高等数学测试题及解答下部分7-12章

.第七单元 空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知与垂直，且，则_,_。2、一向量与轴和轴成等角，而与轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为_。3、。4、若两平面与互相垂直，则。5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面垂直的平面方程是_。6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点()，则该平面方程为_。7、设平面，若过点，则又若与平面成角，则。8、一平面过点(),它在轴上的截距为，在轴上的截距为，则该平面的方程是_。9、若直线与垂直，则。10、设则。11、过点且与直线垂直的平面方程是_。12、已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方程是_。二、选择题1、下列命题，正确的是（）(A)是单位向量； (B)非单位向量；(C)； (D)。2、若直线和直线相交，则（）(A)1； (B)； (C)； (D)。 3、母线平行于轴且通过曲线的柱面方程是（）(A)； (B)； (C)； (D)。4、旋转曲面的旋转轴是（）(A)轴； (B)轴； (C)轴； (D)直线。5、两平面与重合的充分必要件是（）。(A)； (B)；(C)； (D)。6、设（其中均为非零向量），则（）(A) 0 ； (B)非零常数；(C)； (D)。7、设有直线则与的夹角为（）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。8、设有直线及平面则直线（）(A)平行于 ； (B)在上； (C)垂直于； (D)与斜交。9、设一平面经过原点及，且与平面垂直，则此平面方程为（）（）；（）；（）；（）。10、已知向量的模分别为且，则（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。11、设有非零向量，若，则必有（ ）（）；（）；（）；（）。1、设满足，则（）（A）0 ； （B） ； （C） ； （D）。三、计算解答1、设单位向量、满足试证：2、试求点的关于(1)平面的对称点；(2)关于直线的对称点。3、求半径为3，且与平面相切点的球面方程。4、求过点并与下面两直线和都垂直的直线方程。5、求过点，平行于平面，且与直线相交的直线方程。6、求过直线且垂直于平面的平面方程。7、求平行于平面，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面。8、求通过两平面和的交线，且与平面垂直的平面方程。9、判断下列两直线和是否在同一平面内，若是，则求两直线的交点；若不是，试求它们的最短距离。第七单元 空间解析几何与向量代数测试题详细解答一、填空题1、 , 由向量加法的平行四边形法则及勾股定理易知 2、或由已知而或或或3、 原式=4、 。5、 设所求方程为，则 6、 到原点的向经为，取则所求平面方程为既7、 将代入平面方程， 得解得取则两边平方解得或(舍去)。8、 设所求平面截距式方程为将代入 得 解得 所以所求平面为 ， 即 。9、 取则由得10、 这是向量运算问题，先用叉乘对加法的分配律得原式=，其中。再用点乘对加法的分配律得原式=。由于 只要其中有两个向量相同，又中相邻两向量互换则变号，于是原式=。11、 所求平面的法向量平行于所给直线的方向向量，取，则所求平面方程为，即 12、 所求平面过直线因而过上的点过平行于于是平行于不共线的向量（分别是直线与的方向向量）。于是平面的方程，即为所求。二、选择题1、选（C） 因所以A错；所B错；所以选C；方向与相同,方向与相同所以D错。2选（D）令则代入得解得。3、选（B）由母线平行于轴，消去得4、选（A）由旋转曲面的定义可知，是由或 绩轴旋转而得。5、选（C）6、选（A）由向量加法的三角形法则知，故。7、选（C）这实质是求两个向量的夹角问题。与的方向向量分别为与与的夹角的余弦位 8、选（C）这是讨论直线的方向向量与平面的法向量的相互关系问题。直线的方向向量平面的法向量。、选（）既求过原点，与两个不同的向量（一个是从原点到点的向量，另一是平面的法向量平行的平面，即，既为所求。10、选（C），所以，所以，则。11、选（B）由向量加法的平行四边形法则及两向量垂直及矩形的对角线相等得，。12、选（C）两边同时叉乘向量得，解得，所以。三、计算解答1、证明：等式两边分别点乘得解得。等式两边分别叉乘得解得将已上结果代入并简化得左边右边。2、解：（1）过点且垂直于平面的直线方程为 其参数方程为代入平面方程得交点坐标为设A关于的对称点为 B则即对称点坐标为 （2）解：过点A旦垂直与直线的平面方程为即 将直线的参数方程代入平面方程 ， 解得直线与平面交点坐标为 对称坐标为。3、解：设球心坐标为，则垂直平面 （1）又在球面上， （2）联合（1）（2）解得或。所以球面方程为或。4、解：设所求直线方程为直线与的方向矢量分别为由题意有，故 令，则所求直线为5、解：设所求直线方程为平面的矢量，由直线与平面平行，所以（*）因为两直线相交，故有 （*）解方程（*），（*）得令 ，得故所求直线为 6、解： 直线的方向矢量，已知平面的法矢量为，设所求平面的法矢量，由题意且，故可令于是所求平面方程为 即 。7、解： 设所求平面为由题设有由方程（*）代入（*），得8、解： 设所求平面为 即 由于该平面平面，所以它们的法矢量一定互相垂直，于是取 代入（*）既得所求平面为。9、解 直线与的方向矢量分别为并且它们分别过点直线与共面矢量共面，即混合积，因为，故直线与共面。下面求直线与的交点，为此令 （*）既代入中，得代回（*），可得故为直线与的交点。第八单元 多元函数微分法及其应用一、填空题1、二元函数的定义域是_.2、二元函数的定义域是_.3、二元函数的极限=_.4、二元函数的极限=_.5、已知，则=_。6、已知，则=_。7、已知，则_8、已知，则_9、已知，则= _10、已知，则= _11、已知，则在处当时，= _12、设，则=_13、设，则=_14、设，而，。则=_ ，=_15、设，而，。则=_ ，=_16、设，则=_17、设，则=_18、设，则=_19、设曲线，曲线在处的切线为_，曲线在处的法平面为_。、20、设曲面，则曲线在处的切平面_,曲线在处的法线_21、函数在点处有极_值22、函数在点处有极_值23、在点可微分是在该点连续的_条件, 在点连续是在该点可微分的_条件。（充分、必要、充要）24、在点的偏导数及存在是在该点可微分的_条件。在点可微分是函数在该点的偏导数及存在的_条件。（充分、必要、充要）25、的偏导数及在点存在且连续是在该点可微分的_条件。（充分、必要、充要）26、函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续是这两个二阶混合偏导数在区域内相等的_条件。（充分、必要、充要）二、选择题1、有且仅有一个间断点的函数（ ）（A）； （B）； （C）； （D）.2、下列极限存在的是（ ）（A）；（B）；（C） ；（D）.3、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）（A）必要而非充分条件；（B）充分而非必要条件；（C）充分必要条件 ； （D）既非充分又非必要条件.4、设，则=（ ）（A）2；（B）；（C）0 ；（D）1. 5、已知，则（ ）（A）关于为单调递增；（B）；（C） ；（D）.6、在点处，函数可微的充分条件是（ ）（A）的全部二阶偏导数均连续；（B）连续；（C）的全部一阶偏导数均连续； （D）连续且一阶偏导数均存在.7、肯定不能成为某二元函数全微分的是（ ）（A）；（B）；（C） ；（D）.8、使得的函数是（ ）（A）；（B）；（C） ；（D）.9、设函数，写法错误的是（ ）（A）；（B）；（C） ；（D）.10、设函数，则为（ ）（A）；（B）；（C） ；（D）.11、曲面的一个法向量为（ ）（A）；（B）；（C） ；（D）.12、设函数，则错误的命题是（ ）（A）是驻点；（B）是极值点；（C）是最小值点；（D）是极小值点.13、设函数在的某个邻域内有定义，且，,则有（ ）（A）；（B）曲面在点的一个法向量为；（C）曲线在点的一个切向量为；（D）曲线在点的一个切向量为.三、计算解答1、求极限.2、求极限.3、求一阶偏导.4、求一阶偏导.5、求全部二阶偏导.6、，求.7、计算全微分.8、计算函数在点处的微分.9、求函数当时，.10、，而，求.11、，求.12、，在处的.13、求由方程组确定的隐函数的偏导，求.14、求曲线在点处的切线和法平面.15、求曲线上的点，使该点的切线平行于平面：.第八单元 多元函数微分法及其应用测试题详细解答一、填空题1、二元函数的定义域是分析：要使这个二元函数有意义，只需。2、二元函数的定义域是分析：要使这个二元函数有意义，只需，所以。3、二元函数的极限=_2_分析：4、二元函数的极限= 1 分析：5、已知，则=分析：6、已知，则=7、已知，则=分析：对求导，把看成常数。8、已知，则分析：把x看成常数9、已知，则=分析：10、已知，则=分析：11、已知，则在处当时，=0.6分析：12、设，则=分析： 13、设，则=分析： 14、设，而，。则= ，=分析：15、设，而，。则=，=分析：16、设，则=分析：两边对求导得：整理得：17、设，则=分析：两边对求导得：整理得：18、设，则=分析：两边对求导得： 19、设曲线，曲线在处的切线为，曲线在处的法平面为。分析：当时，而所以当时，切线方程为法平面方程为：20、设曲面，则曲线在处的切平面,曲线在处的法线分析：设，则曲面任意一点的法向量为所以。切平面为法线为：21、函数在点处有极_小_值分析：因为：，而在（0，0）点，。22、函数在点处有极_大_值分析：因为：，而在（0，0）点，。23、在点可微分是在该点连续的_充分_条件, 在点连续是在该点可微分的_必要_条件。24、在点的偏导数及存在是在该点可微分的_必要条件。在点可微分是函数在该点的偏导数及存在的_充分_条件。25、的偏导数及在点存在且连续是在该点可微分的_充分_条件。26、函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续是这两个二阶混合偏导数在区域内相等的_充分_条件。二、选择题1、 选（B）解答：A、，当，为任意值时都为间断点。B、只有时为间断点。 C、为间断点。D、有无穷多个间断点。2、选（D）解答：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。3、选（A）解答：偏导数连续则存在全微分，所以偏导数只是全微分的必要条件。4、选（A）解答：5、选（A）解答：，把看成是的函数，所以关于为增函数。6、选（A）7、选（B）解答：； ； .8、选（A）解答： 9、选（A）解答：是关于这个整体的一元函数，不可用偏导。10、选（C）解答：两边对偏导，11、选（A）解答：设，分别对求导，得：12、选（A）解答：是极值点，是最小值点，是极小值点。但无意义，所以不是驻点。13、选（C）解答：不一定可微。法向量为。三、计算解答1、求极限解：2、求极限解：原题=3、求一阶偏导解：4、求一阶偏导解：5、求全部二阶偏导解：6、，求解：7、计算全微分.解：8、计算函数在点处的微分解：9、求函数当时，解：10、，而，求解：11、，求解：12、，在处的。解：两边对求导：，整理得：两边对求导：，整理得：13、求由方程组确定的隐函数的偏导，求解：分别对求导则分别对求导则14、求曲线在点处的切线和法平面。解：分别对求导切线方程：法平面方程： 15、求曲线上的点，使该点的切线平行于平面：解：设在点处切线平行于平面，则曲线在该点的切向量为：平面的法向量为，则两向量的数量积应为0。即：，.解得：则该点为：第十一单元 无穷级数一、填空题1、级数的前三项是 。2、级数的一般项是 。3、已知级数收敛，则 。4、级数是 的（填收敛或发散）。5、若级数的部分和数列，则 。6、级数收敛是级数收敛的 条件。7、若级数绝对收敛，则级数必定 ；若级数条件收敛，则级数必定 。8、幂级数的收敛域是 。9、若，则= 。10、级数当 时收敛。11、的麦克劳林级数是 。12、周期为的周期函数在上的表达式为，的傅立叶级数的和函数是，则 ； ； 。二、选择题1、等比级数收敛的条件是（ ）(A)；(B) ；(C) ；(D) 。2、是级数发散的（ ）(A)必要条件；(B)充分条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要。3、当级数收敛时，级数与（ ）(A)必同时收敛；(B)必同时发散；(C)可能不同时收敛；(D)不可能同时收敛。4、若级数收敛，则的取值范围是（ ）(A)；(B) ；(C) ；(D) 。5、如果级数收敛，则下列级数中收敛的是（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。6、下列级数发散的是（ ）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。7、是正项级数，下列命题错误的是（ ）(A)如果，则收敛； (B) 如果，则发散；(C) 如果，则收敛； (D) 如果，则发散。8、在的泰勒级数中，项的系数是（ ）(A)；(B) ；(C) ；(D) 。9、幂级数的收敛半径为（ ）(A)；(B)；(C)；(D) 。10、已知，则（ ）(A)；(B)；(C)；(D) 。11、设幂级数在处收敛，则此级数在处（ ）(A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D) 收敛性不能确定。12、求在上的正弦级数，实际上就是求（ ）中在上的傅立叶级数(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。三、计算解答1、判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）。 2、判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：（1）；（2）。3、求下列幂级数的收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）。4、求下列幂级数的和函数：（1）；（2）；（3）。5、将下列函数展开成的幂级数：（1）；（2）。6、将函数展开成的幂级数。7、周期为的周期函数，展开成傅立叶级数。第十一单元 无穷级数测试题详细解答一、填空题1、前三项即是当分别取时对应的项，于是该级数的前三项为：，。2、由于该级数的奇数项为正值，偶数项为负值，所以其一般项为：。3、由级数收敛的必要条件，知，从而。4、由于，所以该级数是 发散 的。另，为正项级数，由比较审敛法也可知该级数发散。5、。6、若级数收敛，由比较审敛法：，可见级数收敛；反之，若级数收敛，则级数不一定收敛，例如当时，收敛，而发散。所以级数收敛是级数收敛的 充分 条件。7、 收敛 ； 发散 。8、因为，所以收敛半径，又当时，级数发散，所以级数的收敛域是。9、因为，由此可知=。10、因为当时，从而发散；当时，而级数是公比为的等比级数，从而收敛。11、因为，所以，从而 。12、因为在处连续，由收敛定理知：=；=；=。二、选择题1、选(B)，等比级数的公比为，当时收敛。2、选(B)，级数收敛的必要条件是，由此可知若，则必发散，但发散却不一定有，例如发散，而，所以是级数发散充分条件。3、选(C)；通过反例进行排除，例如和均发散，但=收敛，说明（A）错；又由于收敛级数的和与差收敛，可知（B）、（D）错。4、选(C)，由级数的敛散性知，当，即时，所给级数收敛。5、选(B)，由收敛级数去掉有限项后不改变收敛性的性质知（B）中级数是去掉前1000项后所得级数，是收敛的，另外，（A）、（C）、（D）中级数的一般项不趋于零，可知这些级数都是发散的。6、选(D)，由比较审敛法的极限形式易判断（A）、（C）中的级数收敛，（D）中的级数发散，由莱布尼兹审敛法可以判断（B）中的交错级数收敛。7、选(C)，由比值审敛法知（A）、（B）正确，对于（D），由，从而，所以发散，对于（C），例如级数满足，但该级数发散。8、选(D)，泰勒级数中项的系数是。9、选(A)，因，而幂级数和的收敛半径都是3，从而幂级数的收敛半径也是3。10、选(C)，因为，即 （1）又因为，即 （2）根据收敛级数的性质，将（2）式乘2后减去（1）式，