隐函数的求导公式.

1,隐函数在实际问题中是常见的.,平面曲线方程,空间曲面方程,空间曲线方程,下面讨论如何由隐函数方程,如,求偏导数.,2,一个方程的情形,方程组的情形,小结思考题作业,implicitfunction,8.5隐函数的求导公式,第8章多元函数微分法及其应用,3,一、一个方程的情形,在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法则给出隐函数,的求导法.,并指出:,曾介绍过隐函数,(1)的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.,1.由二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数,y=f(x),4,隐函数存在定理1,设二元函数F(x,y)在点,P(x0,y0)的某一邻域内满足:,并有,(1)具有连续偏导数;,它满足条件y0=f(x0),则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒,隐函数的求导公式,(2),(3),能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边关于x求导,由链导法则,得,y=f(x),5,或简写:,于是得,所以存在,(x0,y0)的一个邻域,在这个邻域内,6,证,记,(1),的邻域内连续;,所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、,且,的隐函数y=f(x),则,(2),(3),例,证明方程,一个隐函数y=f(x),在(0,0)点附近确定,隐函数存在定理1,7,先变形方程,方程两边对x求导,例,法一,推导法,解,（即一元隐函数求导法）,8,解,令,则,例,法二,公式法,9,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内,恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,并有,若三元函数F(x,y,z)满足:,它满足条件,在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续,2.,由三元方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数,隐函数存在定理2,(1),(2),(3),z=f(x,y),z=f(x,y),偏导数;,10,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边分别关于x和y求导,应用复合函数求导法得,设z=f(x,y)是方程F(x,y,z)=0所确定的,隐函数,则,所以存在,点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域内,因为,连续,于是得,11,例,解,则,令,法一,公式法,x,y,z的三个自变量的函数.,在求Fx,Fy,Fz时,将F(x,y,z)看作是,12,方程确定了一个二元函数z=f(x,y),方程两边对x求导：(y看作常数),方程两边对y求导:(x看作常数),法二,推导法,例,解,13,将隐函数方程两边取全微分,法三,全微分法,例,14,将,再一次对y求偏导数,得,对复合函数求高阶偏导数时,需注意:,导函数仍是复合函数.,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.,15,解,法一,用公式,练习,16,法二,用全微分,得,17,例设有隐函数,其中F的偏导数连续,求,解,令,法一,由公式.,18,将隐函数方程两边取全微分,即,故,从而,此法步骤清楚,法二,利用全微分.,得,19,将方程两边求导(推导法).,对x求偏导:,u,v,即,自己练习,法三,20,二、方程组的情形(隐函数组),下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的,确定两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),求,故由方程组,求导方法.,21,则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点(x0,y0),v0=v(x0,y0)的单值连续函数u=u(x,y),v=v(x,y),且有偏导数公式:,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件u0=u(x0,y0),隐函数存在定理3,若函数F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)满足:,在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个,(1),变量的连续偏导数;,(2),(3),22,(证明从略)仅推导公式.,23,将恒等式,两边关于x求偏导,解这个以,为未知量的线性方程组,由链导法则得:,求,24,解得,当系数行列式不为零时,即,雅可比行列式,Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851,25,同理,两边关于y求偏导,得,求,26,特,如果方程组,它可能确定两个,现假定它确定,且两个函数,则求,的方法同前面求,的方法相同.,为,都可微,别,一元函数,27,例,解,分析,直接代入公式；,法一,令,28,29,30,方程组两边对,x求导,得,运用公式推导的方法.,注意,例,解,克莱姆法则,31,例,设方程组,确定函数,解,运用公式推导的方法.,原方程组两边分别对,x求偏导数:,u与v都视为x,y的二元函数,32,解方程组得,移项得：,33,原方程组两边分别对,解方程组得,自己练,y求偏导数:,34,反函数组存在定理,列式,或,设函数组x=x(u,v),y=y(u,v),在点(u,v)的某邻域内具有连续偏导数,邻域内)能确定连续且具有连续偏导数的反函数组,则函数组,相对应的点(x,y)的邻域内,并有,其Jacobi行,在与点(u,v),(也称为在点(x,y,u,v)的,35,证,令,有,已知,所以由隐函数存在定理3知,方程组,能确定函数,和,所以存在反函数组.,36,两边分别对x和对y求偏导数,得,再在方程,所以有,37,例,解,法一,对x求偏导:,这是含有四个变量两个方程的方程组,它可以,确定两个二元的隐函数.,如果把,作因变量,x,y,作自变量,那么隐函数,也就是函数组的,反函数.,38,对y求偏导,同理,自己练.,39,法二,用全微分形式不变性.,所以,40,所以,41,(以下三种情况),隐函数的求导法则,三、小结,42,思考题,分析,方程组中含有五个变量,由题意看出,u,v是因变量,x,z是自变量,y究竟是因变量,自变量?,在这种所求偏导是一阶,而又有一变量,的属性不太明确的情况下,来处理比较简便.,用全微分形式不变性,还是,43,解答,的两边求全微分,得,44,作业,习题8.5,(340页),2.(3)(4)4.7.(1)10.11.13.17.19.22.24.(4)25.,隐函数求导原则,n个方程,m个变量的方程组,可确定n个（m-n元）函数，,一般的：,由题目情况，,其余m-n个变量作自变量，,选定n个变量作函数变量，,方程组对某一个自变量求导时，,其余自变量,求导后，,从含有偏导数的方程组中,求出所求偏导数。,看作常数，,一个方程推广到多个方程,1个方程2个变量，,确定了1个,1元函数,1个方程3个变量，,确定了1个,2元函数,如果方程组为,则可求,方程组两边关于x求导,方程组的情形(隐函数组),2个方程3个变量，,确定了2个,1元函数,如果方程组为,可则求,方程组两边关于x求偏导,y看成常数,方程组两边关于y求偏导,x看成常数,则可求,2个方程4个变量，,确定了2个,2元函数,49,(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).,设有三元方程,根据隐函数,存在定理,考研数学(一)选择题4分,在此邻域内该方程,存在点(0,1,1)的一个邻域,(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z),和z=z(x,y).,(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z),和z=z(x,y).,(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z),和y=y(x,z).,令,隐函数存在定理2,50,其中F为可微函数,解,考研数学(一),选择,4分,练习,将隐函数方程两边取全微分,得,即,故,利用全微分.,51,解,令,则,练习,整理得,1.,2.,把z看成x,y的函数对x求偏导数,得,把x看成y,z的函数对y求偏导数,得,整理得,52,整理得,3.,把y看成x,z的函数对z求偏导数,得,53,考研数学(四),7分,有连续偏导数,且,解,法一,则,用公式,故,而,所以,练习,多元复合函数的链导法则,54,有连续偏导数,法二,用全微分,两边微分,得,故,故,考研数学(