线代习题一答案(周勇朱砾版,新版)

线性代数 （周勇）习题详解 习题一 1、 （1）2 2 115 2 12 ; 1 = = =（） （2）() 2 2 2 2 11? 11 1 1(1) x xxxxx xxx x +=+ + + ； (3) 22 a ab a b b a b=； (4) 111 3141 1 5 1 4 8 1 3 9 1 1 8 1 3 54 9 15 895 = + + = (5) 0 a 0 b 0 c 0 d 0 =000+ac0+bd0- 000- ab0- cd0=0 (6) 1 2 3 3 1 2 2 3 1 =111+222+333- 321- 231- 231=18 2、 解： （1）对排列 34215 而言，3 与 2,1 分列构成一个逆序，4 与 2,1 也分别构成一个逆序，2 与 1 也构成一个逆序，所以342155=（）. （2）对排列 4312 而言，4 与 3,1,2 分别构成一个逆序，3 与 1,2 也分别构成一个逆序，所 以43125=（）. （3）对排列 n（n- 1）2 1 而言 n 与 n- 1，n- 2，,2,1 均构成一个逆序，其逆序数为 n-1； n-1 与 n-2，n-3，2,1 也分别构成一个逆序，其逆序数为 n-2；依次类推，2 与 1 也构 成一个逆序，因此有 (1) 12 1122 1 2 n n n nnn =+ =（）（）（） （4）对排列 1 3（2n-1） （2n）4 2 而言，3 与 2 构成一个逆序，其逆序数为 1；5 与 4,2 分别构成一个逆序，其逆序数为 2；2n-1 分别于 2n-2,2n-4，,4,2 分别构成一个 逆序，其逆序数为 n-1；2n-2 分别于 2n-4，4,2 构成一个逆序，其逆序数为 n-2；依次 类推，4 与 2 也构成一个逆序，其逆序数为 1，因此有： 1 3 2124 2 121121 1 nn nnn n n = + = （）（） （）（）（） （） 3、 解： 在四阶行列式中，含因子 11 a 23 a的项只有两类，分别为 11 a 23 a 32 a 44 a和 11 a 23 a 34 a 42 a， 下面分别判断这两项的符号，因行标排列已经是自然排列，故只需计算排列的逆序数，因为 （1324）=1， （,1342）=2，所以含有 11 a 23 a的项分别为- 11 a 23 a 32 a 44 a和 11 a 23 a 34 a 42 a。 4、 解： （1） 4 1 2 4 1 2 0 2 10 5 2 0 0 1 1 7 12 32 - 4 +10 rr rr 0 -7 2 -4 1 2 0 2 0 -15 2 -20 0 1 1 7 按第一列展开- -7 2 -4 -15 2 20 1 1 7 13 23 +7 +15 rr rr - 0 9 45 0 17 85 1 1 7 按第一列展开 945 1785 =0 （2） 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1234 +c +c +cc 3 1 1 1 3 0 1 1 3 1 0 1 3 1 1 0 21 31 - - r r r r 3 1 1 1 0 -1 1 1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 =3 (- 1) (- 1) (- 1)=- 3 (3) - - - abacae bdcdde bfcfef 1 2 3 / / / ra rd rf adf - - - bce bce bce 21 31 +r r +r radf - 002 020 bce e c 按第一列展开-abdf 0 2e 2c 0 =4abcdef （4） 100 - 110 0 - 11 00 - 1 a b c d 12 +r ar 0+10 - 110 0- 11 00- 1 aba b c d 按第一列展开 2 1 ( 1)( 1) ( 1) + ab+1 a 0 -1 c 1 0 -1 d 32 - drr dcd ab+1 a 0 -1 c 1 -1 d 按第3列展开 2 3 ( 1)1 + dcd ab+1 a -1 =abcd+ab+ad +cd+1 （ 5 ） a- b- caa a- b- c a- b- c 2 2 0 - 0 0 0 - 123 + +rr r a+b+c a+b+ca+b+c bb- a- cb ccc- a- b 2 2 2 2 1/( +b+c) ra （ a+b+c ） 111 b b- a- cb ccc- a- b 2 2 2 2 21 31 - 2b r - 2cr rr 111 - a- b- c - a- b- c 0 0 0 0 = 3 a+b+c（） （ 6 ） -2 2 -4 0 4 -1 3 5 3 1 -2 -3 2 0 5 1 21 31 +c - 2c c c -2 0 0 0 4 3 -5 5 3 4 -8 -3 2 2 1 1 按第1行展开-2 3 -5 5 4 -8 -3 2 1 1 12 23 - 2 c - c cc -2 7 -10 5 10 -5 -3 0 0 1 按第3行展开 -2 7 -10 10 -5 =-270 （7） 1 2 2 2 n . 2 2 2 . 2 2 2 3 . 2 . . . . . . 2 2 2 . 12 32 n2 r - r - r - r r r n- 2 -1 0 0 . 0 2 2 2 . 2 0 0 1 . 2 . . . 0 0 0， 按第1行展开 n- 2 2 2 . 2 0 1 . 2 . . . 0 0 . =-2 12(n-2)=-2(n-2)! (8) a 0 . 0 1 0 a . 0 0 . . . 0 0 . a 0 1 0 . 0 a 按第1行展开 a a 0 . 0 0 . . . 0 0 . a 0 0 0 . 0 a + n+1 （-1）1a 0 . 0 1 . 0 0 0 . a 0 = 1(1) 1 ( 1)( 1)1 1 nnn a + + a . 0 . . . 0 . a = n2 +1n- 2 a +a n （-1）= nn- 2 a - a 5、 证明： （1） 22 aabb aa+bb 2 2 1 1 1 21 32 c - c c - c 2222 aab- ab - a ab- ab- 2a 2 2 1 0 0 按第3行展开 222 ab- ab - a b- ab- 2a 2 1 2 /( - a) r /( - a) rb b 2 (b- a) a b+a 1 2 = 3 ( -)a b （2） 2222 2222 2222 2222 aa+1a+2a+3 bb+1b+2b+3 cc+1c+2c+3 dd+1d+2d+3 （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） 41 21 31 c - c c - c c - c 2 2 2 2 aa+1a+4a+9 bb+1b+4b+9 cc+1c+4c+9 dd+1d+4d+9 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 32 42 c - 2c c - 3c 2 2 2 2 aa+1 2 bb+1 2 cc+1 2 dd+1 2 2 6 2 6 2 6 2 6 43 c - 3c 2 2 2 2 aa+1 2 bb+1 2 cc+1 2 dd+1 2 2 0 2 0 2 0 2 0 =0 （3） nn- 1n- 221 1 . . . . . . . . . . + x x x aaaa x a - 00 0 0 -10 0 0 0 0 -1 2- 2n- 1 123- 1n +.+ n n cxcx cxcx c 22 n- 1n- 1 n- 1n nn- 11n- 1n- 221 +1. +. . . . . . . . +. + . + xx xxx xxx aaxa xxaaa x a （- ） - 0 0 0 0（- ） -1 0 0 0（-） 0 0 -1 ， 按第一列展开 n+1nn- 1 1n- 1n - 1+.+xa xax a（ ）（） 1. . . . . . . x x - 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 = n+1nn- 1 1n- 1n - 1+.+xa xax a（ ）（） n- 1 - 1（ ） = nn- 1 1n- 1n +.+xa xax a 6、 （1）因为 1 x， 2 x， 3 x是方程式 3 x +px+q=0的 3 个根，那么它们三个必然满足 123 x- x（）(x-x )(x-x )=0，将其展开得 32 123231213123 - x +x +xx +x x +x x +x xx- x x x =0 x （）（）。 由对应项系数相等可知： 123 ()0 xxx+=， 即 123 0 xxx+=， 因此 123 312 231 xxx xxx xxx 123 + +rr r 123123123 312 231 x +x +xx +x +xx +x +x xxx xxx =0 （2）在此四阶行列式中，能出现 3 x的因子的项只有 12213344 a a a a，由于行标排列已是自然 排列，故只需判断列表排列的逆序数，即 （2134）=1，所以 12213344 a a a a的符号为负，因此 3 x的系数是-1. （3）由定理 4,1 可知， 14243444 a +a +a +a = 14243444 1a +1a +1a +1a= a b c 1 c b a 1 d b c 1 a b d 1 24 c - bc ac 1 c a 1 d 0 c 1 a 0 d 1 0 0 =0 （4）由定理 4,1 可知 n1n2nn a +a+a，= x a a a a a x a a a . . . . a a a x a 1 1 1 1 1 1n n- 1n - a r - ar rr x- a 0 0 0 0 x- a 0 0 . . . . 0 0 . x- a 0 1 1 1 1 1 n按第 列展开 x- a 0 0 0 x- a 0 . . . 0 0 x- a ， = n- 1 x- a（） 7、 （1） n D= 12 12 12 x - m x . x . . . . . x x ,x - m n n n x x -mx 12 c +c +,+cn 12 1 12 1 12 1 . . . n n i n n i n n i xmxx xm xmx xmxxm = = = 21 1n rr rr 2 1 x . x 0 . x . . . . 0 0 . n in i n xm m m = = 1 1 ()() n n i i mxm = (2) n D= 1 2 3 . n- 1 n 1 - 1 0 . 0 0 0 2 - 2 . 0 0 . . . . . 0 0 0 .11 nn 12 c +c +,+cn (1) 2 3 . n- 1 n 2 0 - 1 0 . 0 0 0 2 - 2 . 0 0 . . . . . . 0 0 0, , 11 n n nn + = (1) ( 1)( 2) . (1) 2 n n n = 1( 1)! ( 1) 2 n n + (3) n D= ab ab cd cd ON NO 按第一列展开 21 000 0 ( 1) 0 000 n abd ab ab accdab cd cd dcd + + ON ON NO NO 按第2n-1列展开 () () n nn adDcbD 2 1 +1 2 22 2 1 = () n adbcD2 2 = () n adbcD 2 2 4 =,= ()nadbcD 1 2 = ()nadbc (4) n D= 1+a 1 . 1 1 1+a . . . . . 1 . 1+an 1 2 1 1 = 1 2 1 1 1 1 . 1 1 0 1+a 1 . 1 1 0 1 1+a . 1 1 . . . . . 0 1 1 . 1 1 0 1 1 . 1 1+a n n a + 21 1n rr rr 1 2 1 1 1 1 . 1 0 1 a 0 . 1 0 - 1 0 a . 1 0 . . . . - 1 0 0 . 0 - 1 0 0 . 0 a n n a 1231 12 111 , n n cccc aaa + + 1 1 2 1 1 1+ 1 1 . 1 0 0 a 0 . 1 0 0 0 a . 1 0 . . . . . 0 0 0 . 0 0 0 0 . n i i n a a = . 0 an = 12 1 1 ,(1+) n n i i a aa a = 8、 (1)D= 1 2 1 2 1 1 1 1 2 =-8, 1 0 2 1 1 1 1 3 1 2 D= =4, 2 1 0 1 2 1 1 1 3 2 D= =4, 3 1 2 0 2 1 1 1 1 3 D= =-12 故 4141123 ,. 828282 xyz = =