线性代数 第一章行列式习题.ppt

1,2020/6/5,要求:1.知道n阶行列式的定义2.了解行列式的性质(包括按行(列)展开定理)3.掌握行列式的计算4.会用克莱姆(Cramer)法则,第一章行列式,2,2020/6/5,例1.按定义计算下列n阶行列式,(12n)=0,对角形,第一节n阶行列式的定义,3,2020/6/5,(nn11)=(n1)+(n2)+2+1=n(n1)/2,次对角形,4,2020/6/5,=,=,下三角形,上三角形,5,2020/6/5,=,(nn11)=(n1)+(n2)+2+1=n(n1)/2,6,2020/6/5,证明:由行列式的计算定义,有,7,2020/6/5,第二节行列式的性质与计算,记号:,8,2020/6/5,例1(p12-li1-4):计算行列式,9,2020/6/5,例2(p14-li5).证明奇数阶反对称行列式等于0.,定义:当行列式中的元素满足,称此行列式为反对称行列式,10,2020/6/5,计算,例3,0,0,11,2020/6/5,12,2020/6/5,对,只要重复以上过程，就可得,13,2020/6/5,对,由于字母的地位对称,故做另外的分解又有,（1）,（2）,联立(1)(2)得,14,2020/6/5,当时,当时,通过计算还是有上面的结论.,15,2020/6/5,证明等式,exe1,16,2020/6/5,证:,17,2020/6/5,=右边,=0,=0,18,2020/6/5,exe2计算行列式,解:,=623,=48,19,2020/6/5,第三节Laplace展开定理,基本思想:化高阶行列式为较低阶的行列式.,定义:,中,划去元素aij所在的第i行和第j行,得到的n1阶行列式称为aij的余子式.,在n阶行列式,20,2020/6/5,例1:,元素4(a12)的余子式为M12,其代数余子式为A12=(1)1+2M12=9,21,2020/6/5,例2.计算行列式,解:,=c3+c4,c4,=2c3+c1,c1,22,2020/6/5,按第3行展开,=30+10=40,r2,=r1+r2,23,2020/6/5,例3.设D是4阶行列式,是D中的代数余子式,试用行列式表示下列代数式,其中,p211i1,24,2020/6/5,例4.计算2n阶行列式递推法,P23li3,25,2020/6/5,例5.证明Vandermonde行列式数学归纳法,其中n1.,P23li4,2.Vandermonde行列式的第一行的元素为1,且每列的元素构成一等比数组.,注:1.Vandermonde行列式的结论今后可以直接应用.,26,2020/6/5,用n阶行列式表示n元线性方程组(方程个数=未知数的个数)的解.,定理1(Cramer法则),如果线性方程组,a11x1+a12x2+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,an1x1+an2x2+annxn=bn,的系数行列式,第四节Cramer法则,27,2020/6/5,例1:,2x1+x25x3+x4=8,x13x26x4=9,2x2x3+2x4=5,x1+4x27x3+6x4=0,求,的解.,解:,系数行列式,=270,由克莱姆法则知方程组有唯一解.,28,2020/6/5,=81,=108,8950,8950,29,2020/6/5,=27,=27,30,2020/6/5,得,故原方程组,x1=3,x2=4,x3=1,x4=1,2x1+x25x3+x4=8,x13x26x4=9,2x2x3+2x4=5,x1+4x27x3+6x4=0,的解为,31,2020/6/5,定理2:若n个未知量n个方程的齐次线性方程组如有非零解,则其系数行列式D必等于零.,a11x1+a12x2+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,an1x1+an2x2+annxn=bn,（*）,当b=0时,称(*)为齐次线性方程组,当时,称(*)为非齐次线性方程组.,32,2020/6