2014年上海初三二模数学圆压轴题分类

.1.（2014静安，青浦24）已知O的半径为3,P与O相切于点A,经过点A的直线与O、P分别交于点B、C,cosBAO=13,设P的半径为x,线段OC的长为y.(1)求AB的长;(2)如图,当P与O外切时,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)当OCA=OPC时,求P的半径. 解:(1)在O中,作ODAB,垂足为D,在RtOAD中,cosBAO=ADOA=13,AD=13AO=1,BD=AD=1,AB=2AD=2.(2)连接OB、PA、PC,P与O相切于点A,点P、A、O在一直线上.PC=PA,OA=OB,PCA=PAC=OAB=OBA,PCOB.ACAB=PAAO,AC=PAABAC=2x3,OD2=OA2-AD2=32-12=8,CD=AD+AC=23x+1,OC=OD2+CD2=(23x+1)2+8,y=134x2+12x+81,(定义域为x0).(3)当P与O外切时,BOA=OCA,CAO=POC,OACOCP.OAOC=OCOP,OC2=OAOP,19(4x2+12x+81)=3(3+x),x1=0(不符合题意,舍去),x2=154,这时P的半径为154,如图:当P与O内切时,CAOPAC,ACPA=AOAC,23xx=323x 解得:x=274这时P的半径为274,P的半径为154或274.2.（2014年奉贤25）已知:如图1,在梯形ABCD中,A=90,ADBC,AD=2,AB=3,tanC=12,点P是AD延长线上一点,F为DC的中点,联结BP,交线段DF于点G.(1)若以AB为半径的B与以PD为半径的P外切,求PD的长;(2)如图2,过点F作BC的平行线交BP于点E,若设DP=x,EF=y,求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;联结DE和PF,若DE=PF,求PD的长. 解:(1)在直角三角形ABP中,AD=2,AB=3,DP=x,BP=32+(2+x)2,以AB为半径的B与以PD为半径的P外切,BP=AB+PD,32+(2+x)2=3+x,解得:x=2,PD的长为2时,以AB为半径的B与以PD为半径的P外切.(2)联结DE并延长交BC于点M,F为DC的中点,EFBC,DE=EM,CM=2EF,ADBC,DEPMEB,DP=BM,过D作DHBC于点H,tanC=12,DH=3,CH=6,AD=BH=2,BC=8,DP=x,EF=y,BC=BM+CMx+2y=8,y=8-x2(0x8);ADEF,DE=PF,当DP=EF时,四边形DEFP为平行四边形.y=x,x=83,当DPEF时,四边形DEFP为等腰梯形,过E作EQAP于点Q,DQ=x-y2.EQAB,BE=PE,AQ=2+x2,DQ=2+x2-2,x-y2=2+x2-2,解得:x=4,PD的长为83或4.3.（2014年虹口25）如图,扇形OAB的半径为4,圆心角AOB=90,点C是AB上异于点A、B的一动点,过点C作CDOB于点D,作CEOA于点E,联结DE,过O点作OFDE于点F,点M为线段OD上一动点,联结MF,过点F作NFMF,交OA于点N.(1)当tanMOF=13时,求OMNE的值;(2)设OM=x,ON=y,当OMOD=12时,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)在(2)的条件下,联结CF,当ECF与OFN相似时,求OD的长. 解:(1)如图1,AOB=90,CEOA,CDOB,四边形ACDO是矩形,DE=OC=4,OFDE,OF2=DFFE,tanMOF=13,DFOF=13,即DF=13OF,OF2=13OFFE,即OFFE=13,MFO+OFN=NFE+OFN=90,MFO=NFE,MOF+ODE=NEF+ODE=90,MOF=NEF,OMFENF,OMNE=OFEF=13,即OMNE=13,(2)如图2,连接MN,设OM=x,ON=y,OMOD=12,即OD=2OM,OFD是直角三角形,OM=MD=MF=x,MON=MFN=90,MN是ONF的角平分线,MN是OF的中垂线,ON=NF,可得FON=NFO,FON+NEF=NFO+NFE,NEF=NFE,ON=NE=NF=y,DE=OC=4,在RtDOE中,OD2+OE2=DE2(2x)2+(2y)2=42,即y2=4-x2(0x2),(3)如图3,ECFOFN,OFON=ECEF,利用DOE的面积,12OEOD=12DEOFOD=2x,OE=2y,DE=4,122y2x=124OF,解得,OF=xy,OE=2y,EF=OE2-OF2=4y2-(xy)2=y4-x2,由(2)y2=4-x2,EF=y2,CE=OD=2x,xyy=2xy2,解得y=2,代入x2+y2=4,得x=2,OD=2x=22,ECFONF,ECON=EFOF,利用DOE的面积,12OEOD=12DEOF,OD=2x,OE=2y,DE=4,122y2x=124OF,解得,OF=xy,OE=2y,EF=OE2-OF2=4y2-(xy)2=y4-x2,由(2)y2=4-x2,EF=y2,CE=OD=2x,2xy=y2xy,解得,y=2x,代入x2+y2=4,得x=233,OD=2x=433,综上所述OD的长为22或433.4.（2014年黄浦25）如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,A=60.(1)求证:BDBC;(2)延长CB至G,使BG=BC,E是边AB上一点,F是线段CG上一点,且EDF=60,设AE=x,CF=y.当点F在线段BC上时(点F不与点B、C重合),求y关于x的函数解析式,并写出定义域;当以AE为半径的E与以CF为半径的F相切时,求x的值. 解:(1)过点D作DHAB,垂足为H,在RtAHD中,AH=ADcosA=BCcosA=1,AHAD=12,BCCD=12,AHAD=BCCD,即AHBC=ADCD.又C=A=60,AHDCBD,CBD=AHD=90,BDBC;(2)ADBC,ADB=DBC=90,BDH+HDA=90,A+HDA=90,BDH=A=60,EDF=60,BDH=EDF,即EDH+BDE=FDB+BDE,EDH=FDB,又EHD=CBD=90,EHDFBD,DHBD=EHBF,323=x-12-y,y=4-2x(1x2);连接EF,分三种情况:1当点F在线段BC(点F不与点B、C重合)上时,EHDFBD,DHBD=DEDF.即DHDE=BDDF.又BDH=EDF,BDHFDE,DEF=90,在RtEDH中,DE=EH2+DH2=x2-2x+4,EF=DEtan60=3DE=3x2-6x+12,i)当E与F内切时,|x-(4-2x)|=3x2-6x+12,解得,x1=9+576(舍),x2=9-576(舍);ii)当E与F外切时,x+(4-2x)=3x2-6x+12.解得x1=1(舍),x2=-2(舍);2点F与点B重合时,即x=1时,两圆外切;3当点F在线段BG(点F不与点B重合)上时,易得CF=4-2x,且BDHFDE仍然成立,EF=3x2-6x+12,由1计算可知x=9-576时两圆内切.综上所述,当x=1时,两圆外切,当x=9-576时,两圆内切.6.（2014年普陀25）如图,已知在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D为BC边上一动点(不与点B重合),过点D作射线DE交AB于点E,BDE=A,以点D为圆心,DC的长为半径作D.(1)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)当D与边AB相切时,求BD的长;(3)如果E是以E为圆心,AE的长为半径的圆,那么当BD为多少长时,D与E相切？ 解:(1)如图,B=B,BDE=A,BDEBAC,BDBA=BEBC,AB=AC=5,BC=6,BD=x,AE=y,x5=5-y6,即y=5-65x,0x6,且0y5,0x256,综上所述,y关于x的函数关系式及其定义域为:y=5-65x(0x256);(2)如图,假设AB与D相切于点F,连接FD,则DF=DC,BFD=90,过点A作AGBC于点G,则BGA=90,在BFD和BGA中,BFD=BGA=90,B=B,BFDBGA,DFAG=BDBA,又AB=AC=5,BC=6,AGBC,BG=12BC=3,AG=AB2-BG2=52-32=4,6-BD4=BD5,解得BD=103,(3)由(1)知,BDEBAC,BDBA=DEAC,即BDDE=BAAC=1,BD=DE,如图2,当D与E相外切时.AE+CD=DE=BD,由(1)知,BD=x,AE=y,y关于x的函数关系式是y=5-65x,5-65x+6-x=x,解得,x=5516,符合0x256,BD的长度为5516.如图3,当D与E相内切时.CD-AE=DE=BD,由(1)知,BD=x,AE=y,y关于x的函数关系式是y=5-65x,6-x-5+65x=x,解得,x=54,符合0x256,BD的长度为54,综上所述,BD的长度是5516或54.7.（2014年徐汇25）如图,已知MON两边分别为OM、ON, sinO=35且OA=5,点D为线段OA上的动点(不与O 重合),以A为圆心、AD为半径作A,设OD=x.(1)若A交O的边OM于B、C两点,BC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;(2)将A沿直线OM翻折后得到A.若A与直线OA相切,求x的值;若A与以D为圆心、DO为半径的D相切,求x的值. 解:(1)作AHOM于H,如图1,在RtOAH中,OA=5,sinAOH=AHOA=35,AH=3,AHBC,CH=BH=12BC=12y,OD=x,AD=5-x,在RtACH中,AC=5-x,AH=3,CH=12y,(12y)2=(5-x)2-32,y=2x2-10x+16(0x2);(2)作AEOA于E,如图,A沿直线OM翻折后得到A,AH=AH=3,A的半径为5-x,在RtOAH中,OH=OA2-AH2=4,A与直线OA相切,AE=5-x,HAO=EAA,RtOAHRtAAE,OA:AA=OH:AE,即5:6=4:(5-x),x=15;当D与A外切时,作AGOA于G,连结AD,如图3,A与以D为圆心、DO为半径的D相切,AD=x+5-x=5,HAO=GAA,RtOAHRtAAG,AHAG=OHAG=OAAA,即3AG=4AG=56,AG=185,AG=245,DG=AG-AD=185-(5-x)=x-75,在RtAGD中,AG2+GD2=AD2,(245)2+(x-75)2=52,整理得x2-145x=0,解得x1=0(舍去),x2=145,当D与A内切时,同理作图求解得x=8615OA(舍去)x的值为145.8.（2014年杨浦18）如图,扇形OAB的圆心角为2,点P为弧AB上一点,将此扇形翻折,当点O和点P重合时折痕恰巧过点B,且ABPB=65,则正切值为_. 解:BE为折痕,作OCAB于C,交弧AB于D,如图,ABPB=65,设AB=6t,PB=5t,点O和点P重合时折痕恰巧过点B,BP=BO=5t,OCAB,AC=BC=12AB=3t,AD=BD,BOD=12AOB=122=,在RtBOC中,OC=OB2-BC2=4t,tanBOC=BCOC=3t4t=34,即tan=34.故答案为34.9.(2014年杨浦25)已知AM平分BAC,AB=AC=10,cosBAM=45.点O为射线AM上的动点,以O为圆心,BO为半径画圆交直线AB于点E(不与点B重合).(1)如图(1),当点O为BC与AM的交点时,求BE的长;(2)以点A为圆心,AO为半径画圆,如果A与O相切,求AO的长;(3)试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论,并指出相应的AO的取值范围. 解:(1)AM平分BAC,AB=AC,AMBC,cosBAM=45,AB=10,cosB=35,BO=6,AO=8,作OHAE,O为圆心,BH=EH,在RtBOH中,BHBO=cosB,BH=635=185,BE=2BH=365.(2)A与O相切,AO为A半径,A与O只可能相内切,且A在O的内部,OA=OB-OA,OB=2OA,设OA=x,则OB=2x,作BPAM,则AP=8,BP=6,OP=8-x,在RtBPO中,OP2+BP2=OB2,即(8-x)2+62=4x2,3x2+16x-100=0,x=-82913,(负舍),OA=x=-8+2913.(3)过AB中点作AB的垂线交AM于点O1,可得AO1=254,过B作AB的垂线交AM于点O2,可得AO2=252,当0AO254时,点E在BA的延长线上,当254AO252时,点E在线段AB上,当AO252时,点E在AB的延长线上.10.（2014年长宁24）如图,在直角坐标平面内,四边形OABC是等腰梯形,其中OA=AB=BC=4,tanBCO=3.(1)求经过O、B、C三点的二次函数解析式;(2)若点P在第四象限,且POCAOB相似,求满足条件的所有点P的坐标;(3)在(2)的条件下,若P与以OC为直径的D相切,请直接写出P的半径. 解:(1)四边形OABC是等腰梯形,其中OA=AB=BC=4,tanBCO=3,O(0,0),B(6,23),C(8,0),设经过O、B、C三点的二次函数解析式为:y=ax2+bx+c,则c=036a+6b+c=2364a+8b+c=0,解得a=-36,b=433,c=0;过O、B、C三点的二次函数解析式为:y=-36x2+433x;(2)有两种情况,如图1,当PO=PC时,tanBCO=3,AOC=BCO=60,OAB=120,OA=AB=4,AOB=ABO=30,POCAOB,OA=AB,PO=PC,POC=PCO=30,P(4,-433),如图2,当PC=OC时,POCAOB,OA=OB,CO=PC,OPC=COP=30,OC=PC=8,PCD=60,PD=43,CD=4,P(12,-43),(3)P的半径是4+433或47-4;如图,PD=433,P的半径为4+433或4-433.如图,作QMOP,POC=30,QM=12OQ=14OC=2,OM=23,P(12,-43),OP=83,PM=OP-OM=63,PQ=PM2+QM2=47,P的半径为47-4或47+4,综上,P的半径为4+433或4-433或47-4或47+4.11.（2014闸北24）已知:如图,二次函数y=ax2+4的图像与x