《点集拓扑学》第5章-§5.3-Lindeloff空间

5.3Lindeloff空间本节重点:掌握Lindeloff空间的定义；掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性我们先引进一些术语定义5.3.1设A*是一个集族，B是一个集合如果则称集族A*是集合B的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖设集族A是集合B的一个覆盖如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖设X是一个拓扑空间如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖在数学分析中读者所熟知的HeineBorel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中这使我们有必要放松一点限制定义5.3.2设X是一个拓扑空间如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖定理5.3.lLindeloff定理任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)对于每一个AA，由于A是一个开集，所以存在，使得AB令由于是B的一个子族，所以是一个可数族并且 这就是说，也是X的一个覆盖如果B，则存在AA使得B，因此BA于是对于每一个B；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且 所以是A的一个子覆盖此外由于是可数的，所以也是可数的于是开覆盖A有一个可数子覆盖这证明X是一个Lindefoff空间推论5.3.2满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立考虑包含着不可数多个点的可数补空间X例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理以下证明它是一个Lindeloff空间设A是它的一个开覆盖任意在A中取定一个非空集合A对于每一个x在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数的，易见它也覆盖X因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子定理5.3.3每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间对于每一个k，集族=B（x，1/k）|xX是X的一个开覆盖由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族以下证明它是X的一个基xX和x的任何一个邻域U，令k为任何一个大于2/的正数由于 是X的一个覆盖，根据定理2.6.2可见B是X的一个基因此X满足第二可数性公理例5.3.2Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子设X是一个不可数集，zX令=X-z，T 是一个可数集容易验证T是X的一个拓扑（请读者自己验证）拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间因为如果A是X的一个开覆盖，则存在AA使得zA于是是一个可数集对于每一个x，选取A使得x易见是A的一个可数子覆盖另外，容易验证T 这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间所以不是一个Lindeloff空间此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间有关的例子可见习题第4题尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的我们证明：定理5.3.4Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖则对于每一个AA存在X中的一个开集使得Y=A于是|AA是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为（即使可以找到一个子覆盖不包含，但添上一个元素也无何不可）这时易见，,其中，便是A的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖定理5.3.5设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间如果AX是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即 特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点证明设AX是一个不可数集如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个aA，存在a在X中的一个邻域，这说明单点集a是子空间A中的一个开集从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表作业:P149