2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试 数学（文）

第 1 页 共 9 页 秘密启用前 【考试时间：1 月 19 日】 2020 年重庆一中高年重庆一中高 2020 级高级高三三上上期期期期末考试末考试 数数 学（文科）试学（文科）试 题题 卷卷 2020.1 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷（选择题，共卷（选择题，共60分）分） 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合1,2,3A， |(1)(2)0,BxxxxZ，则AB U（ ） A1 B 2 , 1 C3 , 2 , 1 , 0 D3 , 2 , 1 , 0 , 1 2复数 i i z 1 43 （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限 3.（原创）设 3 2 4 2 343 ,log 432 abc ,则cba,的大小顺序是（ ） Acab Bbac Cacb Dacb 4. （原创） 设a为实数， 直线01: 1 yaxl，021: 2 ayaxl， 则“ 2 1 a”是“ 21 ll ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 9 8 B 10 9 C 11 10 D 12 11 6. 一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积 为（ ） 3 m A6 B5 C26 D25 7. 正三角形ABC中,D是线段BC上的点,3AB,2BD,则 ADAB=（ ） A3 B 6 C 9 D12 第 2 页 共 9 页 8.（原创）已知函数 xAxfsin 22 , 0, 0 A的部分图 象如右图所示， 则函数 xf在 4 , 4 x上的值域为 （ ） A22 ， B2, 2 C12 ， D12 ， 9.（原创）在平面直角坐标系xOy中,双曲线0, 01: 2 2 2 2 ba b y a x E的离心率为2,其 焦点到渐近线的距离为3，过点1 , 2P的直线 m与双曲线E交于,A B两点. 若P是AB 的中点,则直线 m的斜率为（ ） A2 B 4 C 6 D8 10. 元旦晚会一次猜奖游戏中，1 2 3 4、 、四个盒子里摆放了abcd、 、 、四件奖品（每个盒里 仅放一件）. 甲同学说：1号盒里是b，3号盒里是c；乙同学说：2号盒里是b，3号盒里 是d；丙同学说：4号盒里是b，2号盒里是c；丁同学说：4号盒里是a，3号盒里是c. 如果他们每人都猜对了一半，那么4号盒里是（ ） A a Bb C c D d 11.（原创）在锐角三角形ABC中，内角CBA、的对边分别为abc、 、.若2a，且 CCBA2sin2sin 2 cos ，则c的取值范围为（ ） A 2 , 5 52 B 2 , 3 2 C 3 32 , 5 52 D 3 32 , 3 2 12 定 义 在R上 且 周 期 为4的 函 数 fx满 足 ： 当3 , 1x时 ， 30 , 2ln 01, 2 1 xx x xf x ，若在区间0,4上函数 1axxfxg恰有三个不同的零 点，则实数a的取值范围是（ ） A 1ln3 1 0,1 43 U， B 1ln3 1 0,1 33 U， C 1ln3 1 0,2 43 U， D 1ln3 1 0,2 33 U， 第第卷卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。 13. 在等比数列 n a中，已知5 1 a，40 109 aa，则 18 a= 14. （原创）已知 xf是定义在R上的奇函数，若0x时， xxxf ln2，则曲线 第 3 页 共 9 页 yf x在点1, 1处的切线斜率为_ 15. 设不等式组 2 2 2 2 0 xy xy y 所表示的平面区域为M,函数 2 1 xy的图象与 x轴所 围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点不落在N内的概率为_ 16. 已知一个圆锥的底面直径为2，其母线与底面的夹角的余弦值为 1 3 . 圆锥内有一个内 接正方体， 该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上， 则这个正方体的外接球表面积为 _ 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60分。 17. 已知数列 n a中,na,bna,aa nnnn 121 11 . （1）求证：数列 n b是等比数列; （2）求数列 n a的前n项和 n S. 18对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T (单位：吨)的频 率分布直方图，如图一 （1）求a的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T月； （2） 已知该居民月用水量T与月平均气温t(单位：C)的关系可用回归直线0.42Tt模 拟2019 年当地月平均气温t统计图如图二，把 2019 年该居民月用水量高于和低于T月的月 份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月 中该居民恰有1个月用水量超过T月的概率 19. 已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， 60BAD，5SASD,7SB .点E是棱AD的中点， 点F在棱SC上，且 SF SC ， SA平面BEF （1）求实数的值； （2）求四棱锥EBCDF 的体积 第 4 页 共 9 页 20. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过圆 22 :4230Q xyxy的圆心Q ，且右 焦点与抛物线xy34 2 的焦点重合. （1）求椭圆C的方程; （2）过点1 , 0P作直线l交椭圆 C于A,B两点,若 tan AQB SAQB ,求直线l的方程. 21. 已知函数 xfRmxmxxf,ln是 xf的导函数. （1）讨论函数 xf的极值点个数； （2）若0m， 12 0 xx，若存在 0 x，使得 12 0 12 f xf x fx xx ，试比较 12 xx 与 0 2x的大小. （二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22. 选修 44：坐标系与参数方程 （原创）在平面直角坐标系 xOy中,已知曲线 1 C的参数方程为 ty tx 2 2 2 2 2 1 (t为参数), 以 O为极点, x轴的非负半轴为极轴,曲线 2 C的极坐标方程为:42cos3 2 . （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的参数方程; （2）若点M在曲线 2 C上运动，求点M到曲线 1 C距离的最小值及对应的点M的坐标. 23. 选修 45：不等式选讲 （原创）已知函数 0,0f xxaxb ab （1）当1ab时，证明： 2xf； （2）若 fx的值域为2)，且 53 f，解不等式 4xf. 第 5 页 共 9 页 2020 年重庆一中高年重庆一中高 2020 级高级高三三上上期末考试期末考试 数数 学（文科）试学（文科）试 题题 卷卷 2020.1 一、选择题： CDBCB ABDCA CB 二、填空题： 13. 8 14.3 15. 16 1 16. 4 3 三、解答题： 17.（1）证明:因为n,a,bnaa nnnn 12 1 所以,bnannanab nnnnn 2)(2) 1(12) 1( 11 4 分 又因为，ab021 11 则. b b n n 2 1 ，5 分 所以数列 n b是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 6 分 （2）由()知,bna n nn 2所以n,a n n 27 分 所以 23 2 1(22)(23)(2) n n SnL（） 23 22221 23 n n LL（） （）9 分 2 )1 ( 21 )21 (2nn n 11 分 1 (1) 22 2 n nn 12 分 18.（1）由图一可知,05. 0, 14075. 0220375. 0aa 3 分 该居民月平均用水量T月约为 (0.0375 20.05 60.075 100.05 140.0375 18)410T 月 6 分 （2）由回归直线方程0.42Tt知, T月对应的月平均气温刚好为 (102)0.420()tC,7 分 第 6 页 共 9 页 再根据图二可得,该居民 2019 年5月和10月的用水量刚好为T月,且该居民 2019 年有4个月 每月用水量超过T月,有6个月每月用水量低于T月,8 分 因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有2个月(记为 12 ,A A)每月用水量超过T月,有3个月 (记为 123 ,B BB)每月用水量低于T月,从中抽取2个,有 1 21 11 21 32 1222 3 ,A AA B A BA BA B A BA B, 1 21 32 3 ,B BB B B B共10种结果, 10 分 其中恰有一个月用水量超过T月的有 1 11 22 1222 3 ,A B A BA B A BA B共6种结果, 11 分 设“这2个月中恰有1个月用水量超过T月”为事件C,则 63 ( ) 105 P C 12 分 19.（1）连接AC，设ACBEG，则平面SAC 平面EFBFG，1 分 SA/平面EFB， SA/ FG，2 分 GEAQGBC， 1 2 AGAE GCBC ，4 分 11 23 SFAG SFSC FCGC ，5 分 1 3 6 分 （2）5,2SASDSEAD SEQ， 又 2,60 ,3ABADBADBEQ， 222 SEBESB， SEBE， SE平面ABCD，9 分 所以 hSV EBCDEBCDF四边形 3 1 321 2 1 3 2 2 3 1 3 2 3 1 SES EBCD四边形 = 3 32 12 分 20.解：(1)因为抛物线的焦点为0 , 3,所以3c ,1 分 因为(2,1)Q在椭圆C上, 所以 22 41 1 ab ,由 22 3ab,得 2 6a , 2 3b ,所以椭圆 C的方程为 22 1 63 xy 5 分 (2)由tan AQB SAQB 得: 1 sintan 2 QA QBAQBAQB,即 cos2QA QBAQB,可得2QA QB uuu r uuu r ,6 分 第 7 页 共 9 页 当l垂直x轴时, ( 2, 3 1)QA QB uuu r uuu r ( 2,3 1)4 1 32 ,此时满足题意,所 以此时直线l的方程为0 x ;7 分 当l不垂直x轴时,设 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy,直线l的方程为1ykx, 由 22 1 6 3 1 xy ykx 消去y得 22 (12)440kxkx, 所以 12 2 4 1 2 k xx k , 12 2 4 12 x x k ,8 分 代入2QA QB uuu r uuu r 可得: 1122 2,12,12xyxy, 代入 11 1ykx, 22 1ykx,得 2 1212 (2)(2)2xxk x x, 代入化简得: 2 22 4(1)8 20 1212 kk kk ,10 分 解得 1 4 k , 经检验满足题意,则直线l的方程为440 xy11 分 综上所述直线l的方程为0 x 或440 xy12 分 21.解：(1) x mx x m xf 1 ，1 分 当0m时， 0 xf， xf在, 0上单调递增，无极值点；2 分 当0m时， mxxf则令, 0 ， 故 xf在,m上单调递增， 在m, 0上单减， 故 xf 有 1 个极小值点，无极大值点. 4 分 综上：当0m时， xf有 0 个极值点；当0m时， xf有 1 个极值点. 5 分 （2） x m xf1 ， 2 121122 1 0 121212 ln lnln 1 x m f xf xxmxxmxx fx xxxxxx ， 12 12 12 2 11 2 2 xxmm f xx xx ， 故 2 121 0 1212 ln 2 11 2 x m xxxm fxf xxxx 第 8 页 共 9 页 = 2 1 1212 ln 2 x m xm xxxx = 12 2 12112 2 ln xxxm xxxxx ，7 分 令 2 1 1 x tt x ， t t tth 1 12 ln，8 分 则 0 1 1 1 41 2 2 2 tt t tt th，所以 th在, 1上单调递增，则 01 hth， 9 分 12 0 2 xx fxf 12 2 12112 2 ln xxxm xxxxx 0，10 分 12 0 2 xx fxf ，又 xf 在, 0上单调递增，11 分 12 0 2 xx x ，即 120 2xxx12 分 22.解：（1）03: 1 yxC;2 分 2 2 2 2cos :1, 2sin xx Cy y 即为参数5 分 （2）设点Msin,cos2，则 点M到曲线 1 C的距离 2 3sin 3 3 cos 3 6 3 2 3sincos2 d = 2 3sincoscossin3 （其中 3 3 cos, 3 6 sin） = 2 3sin3 ，7 分 当1sin时 ， 2 623 2 33 m