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文档简介

1 反常积分概念1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）； （2） （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）解（1）因为 故收敛，其值为。（2）=故收敛，其值为0。（3）故收敛，其值为2。（4）因此收敛，其值为。（5）所以收敛，其值为（6）因为从而故 可见收敛，其值为（7）因为所以于是因最后的极限不存在，故发散（8）因为最后的极限不存在，故不收敛2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6） （7）； （8）；解（1）当时，有=。因最后的极限不存在，故当时，发散。当时，有 故仅当时，收敛，其值为（2）因为。因最后的极限不存在，故发散。（3）因为故收敛，其值为4。（4）因为故收敛，其值为1（5）因为因此收敛，其值为1。（6）因为，故收敛，其值为。（7）因为因此收敛，其值为。（8）当时，极限不存在。当时，极限不存在。当时，极限不存在。综上可知：不收敛。3、举例说明：瑕积分收敛时，不一定收敛。解 在习题2中，令，则收敛，但发散。4、举例说明：收敛且在上连续时，不一定有。解 令则但极限不存在。5、证明：若收敛，且存在极限则A=0证 由于存在，设不妨设。对，使得当时，从而有,与收敛矛盾。故。6、证明：若在上可导，且与都收敛，则。证 由收敛，由柯西准则
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