys,1992,(1,2):2 221-2 229.摘要翻译：In the final analysis is the development of mathematics in order to explore the law of nature, so mathematical impossible just some experience accumulation of facts it has its philosophical speculation, in various branches of mathematics in human culture, may be the only rely on logic rule to establish their own branch, this article is about the curve calculation of curved surface integral method for heart research, this paper mainly introduces the first class the second kind of curvilinear integral, the first class and the curved surface integral of the second kind, as well as the two kind of curvilinear integral surface integral of the two kind of contact, and the back of the Green formula, Gus formula, Gauss formula of Stowe in practical problems of application in research, first and second kinds of curve and surface integral method in the integral region must accumulate, first : in the dimensional consistency, metaphor of curvilinear integral must change as the definite integral computation, surface integral must change into two of the order of the definite integral computation, three points must be due to regional integration type three-dimensional region is a three-dimensional, so be sure to have order three order the definite integral, and also as an integral and double integral, or a double integral and indefinite integral, second: no matter How to integration must take the integral region in the calculation of each point to.摘要翻译：In the final analysis is the development of mathematics in order to explore the law of nature, so mathematical impossible just some experience accu