分类讨论问题的原因初探

高中代数分类讨论问题的原因初探分类讨论思想作为高考数学一种必考的数学思想，在高中数学教学中的地位可谓举足轻重，然而很多同学对分类讨论思想在什么情况下要用到，怎么样去使用分类讨论思想都还不甚了解。笔者在多年的高中数学教学中对该思想进行了一些梳理，以求起到抛砖引玉的作用。我认为造成高中代数分类讨论的常见的情形大体有如下几种。例如：已知f(x)(axax)(a0且a1)讨论f(x)的单调性 解：当a1时，a210，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数当0a1时，a210，且a1时，f(x)在定义域内单调递增总结：本题中指数函数的底数是字母a，因此对字母a进行讨论成为首先要解决的问题。因为当a1时和当0a0)，若f(x)ln x在 1，)上恒成立，求a的取值范围解：令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，则g(1)0，g(x)a，当1时，0a，则1x，故g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)1，故g(x)0，g(x)是增函数，g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故当x1时，f(x)ln x恒成立综上所述，所求a的取值范围为.总结：本题中若令g(x)0，得x=或x=1,由于给定区间为1，)，故与1必须进行大小比较，因此出现了对a进行讨论。1、 研究等比数列求和问题时必须对公比是否为1进行讨论例如：求数列1,1a,1aa2，1aa2an1的前n项和Sn.（a0）解：若a1，则通项an111n，于是Sn12n；若a1，则通项an1aan1(1an)，于是Snn(aa2an)。总结：本题中出现的数列通项中出现了字母a，求通项时就牵涉到等比数列求和，因此对公比a进行讨论成为必然，因为若不对公比a进行讨论就无法利用等比数列的求和公式。2、 研究集合之间的关系时对是否为空集必须进行讨论例如：已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围解当B时，有m12m1，则m2. 当B时，若BA，如图则解得2m4.综上，m的取值范围为m4.总结：本题中BA，则B或B，要分两种情况讨论3、 研究二次函数性质时对对称轴或区间必须进行讨论例如：求函数yx22ax1在x0,2时的值域解由已知可得，函数的图象开口向上，对称轴为xa. 当a0时，yminf(0)1. ymaxf(2)44a134a. 所以函数的值域为1,34a当0a1时，yminf(a)(a21)，ymaxf(2)34a，所以函数的值域为(a21)，34a当12时，yminf(2)34a，ymaxf(0)1，所以函数的值域为34a，1总结：本题中因为给出的二次函数图象开口向上，对称轴为xa.显然对称轴xa的位置与给定区间的位置关系决定了a必须与区间的端点0与2及区间的中点1进行大小比较。4、 研究不等式的解集时对根的大小必须进行讨论例如：求不等式12x2axa2(aR)的解集解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得：x1，x2.a0时，解集为；a0时，x20，解集为x|xR且x0；a0时，解集为.综上所述：当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.总结：本题中求解出一元二次方程的根和以后需要写出一元二次不等式的解集，由和的大小关系自然得到对字母a必须进行分类讨论。造成分