专题2 函数的图象与性质

,2016考向导航,专题二函数的图象与性质,专题二函数的图象与性质,1必记概念与定理(1)单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)(2)奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)成立，则f(x)为偶函数),(3)周期性周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)；T是不为零的最小正数,2活用公式与结论(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期,3辨明易错易混点(1)单调性是函数在其定义域上的局部性质，奇偶性、周期性是函数在其定义域上的整体性质(2)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替(3)判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响(4)分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.,考点一函数的解析式与函数值,C,名师点评分段函数的函数值的求法，要先判断分段的条件对应的变量范围，然后代入相应的函数解析式进行求值,D,1设f(log2x)2x(x0)，则f(2)的值是()A128B16C8D256解析：令log2x2得x4，f(2)2416.,B,2设函数f(x)asinxx2，若f(1)0，则f(1)的值为()A0B1C2D1解析：f(1)0，asin1120，即asin11.f(1)asin(1)(1)2asin112.,C,考点二函数的单调性,(，8,名师点评(1)利用函数的单调性进行转化是求变量范围的有效方法(2)可借助数形结合思想列式求解,B,1如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么在区间7，3上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5解析：由奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，得在区间7，3上是增函数且最大值为5，故选B.,B,B,解析：依题意，函数f(x)在0，)上是减函数，由0f(2)f(3)，又f(2)f(2)，因此f(1)f(2)f(3)，故选A.,A,考点三函数的奇偶性,1,名师点评(1)若f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，函数图象关于原点对称；若f(x)是偶函数，则f(x)f(x)，函数图象关于y轴对称(2)当奇函数yf(x)在x0处有意义时，f(0)0.,1,B,2已知f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：一方面，若f(x)、g(x)均为偶函数，则f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是偶函数；,B,另一方面，若h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)不一定均为偶函数，事实上，若f(x)、g(x)均为奇函数，h(x)也是偶函数，因此，“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件，故选B.,3若f(x)(exex)(ax2bxc)是偶函数，则一定有()Ab0Bac0Ca0且c0Da0，c0且b0解析：设函数g(x)exex.g(x)exexg(x)，g(x)是奇函数f(x)g(x)(ax2bxc)是偶函数h(x)ax2bxc为奇函数即h(x)h(x)0恒成立，有ax2c0恒成立ac0.当acb0时，f(x)0，也是偶函数，选C.,C,考点四函数的最值,(经典考题)若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图象关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_解析点(1，0)，(1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x2对称，点(5，0)，(3，0)必在f(x)的图象上f(5)(125)(255ab)0，f(3)(19)(93ab)0.,16,联立，解得a8，b15.f(x)(1x2)(x28x15)(x1)(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x24x5)令tx24x(x2)244，则g(t)(t3)(t5)(t22t15)(t1)21616(t1)2，当t1时，f(x)max16.名师点评(1)利用函数的对称性，求出函数的解析式(2)将函数变型转化成基本初等函数是求函数最值的常用方法,解析：由于图象关于x0对称，所以求得a0，此时f(x)x4(b1)x2b，f(x)4x32(b1)x，当b1时，f(x)在(，0)上递减，在(0，)上递增，此时f(x)无极大值,4,解析：f(x)exex22.f(x)min2.,C,C,解析：因为当x1时，2x2恒成立，所以要使函数的最小值为2，则必须有当x1a，由1a2得a3.,3，),考点五函数的周期性,若定义在R上的偶函数f(x)的周期T2，x0，1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的根的个数是()A2B3C4D6解析由于f(x)是偶函数，且周期T2，画出yf(x)的图象与ylog3|x|的图象，如图共有4个交点，故选C.,C,名师点评根据函数的周期性的特点，作出函数的简图是解决有关周期性函数的有效方法,本问题中，f(x)是奇函数，x(0，1)时，f(x)x，f(0)f(1)0，其他条件不变，根有_个其他条件不变，方程g(x)lnx的根有_个,4,1,1设f(x)是周期为4的奇函数，当0x2时，f(x)x(2x)，则f(5)等于()A1B1C3D3解析：因为f(x)是周期为4的奇函数，所以f(5)f(54)f(1)f(1)1(21)1.故选B.,B,D,解析：由条件易知，函数f(x)为奇函数，且是周期为4的周期函数因为log232log220log216，所以4log2205，所以0log22041，,A,考点六函数的图象,(2015高考全国卷，5分)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为(),B,名师点评判断函数的图象的两种方法(1)根据函数的解析式描绘大致图象，有时根据一些特殊点进行判断；(2)根据运动变化的趋势走向描绘大致图象,有时取特殊位置,如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着BC，CD与DA运动记BOPx，将POB的面积表示为x的函数，则yf(x)的大致图象为(),C,1如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是(),C,解析：随着时