促进数学理解的教学策略.ppt

促进数学理解的教学策略,人民教育出版社章建跃zhangjy,一、先行组织者策略,含义：呈现具体内容前，先呈现相关的、包容范围广但又容易理解和记忆的引导性材料。作用：“导游图”；“已经掌握的知识”与“需要掌握的知识”之间的桥梁。类别：说明性组织者为新知识提供适当的类属者，与新知识构成上位关系。在学习不太熟悉的知识时使用，所用语言是学生熟悉的、能理解的。,例1函数性质的先行组织者,变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小这就是我们要研究的函数性质“单调性”“最大值”“最小值”。,比较性组织者：指出新知识与认知结构中基本类似的概念之间的异同，用来增加那些基本上不同，但又容易使人误认为相似的新旧概念之间的可辨别性。,例2排列组合概念的比较,（1）全班50名同学每两个人握手一次，共握手多少次？（2）全班50名同学互赠照片一张，共需照片多少张？（1）从2，3，5，7，11中任意取两个数相乘，可得多少个不同的积？（2）从2，3，5，7，11中任意取两个数相除，可得多少个商？6个人去甲、乙、丙三个车间劳动，（1）如甲去1人，乙去2人，丙去3人，分配方法有多少种？（2）如一个车间去1人，一个车间去2人，一个车间去3人，分配方法有多少种？,二、问题性策略,问题引导学习。理由：任何数学概念、原理都有其产生的背景，往往建立在解决某些问题的需要的基础上；第二，由难度适当的问题而引起的认知冲突，可以激发学生的求知欲和思维的积极性，提高学生的数学学习兴趣。,例3数学归纳法的问题引导,从头逐项验证获得经验，但“自然数有无限多个，无法穷尽”；“能否找到一种严格的、非经验的推理方法，通过有限步骤证明一个有关任意自然数n的命题？”仔细分析“多米诺骨牌”的结构，问：“前一块倒下一定导致后一块倒下的数学含义是什么？”根据自然数集的结构特征，归结到“递推关系：如果命题对k成立，那么对k+1一定成立”。,例4返程的根与函数的零点,先行组织者能用公式得出精确解的方程很少，实践中一般也只需近似解（达到一定精确度）。我们要借助于方程与函数的联系，找出一种不断逼近的方法，得到方程的近似解。这里我们需要解决两个问题：第一，方程在什么条件下一定有根？定性；第二，如果方程在区间a，b内有根，如何求出它的近似解（满足一定的精确度）？定量,问题1方程3456x23458x10有实数根吗？注意：不需要求出根的具体值。希望能用学习过的有关一元二次方程、二次函数、二次函数图象的关系做出判断。用函数f(x)3456x23458x1的图象解释方程3456x23458x10有实数根后，再给出函数零点的概念，得到“方程f(x)0有实数根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点”。,问题2对于一般的方程f(x)=0（如lnx2x60）及对应的函数y=f(x)（如y=lnx2x6），不能用二次方程的“判别式”。能否从问题1得到启发，自己给出一个判断方程f(x)=0在区间(a，b)内有实数根的方法？函数f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上是否一定存在零点，请举例说明。增加什么条件就“一定存在零点”？,问题3函数f(x)在区间(a，b)上连续不断，单调，且有f(a)f(b)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点x0。给定精确度，怎样缩小区间(a，b)，使其包含零点x0且长度小于？,三、过程性策略,以数学知识的发生发展过程和学生的认知过程为线索安排教学过程，引导学生经历和完成相应的过程而理解和掌握数学知识。,过程的安排,创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等，形成假设；推理论证，检验假设，获得新知，纳入已有认知结构；知识的应用，加深理解，与相关知识建立联系，巩固新知。,四、变式策略,作用：（1）增加知识理解的角度和途径；（2）提高理解的层次性。,变式的来源,（1）概念、原理的多样化表达。例如，两平面平行的判定定理的等价形式：内的两条相交直线与平面平行，那么；平面和平面同时垂直于一条直线，那么；平面与平面同时平行于平面，那么；,（5）证明方法的变式。例如，正弦定理的不同证法：面积法；利用余弦定理；利用三角形的外接圆；等等。实际上，不同变式的实质都在于想方设法用不同方法建立所学知识与相关知识的联系。,五、类比策略,类比在数学猜想、证明中有重要作用，许多定理、公式及其证明方法都是靠类比获得的。类比策略在教学中之所以能起作用，主要是因为某些数学对象的本质存在相同或相似之处。通过类比，可以在探索新知的方式、方法上得到启发，为理解新知打下基础。,六、多元联系表示策略,含义：利用知识表现形式的多样性，对同一知识给出不同表示，使学生接触知识的不同方面特征，沟通联系，促进理解。作用：增加建立知识联系、理解知识本质特征的可能性；拓展学习空间；支持学生的高水平、深层次数学思维；落实自主探究式学习；激发学习兴趣；等。,七、精加工策略,含义：通过补充细节、举例、作推论等，使新旧知识形成联系或联想。作用：促进知识理解，促进合理编码新知识，有效记忆和保持新知。“细节决定成败”。方式：厘清应用条件，分析特例，用自己的语言叙述，用恰当的例子解释，等。,例如，向量三角不等式|a|b|a+b|a|+|b|中，由“三角形两边之差小于第三边”和“三角形两边之和大于第三边”，学生比较容易理解向量a，b不共线时，不等式是“严格的”。对这一不等式的理解的关键在于清楚地认识等号成立的条件，这就是对特殊情形的追究。,八、开放性策略,实质是将问题解决策略（启发法）运用到教学中来不把知识以定论的方式“告诉”学生，而是采取开放式问题呈现出来，引导学生自己先对问题的可能结果进行研究，建立充分的直觉，产生猜想并尝试加以证明，这是理解知识的必要前提。,|a|b|ab|a|+|b|教学设计,先行组织者：研究绝对值不等式的基础是实数绝对值和两个实数差的绝对值的几何意义，即“距离大小”是研究绝对值不等式的出发点，数形结合是基本思想方法。我们要解决的问题是：对于实数a、b，|a+b|、|ab|、|a|+|b|、|a|b|有怎样的大小关系？,问题1你认为从何处入手研究？有许多量的大小比较（共有6组），先分类，并从简单入手：（1）|a+b|与|a|+|b|；（2）|a+b|与|a|b|。对于（1），在数轴上表示|a|、|b|、|a+b|和|a|+|b|，自然出现按a，b的符号分类讨论的需要。再追问：根据什么标准分类才能“不重不漏”？并归结为ab0，ab=0，ab0三种情况。,从数轴上直观得到：（1）ab0时，|a+b|=|a|+|b|；（2）ab0时，|a+b|a|+|b|。从而对于任意两个实数a，b，都有|a+b|a|+|b|。问题2你能用代数推理的方法证明得到的结论吗？目的：证明方法的变式；精加工的过程；在心理上更认可结论；等。问题3对于|ab|与|a|+|b|的大小比较，如何更快捷地得到结果？,问题4类比已有过程和结果，讨论其他问题。问题5你能对得出的结果进行再概括，给出关于|a+b|、|ab|、|a|+|b|、|a|b|大小关系的更简洁表示吗？,九、系统化策略,含义：把整理学习内容、建立新旧知识的联系作为必须的学习过程，及时将学得的新知识纳入到已有认知结构的适当位置，使之形成具有较强结构功能的新认知结构。系统化是复习阶段的主要工作之一。方法：不断分化；综合贯通。,不断分化,解决所学知识在已有认知结构中与上位和下位知识的关系和联系问题。要将新知识恰当地置于它的上位知识之下、下位知识之上，形成一个上下联系恰当而紧密的、层层分化的结构系统。数学知识的逻辑层次关系是实施系统化策略的依据。,综合贯通,主要解决所学知识与已有认知结构中已经掌握的、处于同一层次或系列的知识的关系与联系问题，通过揭示新知识与同一层次相关知识的联系与区别，把新知识纳入到已有认知结构中去。,有些知识原本存在某种层次关系，但因为内容组织或教学需要而被置于不同专题下，这时就要特别注意使用系统化策略，采取适当措施让学生意识到这种关系，使它们的联系更加“四通八达”，使学生头脑中的数学知识结构梳理得更加合理顺畅。,三角函数公式的系统化,先学诱导公式再学和差角公式。由于，是任意角，诱导公式实际上是取，0，/2等特殊角时的“特例”。所以，诱导公式系统可以作为子系统而纳入到和（差）角公式系统中来。,“综合贯通”的另一特殊方面是“数”与“形”的内在统一所决定的“同一事物的两面观”。例如，诱导公式、和（差