线性代数04-矩阵及其运算ppt课件

第二章矩阵及其运算,.,1矩阵,一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换,.,例某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.,B,A,C,D,城市间的航班图情况常用表格来表示:,一、矩阵概念的引入,.,为了便于计算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：,ABCD,ABCD,这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.,.,其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量,例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：,这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：,其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量,一二三,1234,.,由mn个数排成的m行n列的数表,称为m行n列矩阵，简称mn矩阵(matrix)这个数表是一个整体，用括号将数表括起来，,记作,二、矩阵的定义,.,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵，,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元.其中数称为矩阵的第行第列的元素.,.,行数不一定等于列数共有mn个元素本质上就是一个数表,行数等于列数共有n2个元素本质上就是一个数,矩阵,行列式,.,2矩阵的运算,.,例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：,试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量,其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量,.,解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,.,一、矩阵的加法,定义：设有两个mn矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作AB，规定为,说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,.,知识点比较,.,矩阵加法的运算规则,设A、B、C是同型矩阵,设矩阵A=(aij)，记，称为矩阵A的负矩阵显然,.,15,例如,.,.,设工厂向某家商店发送四种货物各l件，试求：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量,例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：,其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量,.,解：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量,其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量,.,二、数与矩阵的乘法(矩阵的数乘),定义：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为,一个数乘以矩阵就是用该数乘以矩阵的所有的元素,.,20,例如,.,数乘矩阵的运算规则,设A、B是同型矩阵，l,m是数,矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.,.,例,设,求,解,.,知识点比较,.,例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：,.,这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：,试求：工厂向三家商店所发货物的总售价及总重量分别是多少？,.,26,.,三、矩阵的乘法,定义：设，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵，其中,并把此乘积记作C=AB,说明：的元就是的第行元素与的第列元素对应乘积之和.,.,例：设,则,.,29,特别注意:乘积不可交换,可乘的前提是的列数等于的行数，否则不可乘.,没有意义.,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,.,乘积一般不可以交换，,例如,.,例,得出或的结论.,矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵相乘时必须注意顺序,.,矩阵乘法的运算规律,(1)乘法结合律,(3)乘法对加法的分配律,(2)数乘和乘法的结合律（其中l是数）,(4),左分配律,右分配律,.,定义若A是n阶方阵，定义,性质,四、矩阵的幂,特别注意,若A与B可交换(即AB=BA),则以上不等式将变成等式.,.,五、矩阵的转置,定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵(Transpose)，记作AT.,例,.,转置矩阵的运算性质,.,例：已知,解法1,.,解法2,.,3几种特殊的矩阵,.,同型矩阵与矩阵相等的概念,两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B.,.,注意：不同型的零矩阵是不相等的.,例如,.,行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵可记作O.,例如：,一、特殊的矩阵,.,形如的方阵称为对角阵特别的，方阵称为单位阵,记作,记作,对于单位矩阵，有,.,43,5.数量矩阵(纯量矩阵)：不在对角线上的元素都是0，对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用表示，即,.,6.如果n阶矩阵中的元素满足条件，,则称A为n阶上三角形矩阵，即,如果n阶矩阵中的元素满足条件，,则称B为n阶上三角形矩阵，即,.,7.设A为n阶方阵，如果满足，即那么A称为对称矩阵.,如果满足A=AT，那么A称为反对称矩阵.,对称矩阵,反对称矩阵,.,两个对称矩阵的乘积也是对称矩阵吗？,两个对称矩阵的乘积不一定还是对称矩阵,结论：A和B是两个对称矩阵，AB是对称的当且仅当A与B可交换(即AB=BA)。,.,例：设列矩阵X=(x1,x2,xn)T满足XTX=1，E为n阶单位阵，H=E2XXT，试证明H是对称阵，且HHT=E.,证明：,从而H是对称阵,.,二、方阵的行列式,定义：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式(determinant)，记作|A|或detA.,设,则,.,运算性质,转置后，行列式不变。行列式的基本性质,(2)设A是n阶矩阵，则,.,(2)设A是n阶矩阵，则,注意：,.,