绝对值函数的导数求法

2007年第7 期中学 数学研究 绝 对 值 函 数 的 导 数 求 法 四川庐县二中 (646106)张玉彬 对于求含绝对值的函数导数， 一般都是用 零点分段法去绝对值化为分段函数求导数， 由 于分段函 数表达和认识都比较困 难， 所以， 用零 点分段法去绝对值化为分段函数求导数就比 较 困难.为了 克服困难， 优化解题过程， 本文例举 用 丫 诬 厄 =x!去 绝 对 值 化 为 无 理函 数 求 导 数的 方法. 例1 判断函 数f (x)= x (x +1 ) 在x 二 0 处是否有导数. 解:f(x)= lx(x +1)=丫 乎(x +1)， f (二)宁 卫 头(二 、1)、 厅 ， “ 一 2丫 ，P 一 一 一 一 叮( x)一 亩( x十 川1， 导 函 数f () 在x 二 0 时无意义， f (x)= lx (x 十1 ) 在x =0 处没有导数. 评注:本题若用零点分段法去绝对值化为 分段函数， 再用导数的定义解答， 比较繁难， 例2已 知f 二 ， 一2二+告+i n一， 若 对 x 粤，4 ， 厂(x)。 恒 成 立， 求。 的 取值 范 L4 ” “ J 、 一产 -一一 一 ” 一 一 ” - - 一 ，护 一 “ 围. ( ， )有三个解， 即过点尸的切线有三条. 此时 点尸在直线1的上方与曲线尸下方， 且在直线 x一 弃右 边， 即 点尸 在 区 域1 1. 3a 拼 r“， 、 户一 、 “ b， 。，、，:， 当x。 一价且h (xo) c x 。 + d 一yo一 乒且c x。+d一 ， 。、(x。)和x。 脚 u3a 一 一 U一一 u 一 一 、 一u 一 u ，b，.， ，b 、 ， 工 二 * ， h( 一 会)和 j a-一一J a X。;(X O )时 ， 两 个 函 数 图 像只有一个交点， 说明方程( 关 )有一 个解， 即 过点尸的切线有一条. 此时点尸在直线x 二 一 矗 右 边 “ 直 线 下 方 以 及 直 线 二 一矗 的 左 边与曲线厂下方， 即点尸在区 域1 1 1 . 综上所述， 定理成立. 当a 0 时， 同理可证定理成立. 由 该定理即可判断过定点的三次函数图 像 的切线 条数.利用同 样的方法， 可判断 过定点的 一 般 幂函 数f ( x)=二 (n任 N)图 像的 切线 条 数. 参考文献 1 朱火芬. 三次函数的 单调性 J . 数学通讯， 2 0 0 5 (5). 2 管宏斌.破解三次函 数切线问 题的两个着眼点 J . 数学通讯， 20 0 5 ( 9 ) . 【 3 罗永高， 程雪飞.破解三次函数切线问 题的两个着 眼点【 J . 中学 教研(学)， 20 0 6 ( 9 ) . 28 中学数学 研究2007 年第7 期 解:_ f ( x)=Z x +工+ l n!x!=Z x十 土 工X 区 间 为0， 琴 ， 。 J ， 十 c o )， 减区间为( 一 0 0 ， 0 ， 粤I n x， ，f (二)一:一 人 奋X 11。，1 Za 一 下咖 -一 不. 乙X = 乙一 一 下 一! 下二 乙x x 一j 1 x ，由 厂 二 ， “得 “ 一 吞+士)0， 解 这 不 等 式 ， a . 当a( 0或0a镇1时， y =f (x)在 1 ， 2 上为增函数， 了 (x)m m 二 f (1)= 1一 a ; 、 1 付x并万， 或x镇一 1， 函数f (x)的增区间为 告 ，+c o)，(一， 一 ，减 区lN为 一 ，0， ， 0， 告 ， 又 告 。 告 ，4 ，了(二)一2丈+去+h i，工 ，在 当1 2 时， f (1)二a 一 1， 了 (2) = 4(a 一 1)， 由f (1) f (2)得2 a /7 飞了， 这时了 (x )m i n 、 7 “ ， a夕 万 盯 。 j f ( x )、 。 二 二 一 告 有 定 义 ， f 二 ， 、 一f(告) = 3 一In 2 ， =f (2)= 4(a 一1)， 从而 f (1)=a 一 1. . . c 3 一In 2 . 例3已 知ae R， 函 数f ( x)=xZ x一 刻. 求函数y = f (x)在区间 1， 2 上的最小值 (2005年全国高考江苏卷理22(1 1 ). 分析:本题参考解答是用零点分段法去绝 对 值化为分段函数求导数， 比较繁难， 现用 了 乎= !川去 绝 对 值 化为 无 理函 数求 导法 解 答. 解:f ( x)=xZl x 一 a l =丫 x4(x一 。 )2. 综 上所述， 函数y = f (x)在区间【 1， 2 上 的最小值为: 当a簇1 时， f (x)、 n二 f (1)= 1一 a ; 当1。 当a二 0时 ， xs0， x0， 这时函 数y= f ( x)的增区间为 0， + c o )， 减区间为( 一c o ， 01; “ 。 的 解 “ 以“ 时 ，X ， (二 一 )(二 一 号 。 )0的 解 为 。 0得 ，.X一 a、 八 乙 X 十 了一一一下 Z U I X一 a! x a ， 、1 X Z一 份 二 . 乙 x 。 ， 这 时 函 数 、厂(x)的 2 尸 叼 “ 一 闷 林 J 、 / ” “ +c o )， 减区 间为 (一 c o ， a， a)=aZ+1; 29 2007年第7期中学数学研究 三角函数y = A S l n (。x +司的图像变换 广东 省惠东县职业中学(516 3 0 0 )熊 道军 三 角函 数y=As i n(二十 沪 )的图 像与y= s i nx 的图 像关系密切， 前者的图 像可由后者的 图 像经过适当的伸缩变换和平移变换得到.根 据这一原理来考察两个三角函数的图 像之间的 变换情况. 一、 平移变换 设函 数夕 1=Asin(、+甲 1)， 夕 2=Asin(、 +沪 2)， (。 0) 由于两函数的周期相同， 所以只需作平移 变 换.那么， 函 数yl 的图 像经过怎 样的 平移变 换可得到函 数y: 的图 像呢 ? 令。 (x+m)+甲 1二 二+ 兜， 比 较两 边系 数y: 的图 像只需作平移变 换.且。 =2， 甲 1= 粤+工 一 晋 ， 仰 一 晋 ， 由m育 史 气 五， 得m一 气三 7 汀 24 .将 函 数 ，;一s i n( 2二 一 晋)的 图 像 向 左 平 移 婴个 单 位 就 得 到 函 数，2一s in( 2二 十 粤)的 图 少24 ， 冲心 “ “ “ 卜 7 乙 “ “ 、 3 / ” 叼 曰 像. 例2设 函 数f ()的 图 像 向 右 平 移 晋 个 单位， 得到函 数y f (x)的解析式. 一 告S i n(告 二 一 晋 ， 的 图 像 ， 求 数可得 _ 丑二 五 : 11乙一 O ) :.当m0 时， 将函 数yl 的图 像向 左平移 粤 严1个 单 位 得 到 函 数 ，2的 图 像