“田忌赛马”类博弈的最优策略风险的探讨

“田忌赛马”类游戏最优策略风险的探讨尹向飞陈柳钦(湖南商学院信息系，湖南长沙，410205 ) (天津社会科学院，天津，300191 )本文将风险引入n重赛马游戏，构建基于支付的风险模型，证明了n重赛马游戏支付风险的双重最优混合策略的存在性，并进行了实证分析。关键词： n重赛马游戏风险有界闭凸集支付风险双重最优混合策略中图分类编号 F12 文献识别码A 文章编号一、研究背景“田忌赛马”是经典的弱胜很多的例子，现实生活中有很多这样的例子，文章1详细记述研究了这样的游戏。 文章1首先给出了n重赛马游戏、1次n重赛马游戏、交换等定义和相关定理，下面回顾相关定义和结论。定义1游戏有两个局中人，简称局中人1，局中人2。 局中人1有“马”，所有的“马”比“马”跑得快的集合称为局中人1的第一个发表集，局中人2有“马”，所有的“马”构成的集合称为局中人2的第一个发表集，其中有两个不同。 共赛局在各局的比赛中，局中人1和局中人2从各自的首次发表中集中选出一匹马参加比赛，只有一匹马参加比赛。 在第局比赛中，局中人1和局中人2表示局中人1在第局比赛中获得的支付时，从各自的初期集中选择参选的局中人2在第局比赛中获得的支付。 很明显，局中人1的总支付是局中人2的总支付，这种游戏被简称为n重赛马游戏。很明显，完全信息下的n重赛马游戏与有限战略零和游戏相对应，其中I=1，2。 设局中人1的支付矩阵(后同)。 表示局中人1采取战略，局中人2采取战略时局中人1的支付。 每一行的和等于每一列的和，且每一行的和等于每一列的和，其中中央人2的支付矩阵为。文章1中同样给出了n重混合赛马策略的定义，由于任何n重混合赛马策略都与有限战略式零和游戏的混合策略相对应，所以可以在有限战略式零和游戏框架中探讨与n重混合赛马策略有关的问题。当然，在很多n重赛马游戏中，如果有多个最优策略，多个最优策略存在的话，我们可以选择最佳策略吗？ 针对这个问题，文章1没有提出相应的研究，本文将风险这一概念导入到n重赛马游戏中，探讨了最优策略的最佳策略。二、若干定理每个都对应于n重赛马游戏的有限战略零和游戏站中的人1、2的混合战略集(或战略集)，其定义如下分别称为局中人1、2的混合战略，称为一种混合形势，在这种混合形势下局中人1的支付期望如下灬如果存在最适合于n重赛马游戏的纯战略(s1、s2)，那么也可以将其视为局中人1、2分别以概率1选择战略s1、战略s2的混合战略。 因此，在该n重赛马游戏中，设置局中人1、2的最佳混合战略集分别如下此外，在存在至少一个最佳混合策略以将中心目标函数的最大值设定为来自策略的相关理论的中心目标函数的最小值也是常数时，可以证明两个定理：定理1是有界闭凸集。证明：显然是有界闭集，因为是其子集，所以是有界集合。二如果是的话，是目标函数的最大值，矛盾，因此是凸集合。现在已经证明是开集。 我们将分以下两种情况进行讨论：因为第一个案例是闭集，所以是开集，所以存在所以。第二种情况，其中()不完全成立或完全成立。 后者的情况是不可能的，否则我们能得到的最大值，矛盾。 那么，k至少存在一个并且设定为到超平面的最短距离显然可满足任何点。综合第一、二情况为闭集。 综合知道有界闭凸集。定理2是有界闭凸集。证明方法与定理1相同。三、建立和解决模型假设1 :局中人1，2是合理的，局中人1，2只需从各自的最佳混合策略集中选择混合策略，同时知道对方是合理的和对方的最佳混合策略集。在n重赛马游戏中，局中人1、2在直接游戏时，最终是选择纯战略，混合形势是只有在各自的纯战略集合中定义的概率，以不同的概率选择纯战略，局中人1、2每次游戏得到的支付不等于支付的期望值2分别所获得的支付是概率变量，而概率变量取相应值的概率是由混合形势直接确定的，即由概率分布x和y确定的，因为在站中的人1，2知道只满足方程(3)的支付是随机变量，所以该随机变量在金融研究中，作为风险的尺度多采用分散，但是在n重赛马游戏中人的支付分散是由混合形势决定的，所以可以用支付分散来测量混合形势的风险。 因为局里的人1、2得到的支付相互是反数，所以可以考虑其中一个。对于定义2的n重赛马游戏，其对应的有限策略游戏将有限策略游戏中人1的支付矩阵称为混合形势的风险，其中人1、2在n重赛马游戏中的最佳策略集合很明显的其中，局中人1的支付分散也是局中人2的支付分散，因此是局中人1、2共同面临的风险。 对此，我们可以得出以下定理定理3矩阵的各行之和等于，各列之和等于，各行之和等于各列之和。证明：只要证明b的任一行之和等于第一行之和，就在其中。局中人1采取策略，局中人2采取策略，局中人1的支付，对应的n重赛马游戏。 能够进行一系列的交换，如果与之的对应关系是一一对应的，则与之的支付是相同的(参照文章1的性质3.2 )。 n重赛马游戏对应局中人1的战略，局中人2采取战略，其支付为。 即，对于b矩阵的第I行的各要素在第一行中存在唯一的要素并与其对应相等，因此与一对一的对应关系成立。同样，可以证明各列之和相等。 因此，各行之和等于各列之和，且各行之和等于各列之和。假设2 :各局中的人是风险厌恶者除了假设1以外，各局中的人不知道其他任何信息。局中人1、2在各自的最佳混合策略中选择策略，因此各自的支付期望值是一定的，两人都应该选择尽可能减少混合形势风险的混合策略。 然而，假设2的存在几乎不可能最小化混合形势的风险(除非仅包含一个元素)。 因此，当当局者1采取混合战略x时，他期待着(在最不利的情况下)得到的风险因此，站中的人1应该选择混合策略x，(6)取最小值，以确保站中的人1面临的风险不高同局的人2应该选择混合战略y，可以保证局的人2面临的风险不高(7)式和(8)式有意义的理由如下因为是有界闭凸集，所以St是有界闭凸集、St的连续函数，所以对于固定的x作为有界闭凸集上的连续函数存在，并且也是有界闭凸集上的连续函数，所以存在最佳解。 同样，也存在最优解。 由于不需要求和的求解是相互独立的过程，所以最优解总是存在的。 为了区分考虑风险的最优混合策略和不考虑风险的最优混合策略，我们定义如下将定义3(7)称为到达最佳局的人1的最佳混合战略为局中人1的风险最小的最佳混合战略，将对应局中人2的对应混合战略称为局中人1的风险最小的最佳混合战略的对偶战略。 (8)到达最佳局的人2的最佳混合战略称为局中人2的风险最小的最佳混合战略，对应局中人1的对应混合战略称为局中人2的风险最小的最佳混合战略的对偶战略。其中，局中人1的风险最小的最佳混合策略，局中人1的风险最小的最佳混合策略的对偶策略，是局中人2的风险最小的最佳混合策略，局中人2的风险最小的最佳混合策略的对偶策略。 不一定一样。定义根据4局中人1的选择(7)最佳化，根据局中人2的选择(8)最佳化被称为n重赛马游戏风险最小化的最佳混合战略。 如果存在局中人1风险最小的最优混合策略的对偶策略和局中人2风险最小的最优混合策略的对偶策略，则称为=n重赛马游戏的支付风险双重最优混合策略。模型(7)、(8)的求解非常简单，实际上只要依次求解两个线性规划问题即可，最初的线性规划问题是带参数的线性规划问题。在定理4n重赛马游戏中，g是其对应的策略式零和游戏，局中人1、局中人2分别以相同概率在各自的策略集合中选择各策略，此策略是n重混合赛马游戏支付风险双重最佳混合策略。证明：从句子1的定理2可知，该n重混合赛马游戏基于支付的最优策略，以下证明是支付风险的双重最优混合策略。为了证明支付风险的双重最佳混合策略，只要证明(7)的和(8)的例子即可。首先证明，就是与证明同时成立。设b矩阵第一行之和为sumv，则根据定理3可知b矩阵的各行与各列之和为sumv，因此当当局者2选择策略时，局中人1选择的任意策略x有以下几种所以。当局者1选择了战略时，局者2选择的任意战略y中所以呢因此，成立，同样成立。 因此，支付风险的双重最优混合策略。四、实证分析田忌赛马中，田忌的支付如表1所示，以其支付行列。表1齐王的田忌战略原始战略往上爬进去下楼下到上面进去进去下到上面往上爬下中上中下楼下楼上中上中下-3-11-1-1-1进入上半场1-3-1-1-1-1上中下-11-3-1-1-1上下中央-1-1-1-31-1上中下-1-1-1-1-31下中上-1-1-11-1-3田忌所采取的策略是齐王所采取的策略，田忌的最佳混合策略集是齐王的最佳混合策略集(具体计算过程见文章1 )，然后计算混合形势的风险若代入(1a )然后，从田忌的观点出发，解(7)。 首先固定p，解(6)。当(6)的最佳解达到(1b )时，对(1c )用 0，1/6 求出最小值，(1c )的最佳解表示目标函数值为当(6)的最佳解达到(1b )时，对于(1d )，以1/6，1/3 求出最小值，(1d )的最佳解表示目标函数值为因此，是田忌风险最小的最佳混合策略，风险在当时无论取哪个值，目标函数值都是，所以任意是(7)的最佳解。同样，齐王风险最小的最优混合策略，风险当时无论取哪个值，目标函数值都是，因此任意是(8)的最优解。因此，制定田忌赛马风险最小的最佳混合策略和支付风险的双重最佳混合策略。从上述实例来看，虽然仅从支付的最大观点来看，最优混合策略较多，但从支付与风险并存的观点来看，最优混合策略是唯一的，实际上与实证结论十分一致。五、结论与展望本文将风险引入n重赛马游戏，证明了n重赛马游戏中支付风险的最优策略的存在性。 将风险引入n重赛马博弈对n重赛马博弈乃至有限战略博弈的理论研究具有非常重要的意义。 实证分析表明，基于风险的n重赛马游戏比普通的n重赛马游戏更现实。 当然，本文在将风险引入n重赛马游戏方面的研究只是初步探索，有很多方面需要进一步深入研究。参考文献1尹向飞，陈柳钦： 对“田忌赛马”类博弈的探讨 J，工业技术经济年第10期。2 fredericks.hillliieretc:introductiontooperationsresearch m 、Osborne、2005:989-1000。3周学松： 求矩阵对策全部解的单纯形法 J，数学的实践与认识年第9期。4 运筹学教材编写组编： 运筹学 M，北京：清华大学出版社，2003年版388-417页。thegropingofriskinbeststrategyofthekindoofhorse game冰淇淋-feichenliu-qin(informationfacultyofhunanbusinesscollege，ChangSha，410205 ) (tianjinacademyofsocialscience，tia