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常微分方程的大致知识点(一)初等积分法1、线素场与等倾线2、可分离变量方程3、齐次方程(一般含有的项)4、一阶线性非齐次方程常数变易法,或5、伯努力方程令,则,可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次6、全微分方程若,则,(留意书上公式)若,则找积分因子,(留意书上公式)7、可降阶的二阶微分方程,令,令8、正交轨线族(二)毕卡序列,其余类推(三)常系数方程1、常系数齐次方法:特征方程单的实根,单的复根,重的实根,重的复根,2、常系数非齐次方法:三部曲。第一步求的通解第二步求的特解第三步求的通解如何求?当时,当时,当是一般形式时,其中W(.)是郎斯基行列式(四)常系数方程组方法:三部曲。第一步求的通解,。利用特征方程,并分情况讨论。第二步求的特解,(定积分与不定积分等价)第三步求的通解,(五)奇点与极限环1、分析方程组的奇点的性质,用特征方程:特征方程的根有3种情况:相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况:相异实根,当,鞍点,图像当,稳定结点,图像当,不稳定结点,图像第二种情况:相异复根,当,中心,图像当,稳定焦点,图像当,不稳定焦点,图像第三种情况:相同实根,当同时为0时,如果,不稳定临界结点,图像 如果,稳定临界结点,图像当不同时为0时,如果,不稳定退化结点,图像 如果,稳定退化结点,图像2、方程组的奇点的性质
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