2013年天津高考数学理科试卷(带详解)

.2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第卷一选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.1已知，则 ( )A. B. C. D.【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算.【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】先化简集合，再利用数轴进行集合的交集运算.由已知得,于是2设变量x, y满足约束条件则目标函数的最小值为 ( )A. B. C. 1 D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线，当直线过可行域内的点时，有最小值, .第2题图 jxq563阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 （ ）第3题图 jxq57A. 64B. 73C. 512D. 585【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】，跳出循环，输出.4已知下列三个命题: 若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是: （ ）A. B. C. D. 【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】命题，设球的半径为R，则故体积缩小到原来的，命题正确；(步骤1)对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2）对于命题，圆的圆心到直线的距离，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)5已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为, 则p = （ ）A. 1B. C. 2D. 3【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由已知得，所以，解得，即渐近线方程为.（步骤1）而抛物线的方程为，于是，从而的面积为，可得.（步骤2）6在ABC中, 则 = （ ）A. B. C. D. 【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由余弦定理可得 （步骤1）于是由正弦定理可得，于是. （步骤2）7 函数的零点个数为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】令，可得.设，在同一坐标系下分别画出函数的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数有2个零点.第7题图 jxq588已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】利用绝对值不等式解含参的一元二次不等式.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】，解得，可排除C，（步骤1）又，. （步骤2），.排除B,D.应选A.（步骤3）第卷二填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9已知a, b, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) =bi, 则a + bi = .【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出含复数的等式求值.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由(a + i)(1 + i) =bi可得，因此，解得故10 的二项展开式中的常数项为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，利用二项式展开式的通项求常数项.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】的展开通项为，令，解得，故常数项为.11已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则 .【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.【考查方式】给出极坐标方程及点P的极坐标，利用极坐标与直角坐标的互化及两点间的距离公式求距离.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由可得，即，因此圆心的直角坐标为，又点P的直角坐标为，因此.12在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.【考查方式】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，运用平面向量的运算求值.【难易程度】简单【参考答案】【试题解析】用表示与，然后进行向量的数量积运算. 由已知得=， =，（步骤1）.（步骤2）第12题图 jxq5913如图, ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD/AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .第13题图 jxq60【测量目标】圆的切割线定理，三角形相似.【考查方式】直接利用圆的切割线定理及三角形相似求值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】因为，所以，因为AE与圆相切，所以，所以，所以.（步骤1）又因为，所以四边形是平行四边形，由切割线定理可得，于是，所以（负值舍去），因此，（步骤2）又因为，所以，解得.（步骤3）14设a + b = 2, , 则当a = 时, 取得最小值. 【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】去掉绝对值符号，利用均值不等式求最值进而求a的值.【难易程度】较难【参考答案】【试题解析】由于a + b = 2，所以，（步骤1）由于，所以，因此当时，的最小值是；（步骤2）当时的最小值是，故的最小值为，此时，即.（步骤3）三解答题: 本大题共6小题, 共80分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15 (本小题满分13分)已知函数. () 求f (x)的最小正周期; () 求f (x)在区间上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数的周期性和最值.【考查方式】给出三角函数，利用其周期性和最值求值.【难易程度】容易【试题解析】(I)，故的最小正周期；（步骤1）(II)因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，并且，故在上的最大值为，最小值为.（步骤2）16(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). () 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. () 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. 【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】利用古典概型的概率公式结合计数原理求概率，进而求分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(I)记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件，则，故所求概率为；（步骤1）(II)的所有可能取值为.， ， .故的分布列如下表是：1234（步骤2）其期望.（步骤3）17 (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1CEC1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 第17题图jxq61【测量目标】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用.【考查方式】建立空间直角坐标系，利用空间向量证明及求值.【难易程度】中等【试题解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，由题意得，.(I)易得，故，因此；（步骤1）(II)，设是平面的法向量，则，得，取可得平面的一个法向量.（步骤2）由(I)，又，故平面，知为平面的一个法向量.（步骤3）故，知，所以所求二面角的正弦值为；（步骤4）(III)，设，则.（步骤5）取为平面的一个法向量，设为与平面所成的角，则.于是，解得（负值舍去），（步骤6）所以.（步骤7）第17题图1 jxq6218(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求的值. 【测量目标】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率.【难易程度】中等【试题解析】(I)设，用，知.（步骤1）过点且与轴垂直的直线为，代入椭圆的方程有，解得，于是，解得.（步骤2）又，从而，所以椭圆的方程为.（步骤3） (II)设点，由得直线的方程为，由方程组消去，整理得求解可得，（步骤4）因为，所以. （步骤5）由已知得，解得. （步骤6）19(本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 【测量目标】等比数列的通项及性质，前项和.【考查方式】利用等差、等比数列的性质求通项及前项和，分类讨论并利用单调性判断最值.【难易程度】中等【试题解析】(I) 设的公比为，因为成等差数列.所以，即，故.（步骤1）又不是递减数列，且，故，故等比数列的通项公式为（步骤2） (II)由(I)得，（步骤3）当为奇数时，随的增大而减小，故，故.当为偶数时，随的增大而增大，故，故.综上，的最大项为，最小项为.（步骤4）20(本小题满分14分)已知函数. () 求函数f (x)的单调区间; () 证明: 对任意的t 0, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，直接证明.【考查方式】给出函数方程，利用导数求单调区间，利用零点证明等式，结合导数证明不等式. 【难易程度】较难【试题解析】(I)