计算不定积分的几种技巧

编号编号 学学士士学学位位论论文文 计算不定积分的几种技巧计算不定积分的几种技巧 学生姓名： 艾孜热提力.吾守尔 学 号： 系 部： 数 学 系 专 业： 信息与计算科学 年 级： 06-7 班 指导教师：姑丽巴哈尔.穆罕默德艾力 完成日期： 2011 年 05 月 4 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 摘要 这篇论文详细介绍 10 种不定积分方法，深刻总结各种积分法细微特征， 从各种积分法所针对的被积函数特点这个角度进行突破，希望将不同积分法所 解决的积分进行对比归类，提出了一些解不定积分的技巧 关键词：关键词：不定积分；积分法则；凑微分法；计算不定积分的技巧；待定系 数法 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 目录 摘要摘要 .1 目录目录 .2 引言引言 .1 1.1. 直接积分法直接积分法 .1 2.2. 凑微分法凑微分法 .1 3.3. 加减法加减法 .3 4.4. 提取公因式法提取公因式法 .4 5.5. 三角代换法三角代换法 .5 6.6. 取倒变换法取倒变换法 .6 7.7. 万能代换法万能代换法 .6 8.8. 观察法观察法 .7 9.9. 待定系数法待定系数法 .8 10.10. 混合法混合法 .11 总结总结 .12 参考文献参考文献 .13 致谢致谢 .14 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言引言 不定积分是导数运算的逆运算导数运算一般是有导数的运算法则和导数 公式或导数定义来进行计算相应的由倒竖运算可以导出不定积分的运算法则 和基本计算公式但是，根据不定积分运算法则和基本积分公式只能计算出很 少一部分比较简单的函数的不定积分，而对于更多函数的不定积分要因函数不 同形式或不同类型选用不同的方法因此，下面介绍对于具体问题计算不定积 分的几种技巧 1.1. 直接积分法直接积分法 对一些简单函数的求积问题，我们利用不定积分的性质和基本积分公式， 跟快就可以得出结果这就是直接积分法 例例 1 求 11 11 xx dx xx 解解 = 11 11 xx dx xx 22 22 11 11 xx dx xx = 2 11 1 11 xdx xx = 2 2 2 1 1 xdx x = 2 22arcsin 1 dx xc x 2.2. 凑微分法凑微分法 被积函数的形式是各种各样的，而能用直接积分法求出结果的积分并不多 见，凑微分法是与复杂函数相对应的即对于复杂函数的积分时，就要被积表 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 达式变形符合基本公式的形式 如果被积表达式具有原函数，可导，则有 xf xF x fxx dxfxdx dx FcFxc 凑微分法的关键是如何把被积函数凑成和两部分 f x Fx x 例例 2 求 2 5x xdx 解解 令，则，于是有5 2 =x 1 2, 2 dxdx xdxd 2 1 5 2 x xdxd 3 2 1 3 c 3 2 2 1 5 2 xc 类似有下面的凑微分公式： ;dxd xc 1 ;dxd kx k 2 1 2 ;xdxd x 2 11 ;dxd xx 1 2;dxdx x sincos;xdxdx cossin;xdxdx 2 1 tan; cos dxdx 2 1 cot; sin dxdx x 1 ln;dxdx x ; xx e dxd e 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 例例 3 求 2 sincosxxdx 解：解： 2 sincosxxdx 2 sinsinxdx （把当做一个变量） 3 1 sin 3 xcsin x 3.3. 加减法加减法 如果被积表达式是复杂分式，那么分子上加减某一适当的数字或式子来分 成若干个简单分式的和这样更便于计算 例例 4 求 2 2 2 1 ; 22 x dx xx 解：解： 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此分子上加减某一 相当的式子来简化，即 2 2 2 22 22 2221 1 2222 xxx x xxxx = 22 22 121 2222 x xxxx 222 22 1221 22 2222 x xx xxxx 先分别计算个个分式的不定积分： 122 2 1 arctan(1) 2211 d x dx xc xxx 2 2222 222 22 221 222222 dxx x dxc xxxxxx 22 22 1 22 11 d x dx xx x 令则1tx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 () () 2 2 2 22 1 dxdt xx t = -+ + = 22 2 2 11 21 tt dt = 22 22 22 111 2 211 tt dtdt tt 2 2 1 2121 tdt tt = 3 2 1 arctan 221 t tc t 3 2 1 1 arctan1 2222 x xc xx 于是得到 2 2222 222 122 22 222222 xdxxdx dxdx xx xxxxxx = 22 111 arctan(1)arctan(1) 222(22)2 x xxc xxxx 4.4. 提取公因式法提取公因式法 如果被积表达式是分子等于 1 的分子，则从被积表达式的分母提取适当的 公因式，通过提取的公因式进行变量代换 例例 1 求 3 dx xx 解解 3 dx xx 326 () dx x xx 令则积分化为 66 xtxt 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 = 3 6 1 t dt t 3 6(1 1) 1 t dt t 2 16 11 t dtdt tt = 2 1 6 (1)6 1 ttdtdt t = 32 11 6()6ln 1 32 ttttc = 32 2366ln 1ttttc = 1111 3862 2366ln 1xxxxc 5.5. 三角代换法三角代换法 如果被积表达式含有则采用适当的三角代换，即三角代 2222 ,xaax 换的是去掉根式，其一般规律如下： 可令 ； 22 axsinxat 可令 ； 22 xatanxat 可令 22 xasec ;xat 例例 6 求 22 (0) dx a xa 解解 令 （同理可考虑的情况） ，sec ;xat0 2 t 0t 于是有 = 22 dx xa sectan tan att dt at sectdt =ln sectanttc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 求出 22 sec,tan xxa tt aa 故得 = 22 dx xa 22 ln xab c aa = 22 ln xxac 6.6. 取倒变换法取倒变换法 计算有些分析的不定积分时，采用来代换自变量，使得变换后的不定 1 x t 积分容易求出 例例 7 求 1 2 x dx x 解解 令 2 11 ,udu xx 则 = 1 2 x dx x e du = u ec = 1 ; x ec 7.7. 万能代换法万能代换法 由于以及三角函数的位角，乘方等全属于tan ,cot ,sec ,csc 的有理式，因此事实上就是纯三角函数在有理运算cos ,sin(cos ,sin )Rd 下所得的函数均属于似类此类积分使由“万能变换”来可计算 令则tan, 2 t 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 2 222 2sincos2tan 2 222 sin 1 cossin1tan 222 t t 222 2 2 222 cossin1tan 1 222 cos 1 cossin1tan 222 t t 2 2 2arctan 1 dt td t 于是=即，转化为有理函数积(cos ,sin )Rd 2 222 122 , 111 tt Rdt ttt 分 例例 8 求 2 2 2arctan 1 dt td t 解：解：令，则tant = 2sin dx x 2 2 12 2 1 2 1 dt t t t = 2 1 dt tt = 2 31 () 42 dx t = 331 arctan() 442 tc = 331 arctan(tan) 4422 x c 8.8. 观察法观察法 对一些特殊的三角函数有理式，可以用“万能变换”更简便的变换， 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 使积分变换成有理函数积分，例举如下： cossin,cosRdt 令 sincos,sinRdt 令 22 cos,sin,tanRdt 令 cos2 ,sin2,tanRdt 令 tan,tanRdt 令 例例 9 求 2222 sincos dx abo axbx 解解 由于 2222 sincos dx axbx 2 222 sec tan x dx axb 222 tan tan dx dx axb 故令就有tan ,tx = 2222 sincos dx axbx 2 22 dt a tb = 2 2 1d at a atb = 1 arctan at c abb 1 arctantan a xc abb 9.9. 待定系数法待定系数法 一般形如的不积分用分部积分法来计 cossin ax ep xbxQ xbx dx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 算可是的次数比较大时，计算此类积分有点麻烦，所以下介绍计 p xQ x和 算此类积分的另一种方法待定系数法 时，原积分变为： 10b 当 （ 为 n 次多项式） ax x e dx x 则结果还是和一个 n 次多项式的乘积加一个常数即 ax x e dx ax e = （其中是 n 次多项式） ax x e dx ax x ec ,xx 求公式的一阶导数，然后约掉等式两边的，以后比较等式两边对应元素的 ax e 系数，就能得出的系数. x 例例 10 求 3x x e dx 解解 由公式得到 =（其中 A,B,C,D 不为零的常数） 3x x e dx 32 1 x eAxBxCxDC 等式两边求导在整理得 332 32 xx x eeAxAB xBC xDC 约掉 332 (3)(2)xAxAB xBC xDC 得 332 (3)(2)xAxAB xBC xDC 比较两边得 11 303 206 06 AA ABB BCC DCD 解得代原式得 332 366; axx x e dxexxxc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 当，如果我们假设把被积表达式中的次数高的是 n,即0b p x 和Q X 则积分存在原函数， max,np xQ X cossin ax ep xbxQ xbx dx 且形式与被积函数相同原函数当中多项式的次数是 n即 = cossin ax ep xbxQ xbx dx cossin ax eR xbxS xbxc 将式子求导以后约掉，比较两边的就可以确 ax esin,cos(0,1,., ) ss xbx xbx sn 认和 R x S x 例例 10 求cos ax ebxdx 解解 由公式 =cos ax ebxdx cossin ax eAbxBbxC 两边求导得 coscossin ax ebxaABbbxaBAbbx 比较两边得 1 0 aABb aBAb 解得 2222 , ab AB abab 所以得 =cos ax ebxdx 22 cossin ax e abxbbxC ab 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 10.10. 混合法混合法 有时计算不定积分需要多种方法混合使用 例例 11 求sinxdx 解解 令则,xt= 2 ,2tx dxtdt =sinxdx sin22coscostdtttt dt =2cos2sinttC = 2cos2sin;xxxC 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 总结总结 本文主要介绍 10 种计算不定积分最基本，最常用的方法符合计算大多 数不定积分可是某种方法不一定是计算此类问题唯一的，最有效的方法，在 实际计算中要注意的，最有效的方法合理选择，正确使用每一种方法，就可 以达到考虑的问题转化为简单问题，即化繁为简，最终归结为公式中的情 形所以对于具体问题采用适当的方法，这样就可以避免“选择不当，积分更 难进行”的问题 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 参考文献参考文献 1数学分析高等教育出版社 2001（2006 重印） ，华东师范大学数学系 （上 册）176-195 页 2数学分析简明教程北京大学数学力学系与函数论教研室译上册 185-195 页 3高等数学高等教育出版社，2001 年，四川大学数学系高等数学教研室编， 210-218 页 4数学分析新讲第一册，北京大学出版社 1990 年217-231 页 5数学分析讲义高等教育出版社，第 3 版，王昆扬译131-137 页 6数学分析北京大学出版社，北极大学出版社，伍胜健编者2009 年，241- 270 页 7数学分析讲义高等教育出版社，2003 年，北京大学