概率复习要点

北京梦飞翔教育个性化辅导教案 学生： 教师： 时间： 年 月 日_段 课时： 教学内容概率(理) 教学重点离散型随机变量的分布、超几何分布、条件概念与独立事件、二项分布教学难点超几何分布、条件概念与独立事件、二项分布教学计划本次课内容对应教学计划中第 次课教学目标1了解超离散型随机变量的分布2掌握 几何分布、条件概念与独立事件、二项分布3掌握离散型随机变量的均值与方差4一、教学过程：1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 、等表示。2、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列 4、分布列性质 pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 15、二点分布：如果随机变量X的分布列为：6、超几何分布： 7、 条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率8、 公式： 9、 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。10、 n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 （其中 k=0,1, ,n，q=1-p ）于是可得随机变量的概率分布如下：这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p) ，其中n，p为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为则称 Ex1p1x2p2xnpn 为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量。13、方差:D()=(x1-E)2P1+（x2-E)2P2 +.+（xn-E)2Pn 叫随机变量的均方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：15、正态分布：16、基本性质：17、 3原则：。二、课堂小结：三、课后反思：四、学生对于本次课的评价： 差 一般 满意 特别满意 学生签字：五、教师评定：1、 学生上次作业评价： 好 较好 一般 差 差或一般的原因 2、 学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差 差或一般的原因 教师签字： 学管师签字： _ 概率(理) 3、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 、等表示。4、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,. ,xi ,.,xn X取每一个值 xi(i=1,2,.）的概率P(=xi）Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质 pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 15、二点分布：如果随机变量X的分布列为：其中0p1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(nN)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为，其中,且11、 条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率12、 公式： 13、 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。14、 n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 （其中 k=0,1, ,n，q=1-p ）于是可得随机变量的概率分布如下：这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p) ，其中n，p为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为则称 Ex1p1x2p2xnpn 为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量。13、方差:D()=(x1-E)2P1+（x2-E)2P2 +.+（xn-E)2Pn 叫随机变量的均方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：期望方差两点分布E=pD=pq，q=1-p二项分布， B（n,p）E=np D=qE=npq，（q=1-p）15、正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图像，其中解析式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差则其分布叫正态分布，f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质：曲线在x轴的上方，与x轴不相交曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.当时，曲线上升；当时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 当一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中当相同时,正态分布曲线的位置由期望值来决定.正态曲线下的总面积等于1.17、 3原则：从上表看到,正态总体在 以外取值的概率 只有4.6%,在 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.一、填空题 1设随机变量X的概率分布为：X12nPa2ana则常数a等于_2小王的数学学业水平考试通过的概率是，在毕业之前他还有3次机会，那么他在毕业前能够获得通过的概率是_3将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A两个点数都不相同，B至少出现一个3点，则P(B|A)_.4由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下：X123456P0.200.100.50.100.10.20请你找出丢失的数据后，求得期望为_510个球中，有4个红球和6个白球，每次从中取一个球，然后放回，连续取4次，恰有1个红球的概率为_6在某项测量中，测量结果XN(1，2)，若X在区间(0,1)内取值的概率为0.4，则X在区间(0,2)内取值的概率是_7随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P(X)的值为_8从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，求2张都是假钞的概率为_9某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获得收益的期望是_元10某人射击中，中靶的概率为，如果射击直到中靶为止，则射击3次的概率为_11某地区高二女生的体重X(单位：kg)服从正态分布N(50,25)，若该地区共有高二女生2000人，则体重在5065 kg之间的女生人数为_12(2011年高考湖北卷改编)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为_13一种信号灯，只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”两者之一，其中出现“”的概率为，出现“”的概率为，若第m次出现“”，记为am1，若第m次出现“”，则记为am1，令Sna1a2an，记“S10，S20，S30且S73”为事件A，则P(A)_.14设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取2，0，2，用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)_.二、解答题 15在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为，求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过体能测试的概率16假设某省今年高考考生成绩X服从正态分布N(500,1002)现有考生25000名，计划招生10000名，试估计录取分数线17某家电商场准备在“五一”期间进行促销活动，根据市场调查，该商场决定：从4种冰箱、3种空调、2种彩电共9种商品中选出3种进行促销活动(1)试求选出的3种商品中有空调的概率；(2)商场对选出的促销商品进行有奖销售，其方案是：在每件商品现价的基础上提高180元，顾客每购一件促销商品均有3次抽奖机会，每次中奖均可获得奖金a元假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率相等，试问商场将资金数额a最高定为多少元时，才能使促销方案对商场有利？18最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票据分析预测：投资股市一年可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)且获利的概率为.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，.第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由19现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是.(1)求乙盒中红球的个数；(2)若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；(3)从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换(都从初始状态交换)时，大约有多少次是成功的20 (2011年高考广东卷)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望)巩固练习：1 抛掷颗骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果为_。2 设某项试验的成功概率是失败概率的倍，用随机变量描述次试验的成功次数，则_。3若的分布列为： x01Ppq其中，则_，_，4人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： （1）第次拨号才接通电话；（2）拨号不超过次而接通电话. 5出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数的期望和方差。 6奖器有个小球，其中个小球上标有数字，个小球上标有数字，现摇出个小球，规定所得奖金（元）为这个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望 7某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，问一次考试中 （）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ （）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 8有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字) 概率（理教师版）1.随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 、等表示。2.离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,. ,xi ,.,xn X取每一个值 xi(i=1,2,.）的概率P(=xi）Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质 pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 15、二点分布：如果随机变量X的分布列为：其中0p1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布6超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(nN)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为，其中,且7.条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率8.公式： 9.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。10.n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 （其中 k=0,1, ,n，q=1-p ）于是可得随机变量的概率分布如下：这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p) ，其中n，p为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为则称 Ex1p1x2p2xnpn 为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量。13、方差:D()=(x1-E)2P1+（x2-E)2P2 +.+（xn-E)2Pn 叫随机变量的均方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：期望方差两点分布E=pD=pq，q=1-p二项分布， B（n,p）E=np D=qE=npq，（q=1-p）15、正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图像，其中解析式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差则其分布叫正态分布，f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质：曲线在x轴的上方，与x轴不相交曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.当时，曲线上升；当时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 当一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中当相同时,正态分布曲线的位置由期望值来决定.正态曲线下的总面积等于1.17、 3原则：从上表看到,正态总体在 以外取值的概率 只有4.6%,在 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.一、填空题 1设随机变量X的概率分布为：X12nPa2ana则常数a等于_解析：由随机变量分布列的性质i1，可知a(12n)1，即1，故a.答案：2小王的数学学业水平考试通过的概率是，在毕业之前他还有3次机会，那么他在毕业前能够获得通过的概率是_解析：可能一次通过，也可能两次通过，也可能三次通过，所以所求概率为.答案：3将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A两个点数都不相同，B至少出现一个3点，则P(B|A)_.解析：若两个点都不相同，则有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,6)，(6,1)，(6,5)，共计6530种结果“至少出现一个3点”，含有10种，P(B|A).答案：4由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下：X123456P0.200.100.50.100.10.20请你找出丢失的数据后，求得期望为_解析：由0.200.100.50.100.10.201知，两个方框内数字分别为2,5，故E(X)3.5.答案：3.5510个球中，有4个红球和6个白球，每次从中取一个球，然后放回，连续取4次，恰有1个红球的概率为_解析：这是4次独立重复试验，每次取一个红球的概率为，每次取一个白球的概率为，连续取4次，恰有1个红球的概率为C()3.答案：6在某项测量中，测量结果XN(1，2)，若X在区间(0,1)内取值的概率为0.4，则X在区间(0,2)内取值的概率是_解析：XN(1，2)，P(0X1)P(1X2)P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案：0.87随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P(X)的值为_解析：由题意，a1，所以a，P(X)P(X1)P(X2).答案：8从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，求2张都是假钞的概率为_解析：若A表示：“抽到的两张都为假钞”；B表示“抽到的两张中至少有一张为假钞”，则所求概率为P(A|B)又P(AB)P(A)，P(B)，P(A|B).答案：9某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获得收益的期望是_元解析：由表知投资成功与失败的概率分别为，则收益期望为12%50000(50%)500004760(元)答案：476010某人射击中，中靶的概率为，如果射击直到中靶为止，则射击3次的概率为_解析：射击3次说明第3次射中，前2次未中，P.答案：11某地区高二女生的体重X(单位：kg)服从正态分布N(50,25)，若该地区共有高二女生2000人，则体重在5065 kg之间的女生人数为_解析：已知50，5，体重在5065 kg之间概率为P(50X65)P(35X65)P(3X3)0.4985.体重在5065 kg之间的女生人数为20000.4985997.答案：99712(2011年高考湖北卷改编)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为_解析：法一：由题意知K、A1、A2正常工作的概率依次为P0.9，P0.8，P0.8，K、A1、A2相互独立，A1、A2至少有一个正常工作的概率为PPP0.80.80.80.80.96，系统正常工作的概率为PPPP0.90.960.864.法二：A1、A2至少有一个正常工作的概率为1P10.96，系统正常工作的概率为P0.90.960.864.答案：0.86413一种信号灯，只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”两者之一，其中出现“”的概率为，出现“”的概率为，若第m次出现“”，记为am1，若第m次出现“”，则记为am1，令Sna1a2an，记“S10，S20，S30且S73”为事件A，则P(A)_.解析：由题意知，事件A可分成以下两种情况：(提示：7次应有5正2负)(1)a11，a21，第3次至第7次，这五次中恰有3次出现“”P12C32.(2)a11，a21，a31，第4次至第7次这4次中恰有3次出现“”P2C3，所以P(A)P1P2.答案：14设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取2，0，2，用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)_.解析：根据l的斜率值，可知在过(0,1)的直线中，除了一条与x轴平行，其余三对直线分别关于y轴对称，因此坐标原点到两条对称直线的距离相等设l的斜率为k，则l的点斜式方程为y1k(x0)，即kxy10.X .把斜率值2，0，2分别代入得对应X的值为，1，.所以，随机变量X的概率分布表为：X1PE(X)1.答案：二、解答题 15 在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为，求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过体能测试的概率解：设A表示事件“甲通过体能测试”，B表示事件“乙通过体能测试”，C表示事件“丙通过体能测试”由题意有：P(A)，P(B)，P(C).(1)设M1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1ABC.由事件A，B，C相互独立，可得：P(M1)P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)设M2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2ABACBC，由于事件A，B，C，均相互独立，并且事件AB，AC，BC两两互斥，因此所求概率为P(M2)P(A)P(B)P()P(A)P()P(C)P()P(B)P(C)(1)(1)(1).(3)设M3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则M3A B C，由于事件A，B，C，均相互独立，并且事件A ，B ， C两两互斥，因此所求概率为P(M3)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)(1)(1)(1)(1)(1)(1).16 假设某省今年高考考生成绩X服从正态分布N(500,1002)现有考生25000名，计划招生10000名，试估计录取分数线解：设分数线为k，那么分数超过k的概率应为录取率，即P(Xk)0.4.因为XN(500,1002)，所以P(Xk)1P(XZ.D(X)(41)2(21)29.D(Y)(21)2(01)2(11)2.由上知D(X)D(Y)说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥建议李师傅家选择方案二投资较为合理19 现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是.(1)求乙盒中红球的个数；(2)若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；(3)从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换(都从初始状态交换)时，大约有多少次是成功的解：(1)设乙盒中有n个红球，由已知可得，解得n5，即乙盒中含有5个红球(2)若甲盒中白球增加了，则有以下两种情况：从甲盒中取出了两个红球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放入甲盒中，此时的概率是P1；从甲盒中取出一个红球和一个白球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出2个白球放入甲盒中，此时概率是P2；所以甲盒中白球增加了的概率是，所以甲盒中白球没有增加的概率是.(直接求法：（1）.取2白，进2白或1红1白或2红（2）取1红1白进1红1白或2红（3）取2红进2红)(3)从甲乙两个盒中各取2个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种：一是从甲盒中取2个白球与乙盒中取1个白球、一个红球进行交换；二是从甲盒中取出1个白球、1个红球与乙盒中取出2个红球进行交换所以概率是P，15048(次)20 (2011年高考广东卷)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其