圆的面积-奥数

第3、4讲 圆的面积专题简析：在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的,这些知识点都应该常记于心，并牢牢掌握！. 例题1（旋转法）。求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。练习11.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。2.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答例题2（割补法）求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。练习21、 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。答2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。答 . 1 11例题3。如图1910所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。. 练习31、 如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。答2、 如图所示，ABBC8厘米，求阴影部分的面积。答 例题4如图所示，求图中阴影部分的面积。 . 练习51、 如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）答2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？答. 例题6（加减法）如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。【分析】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图所示。 3.14621/4（643.14421/4）16.82（平方厘米）. 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图208所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。 3.14421/4+3.14621/44616.28（平方厘米）. 练习61、如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。答 2、 如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。答例题7。在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。. 练习71、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答2、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答3、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答. 例题8。在正方形ABCD中，AC6厘米。求阴影部分的面积。【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。既是正方形的面积，又是半径的平方为：6（62）218（平方厘米）阴影部分的面积为：18183.1443.87（平方厘米）答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。. 练习81、 如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。答2、 如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。答. 例题9。在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。【分析】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30260平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。 3.14（302）1/43017.1（平方厘米） 答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。. 练习91、 如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。答2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。答 3、如图所求,圆的周长是18.84厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是 厘米. A、割补法：1、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）图1一2图11图132420图1444图1-666图1548图1-8图1-766图1-9162 2 2图1-10小圆半径为2图1-12a b图1-1110图1-14图1-13小圆半径为3每个扇形的半径都为2图1-15每个扇形的半径都为5图1-16B、加减法：2、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）3图2-26001068图2-11410图2-36450453图2-664图2-4106图2-566、44图2-1088图2-954图2-1244图2-14ABCDAC=2图2-13甲乙12图2-15图2-16O1O2ABAB=17 O1 O2=10=450322.4图2-18224图2-17求两阴影的面积之差C、旋转法：3、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）2949正方形图3-2图3-34212121313图3-4利用r2和r3代换60、正方形中，最大圆的面积占正方形面积的（）（ ）%；圆中，最大正方形的面积占圆面积的（）。61、下图中，已知正方形的面积是20平方厘米，求图中阴影部分的面积。62、如图，扇形的面积是157平方厘米，求图中阴影部分的面积。63、如图，等腰直角三角形的面积是10平方厘米，求图中阴影部分的面积。64、图中三角形ABC的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。ABC65、下图中，AOB是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。ABO66、下图中，AOB是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。OBA67、下图中，已知阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。第5讲 工程问题（一）【专题解析】有些工程问题中。工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这是我们可以考虑运用一些特殊的方法，如转化思想、综合思考等方法来解决。【例题精讲】例1：客车从甲地开往乙地需要12小时，货车从乙地开往甲地需要18小时。（1）两车一小时行了全程的.。（2）两车5小时行了全程的.。（3）两车同行了3小时后，还剩下全程的.。（4）客车4小时比货车4小时多行了全程的。例2：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成。乙队每天修10小时，6天修完。如果两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？【思考方法】【做一做】1、修一条路，甲队每天修6小时，4天完成。乙队每天修8小时，5天修完。如果两队合作，要求2天完成，每天需要工作几小时？2、一项工程，甲队3人8天可以完成，乙队4人7天可以完成，现在由甲队2人和乙队7人合作，几天可以完成？例3：一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了14天，这件工作由甲先做了几天？【思考方法】根据甲的工作量乙的工作量=工作总量列方程解答。此题也可以用假设法来解，大家思考思考，看是否能想出办法来。【做一做】1、一件工作，甲独做要12天完成，乙独做要4天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了6天，这件工作由甲先做了几天？2、一件工作，甲独做要30天完成，乙独做要40天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了35天，这件工作由甲、乙各做了几天？例4：甲乙两队合作完成一项工程，24天可以完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的，两队单独完成工程各需多少天？【思考方法】答：甲队单独完成工程需60天，乙队单独完成工程需40天。【练习题】一、填空题1.一段公路，甲队单独修需要15天，已队单独修需要10天。（1）两队每天修公路全长的。（2）两队3天修公路全长的。（3）两队修了4天后还剩全长的。（4）乙队每天比甲队多修。2、一项工程,甲、乙两队合作20天完成,乙丙两队合作60天完成,丙丁两队合作30完成,甲丁合作 天完成? 3、甲乙两队合作一项工程,计划在24天内完成.如果甲队做6天,乙队做4天,只能做完全工程的20%,两队单独做完全工程各需要 天.4、一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了 天.5、加工一批零件,甲独做需3天完成,乙独做需4天完成,两人同时加工,完成任务时,甲比乙多做24个,这批零件共有 个.6、一项建筑工程,由甲建筑队单独承建要一年半,乙建筑队单独承建要一年零三个月,现在两队合作半年,剩下的由乙队继续完成还要 个月.(假设每月实际工作天数一样)二、解答题7.一件工作，甲5小时完成了，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？ 8.抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙每天的工作效率相当于甲、乙二人每天工作效率之和的;如果三人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄需多少天才能完成? 9.加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成，已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个？第6讲 工程问题（二）【专题解析】工程问题是应用题中的一种类型在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）这三个量之间有下述一些关系式：工作效率工作时间工作总量，工作总量工作时间工作效率，工作总量工作效率工作时间【例题精讲】例1：一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？【思考方法】例2：师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的，如果每人单独做这批零件各需几天？例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？【思考方法】 例4 完成一件工作，甲乙二人合作需20小时，乙丙二人合作需28小时，丙丁二人合作需30小时，甲丁二人合作需几小时？【思考方法】【练习题】一、填空题 1. 一件工程，甲独做10天完工，乙独做15天完工，二人合做 天完工。 2.一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天吃完，甲一人24天吃完，乙一人36天吃完，问丙一人 天吃完。3.一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要 天做完。4.一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要18天完成，二人合做 天可以完成这件工程的2/3？ 5.修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？6.一项工程，甲独做要12天，乙独做要16天，丙独做要20天，如果甲先做了3天，丙又做了5天，其余的由乙去做，还要几天？7.一项工作,甲乙两队合作9天完成,乙丙两队合作12天完成,甲丙两队合作需18天完成,现在三队合作需 天完成. 8.某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成.如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需要做 天. 二、解答题 9、一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？10、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 11、一项工程，甲独做要10天，乙独做要15天，丙独做要20天。三人合做期间，甲因病请假，工程6天完工，问甲请了几天病假？第7讲 假设法解题（二）日期 班级 姓名 【算法积累】(1)23456+34562+45623+56234+62345 （2） （3）有一串数1，4，9，16，25，36.它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？【专题学习】一、知识与方法归纳：已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。二、学技巧点击典例：例1水果店里西瓜个数是白兰瓜个数的，如果每天卖白兰瓜40个、西瓜50个，若干天后白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个。水果店里原有西瓜多少个？练习：食堂里有面粉的质量是大米的，每天吃去30吨面粉，45吨大米。若干天后，面粉正好吃完，大米还有150吨，食堂里原有面粉多少吨？变式：师徒两人加工一批零件，师傅的任务比徒弟的多，徒弟每天做7个，师傅每天做12个，师傅正好完成了任务，徒弟还有30个没做。这批零件共有多少个？例2、小红的彩笔枝数是小刚的，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的，两人原来各有彩笔多少枝？练习：甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两各书架原来各有多少本书？ 变式：王芳原有的图书本数是李卫的，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳的图书的本数是李卫的，两人原来各有图书多少本？ 例3、某校六年级男生人数是女生的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的，现在男、女生各有多少人？ 练习：有一堆棋子，黑子是白子的，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的，现在白子、黑子各有多少粒？变式：爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？【家庭作业】一、计算：45678+56784+67845+78456+84567 二、解决问题：1、红星幼儿园里白皮球的个数是红皮球个数的，给每个班发4个白皮球和10个红皮球，结果发现红皮球刚好发完，还多18个白皮球。红星幼儿园有多少个班？2、小红今年的年龄是妈妈的，10年后小红的年龄是妈妈的，小红今年多少岁？3、甲车间的工人是乙车间的，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人只占乙车间的，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？4、甲车间的工人是乙车间的，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲车间的人数是乙车间的，现在甲、乙两个车间各有多少人？第八、九讲 行程问题第一讲 一般行程问题例1：王师傅驾车从甲地开往乙地交货，若他往返都以每小时60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地。可是，当到达乙地时，他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米。如果他想按时返回甲地，应以多快的速度往回行驶？变式训练：甲、乙两地相距100千米，小张先骑摩托车从甲地出发，1小时后小李驾驶汽车从甲地出发，两人同时到达乙地。摩托车开始的速度是每小时50千米，中途减速后为每小时40千米。汽车的速度是每小时80千米，汽车曾在途中停10分钟。那么，小张骑的摩托车减速是在他出发后的多少小时？例2：一位短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？变式练习：一条小河流过A、B、C三镇，A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米。B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米。已知A、C两镇水路相距50千米，水流速度为每小时1.5千米，某人从A镇上船顺流而下到B真，吃午饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用8小时。那么A、B两镇之间相距多少千米？第二讲 相遇问题例3：甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行。已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时，两车出发后多少小时相遇？变式练习：1、 东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发，相背而行，甲每小时行的路程是乙的两倍，3小时后两人相距56千米，两人速度各是多少？2、李明从甲地到乙地，每小时行5千米，王勇从乙地到甲地，每小时行4千米。两人同时出发，在离甲乙两地中点1千米处相遇。求甲乙两地相距多少千米？3、 甲乙两人同时从相距2000米的两地相向而行，甲每分钟行110米，乙每分钟行90米。如果一条狗与甲同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后立即回头向甲跑去，遇到甲再向乙跑去。这样不断来回，直到甲乙相遇为止。狗共行多少米？例4：甲、乙两人在环形跑道上以各自的速度匀速跑步，若两人同时从同地相背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，甲跑一周要6分钟，乙跑一周要多少分钟？变式练习：1、 甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长。2、 绕湖一周是22千米，甲、乙两人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇共用多少分钟？例5：甲、乙两地相距90千米，小汽车的速度是大卡车速度的2倍，两车同时从甲地出发，小汽车到达乙地后立即返回，然后两车在丙地相遇，那么乙、丙两地相距多少千米？变式练习：1、 甲、乙、丙三人行路，甲、乙、丙每分钟分别走60米、50米、40米。甲从A地，乙和丙从B地出发相向而行，甲和乙相遇后过了15分钟又与丙相遇。求A、B两地之间的距离。2、 小张和小王两位运动员进行竞走训练，小张从甲地、小王从乙地同时出发，在两地之间往返行走。在离甲地3.5千米处他们第一次相遇，又在小张离开乙地且距乙地3千米处第二次相遇。这样继续下去，当他们第四次相遇时，距甲地多少千米？3、 A、B是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道以各自的速度匀速跑步。假设当乙跑完100米时，他们第一次相遇；当甲差60米跑完一圈时，他们第二次相遇。那么当他们第12次相遇时，甲跑完了几圈又多少米？【课后练习】1、 （1）甲、乙两辆汽车同时从两个车站相对开出，甲车每小时行51.5千米，乙车的速度是甲车的1.2倍，两车经过4.5小时行驶后相差62.5才能相遇。问甲、乙两地的距离是多少？ （2）小张和小王分别从甲、乙两村同时出发，步行1小时15分钟后，小张走了甲、乙两村距离的一半还多0.75千米，此时与小王相遇，小王每小时行3.5千米，那么小张每小时行多少千米？ （3）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，6小时后相遇，甲车从A地到B地要9小时，问乙车从A地到B地要几小时？2、 某天早晨练习跑步，小林每分钟跑210米，小红每分钟跑190米。他们从起点同时出发，跑道3000米处立即调头往回跑，问起跑多少分钟后两人相遇？相遇时离起跑点多少米？3、 甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行。甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米。两车相遇后都继续往前行驶，甲车到B城，乙车到A城后立即按原速、原路返回并再次相遇。两车从出发到第二次相遇共用了6小时，求A、B两城相距多少千米？4、 小明和爸爸在400米的环形跑道上散步，小明和爸爸分别在相距60米的A、B两点同时往相反方向行走，相遇后小明返回走向A点，而爸爸继续向前走。当小明走到A点时，爸爸也恰好回到B点，那么小明共走了多少米？5、 A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对而出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？6、 客车从甲地开往乙地，货车从乙地开往甲地，同时开出，到达对方出发地后立即返回。第一次相遇距乙地80千米，第二次相遇距甲地50千米。甲、乙两地相距多少千米？7、 甲、乙两车分别同时从A、B两城相向行驶，6小时后可在途中某处相遇，甲车因为故障在途中修理了2.5小时后才继续行驶，因此从出发到相遇经过了7.5小时。那么甲车从A城到B城需要多少小时？8、 在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇。若再过6分钟甲到B，又过10分钟两人再次相遇。问甲环形一周需要多少分钟？9、 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A、B两地的距离。10、 如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好在B点，问乙车每秒行多少厘米？第三讲 追及问题例6：甲骑自行车，乙骑摩托车，两人都要从东城到西城，自行车每小时行18千米，摩托车每小时行34千米，甲先出发1.5小时，乙沿着同一条路线去追赶甲，多少时间能追上？变式练习：1、 甲、乙两地之间的铁路长240千米，快车从甲城，慢车从乙城同时相对开出，3小时相遇。如果两车分别从两城向同一方向开出，慢车在前，快车在后，15小时快车就可以追上慢车，求快车与慢车每小时各行多少千米？2、 张、李、赵三人都从甲地到乙地。上午6时，张、里两人一起从甲起出发，张每小时行5千米，李每小时行4千米。赵上午8时从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时到达乙地。那么赵追上李的时间是几时？3、 甲汽车每小时行驶50千米，乙汽车每小时行40千米。这两辆汽车同时从A城出发，沿同一路线到B城，甲汽车在途中发生故障，停车1小时，结果甲、乙两车同时到达B城。问A、B两城相距多少千米？例7：AB是一条直跑道，甲、乙两人同时从A点出发，在AB上进行往返跑。甲的速度是每秒6.6米，乙的速度是每秒5.8米，经过2分40秒后，甲第一次追上乙，问追上时的位置离A点有多少米？变式练习：1、在300米长的环形跑道上，甲、乙两人同时、同向从起跑线上起跑。甲每秒跑5米，乙每秒跑4.2米。问当甲首次追上乙时，甲、乙个跑了多少圈？再次追上时，在起跑线前多少米？2、 甲、乙二人在一环形跑道上，甲跑步，乙步行。如果他们同时从同一地点出发，背向而行，1分钟后两人相遇；如果他们同时从同一点同向而行，则3分钟后甲从背后追上乙。问以这样的速度，甲沿着环形跑道跑一圈所花的时间是多少？例8：一环形跑道周长为396米，甲与乙同向，丙与他们背向，同时同地出发。每秒钟甲跑6米，乙跑4米，丙跑5米。问出发后三人第一次相遇时，需多少秒？【课后练习】1、 甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车的人。已知甲每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，问乙车行进的速度是多少？2、 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟可追上乙。问甲、乙两人的速度各是多少？3、 A、B两地相距105千米，甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时相向出发，甲的速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后继续沿各自方向前行。在他们相遇3分钟后甲与迎面骑来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的速度，两人同时分别从A、B出发，则甲、乙两人在C点相遇。问丙的速度是多少？4、 一列火车每小时行70千米，一天上午8:00从A站开往B地，行了2小时后遇铁路故障停车半小时，上午10:00一列特快火车也从A站出发，行同一路线，每小时行90千米。为了安全，两列火车行驶的间距不应少于10千米那么先开出的火车最多再行多少千米就应停车以便让特快火车通过？5、 如图，8:10时甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ADBC的边走向D点。甲8:20到D点后，丙、丁两人立即以相同的速度从D点出发，丙由D向A走去，8:24时与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8:30时在F点被乙追上。则三角形BEF的面积是多少平方米？第四讲 流水行船问题例9：甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。变式练习：1、 船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？2、 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返于两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时。现有一帆船，静水中的速度是每小时12千米，则帆船往返两港需要多少小时？例10：甲、乙两船在静水中的速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向航行，甲船在前乙船在后，几小时后乙船追上甲船？变式练习：小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米。假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？例11：一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物距客船5千米。客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇，求水流的速度。变式练习：江上有甲、乙两个码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同事从甲、乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中漂浮在水面，6分钟后货船上的人发现了，便调转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。那么游船在静水中的速度是多少？【课后练习】1、 一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，甲、乙两港相距18千米。那么甲、丙两港相距多少千米？2、 小梅划一条小船向上游划去，将草帽放在了船尾，草帽被凤吹进了河中，当她发现并调过船头时，草帽已与船相距1千米。若船是以每小时5千米的速度行驶，水流速度每小时2千米，那么她追上草帽需要几小时？3、 甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前行。甲到达B，乙到达A后，都按照原路返航，两船第二次相遇时，甲比乙少行1000米。如果从第一次相遇到第二次相遇的时间间隔为1小时20分钟。那么水流速度是多少？4、某河有相距45千米的上、下码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行。一天，甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分几种后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇？5、一船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用8小时。已知顺水每小时比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行60千米，那么甲、乙两港相距多少千米？第10讲 分数应用题转化单位“1”（一）知识点拨 把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。如果甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的等。课前练习1、8月份生产的自行车的数量是9月份的。这里把（ ）看作单位“1”，（ ）相当于（ ）的。2、乙数是甲数的，丙数是乙数的，这里把（ ）和（ ）看作单位“1”，其中总的单位“1”是（ ），另外两个量分别占总的单位“1”的和，丙数是甲数与乙数和的。3、甲、乙是两个非零数，甲数的倍等于乙数的，甲数是乙数的，乙数是甲、乙两数和的。经典例题例1：小明三天看完一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第二天比第一天多看了30页。这本书共有多少页？练习：有一批货物，第一天运了这批货物的，第二天运了第一天的，还剩120吨没运。这批货物有多少吨？例2：某校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的，后来又买进20根长绳，这时长绳占跳绳总数的。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？练习：阅览室看书的同学中，女同学占，从阅览室走出5位女同学后，看书的同学中，女同学占，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？例3：某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的25%，第二车间人数是第三车间的，已知第三车间比第一车间多40人。三个车间一共有多少人？练习：某小学五年级三个班植树，一班植树的棵树占三个班总棵数的，二班占三班植树棵数的，二班比三班少植树40棵。这三个班各植树多少棵？例4：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216。甲、乙、丙各是多少？练习：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是152。甲、乙、丙各是多少？例5：某班共有学生51人，男生人数的等于女生人数的。这个班男、女生各有多少人？练习：图书馆买来科技书和文艺书510本，文艺书的本数的等于科技书的。这两种书各买了多少本？基础过关1、修路队在一条公路上施工，第一天修了这条路的，第二天修了余下的，已知这两天共修了2400米。这条公路全长多少米？2、 有一堆苹果，吃了后又买来324个，这时这堆苹果个数比原来多了。原来这堆苹果有多少个？3、一根钢筋截去18米后，所剩部分比原长的还多2米。这根钢筋原长多少米？4、图书角有故事书、科技书、文艺书这三种书。故事书的本数占总数的，科技书的本数是文艺书的，文艺书比故事书少40本。图书角共有图书多少本？5、学校合唱团比舞蹈队多24人。合唱团人数的等于舞蹈队人数的。合唱团和舞蹈队各有多少人？拓展提高1、加工一批零件，甲先加工了这批零件的，接着乙加工了余下的。已知乙加工个数比甲少200个。这批零件共有多少个？2、数学课外兴趣小组，上学期男生占，这学期增加21名女生后，男生就只占了。这个小组现有女生多少人？3、食堂买萝卜、青菜和土豆三种蔬菜。萝卜的重量占三种蔬菜总重量的，青菜的重量比土豆少，萝卜比土豆少360千克。食堂买来萝卜多少千克？4、 一筐苹果分给甲、乙、丙，甲分得全部的加5个，乙分得全部的加7个，丙分得其余的一半，最后剩下的是全部的，这筐苹果共有多少个？第11讲 分数应用题转化单位“1”（二） 知识点拨把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。如果甲是乙的，则乙是甲的。课前练习1、一根长2米的绳子，用去米，还剩下（ ）米。如果用去2米的，还剩下（ ）米。2、 36的（ ）是27，36是（ ）的。3、 把米长的绳子平均剪成10段，每段是全长的，每段长（ ）米。经典例题例1：牛的头数比羊的头数少20%，羊的头数比牛的头数多百分之几？ 练习：甲仓存粮的吨数比乙仓少40%，乙仓存粮的吨数比甲仓多百分之几？例2：某厂男职工比全厂职工总人数的多60人，女职工人数是男职工人数的，这个工厂有职工多少人？练习：一筐苹果卖掉后，又卖掉6千克，这时卖出的苹果重量正好是剩下的。这筐苹果原来有多少千克？例3：甲数是乙数、丙数、丁数之和的，乙数是甲数、丙数、丁数之和的，丙数是甲数、乙数、丁数之和的，已知丁数是260，求这四个数的和是多少？练习：甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米的一段公路。甲队筑的路是其他三队的，乙队筑的路是其他三队的，丙队筑的路是其他三队的。丁队筑了多少米？例4：有两筐梨。乙筐是甲筐的，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的。甲、乙两筐梨共重多少千克？练习：某小学低年级原有少先队员是非少先队员的，后来又有39名同学加入少先队组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的。低年级有学生多少人？例5：有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两段布都用去同样长的一部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布剩下的长度的。每段布用去多少米？练习：有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根绳上各剪去同样长的一段后，短绳所剩下的长度是长绳剩下的，两根绳各剪去多少米？当堂过关1、男生比女生少2/7，女生比男生多百分之几？2、粮店里有大米、面粉和玉米共900吨，大米重量的等于面粉重量的，玉米重200吨。大米和面粉的重量各是多少千克？3、一堆什锦糖，其中奶糖占45%，再次放入16千克其它糖后，奶糖只占25%。这堆糖中有奶糖多少千克？4、甲、乙、丙三人共同购买一艘游船，甲支付的钱是其余两人的，乙支付的钱是其余两人的，丙支付的钱恰好是5000元。这艘游船多少元？5、某校六年级上学期男生占总人数的54，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的48。现在有男生多少人？拓展提高1、某中学初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的，初三的学生数是初二学生数，这个学校里初三的学生数占初中部学生总数的几分之几？2、甲、乙两车共运一批煤，运完时，甲车运了总数的多12吨，比乙车多运，甲车运了多少吨？3、今年父亲40岁，儿子今年12岁，当儿子的年龄是父亲年龄的时。儿子多少岁？4、学校购买四种图书，科技书是文艺书的，连环画是其余三种书的1/3，史地书是其余三种书的，史地书比文艺书少80本。买回的四种书共多少本？第12讲 比的应用（一） 课前练习1、3：8=（ ）24 = = 24:（ ） 2、甲、乙、丙三个数的平均数是60。甲、乙、丙三个数的比是321。甲、乙、丙三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。3、甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的，乙数占甲、乙两数和的。甲、乙两数的比是3:2，甲数是乙数的（ ）倍，乙数是甲数的。经典例题例1：甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间比甲少，求甲、乙两人的速度比。练习：1、 小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多，小芳用的时间比小明多。求小明和小芳速度的比。2、一个人步行毎小时走5千米，如果骑自行车毎1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？例2：制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同时间内完成，毎人应该分配到多少零件？练习：1、 加工一