第十六章 平行四边形(1)

第十六章平行四边形：1、 的四边形叫平行四边形。平行四边形是 对称图形， 对边 且 ，对角 ，两条对角线 。2、 的平行四边形叫矩形。矩形既是 对称图形，又是 对称图形，对边 且 ，四个角都是 ，两条对角线 且 。3、 的平行四边形叫菱形。菱形既是 对称图形，又是 对称图形，对边 且四边都 ，对角 ，两条对角线 且 ，每条对角线平分 。4、 的矩形叫正方形，或 的菱形叫正方形。正方形既是 对称图形，又是 对称图形，对边 且四边都 ，四个角都是 ，两条对角线 、 且 ，每条对角线 一组对角。5、 只有 的四边形叫梯形， 的梯形叫直角梯形， 的梯形叫等腰梯形。等腰梯形是 对称图形，两底边 ，两腰 ， 的两个底角相等，两条对角线 。：1、 概念理解上出错。如错误地认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形”是等腰梯形。如图，可以由条件作出两种图形: ABC1D和等腰梯形ABC2D。2、运用性质上出错。如错误地将“对角线相等”运用于菱形中。避免这种错误最根本是充分理解和熟练掌握各种图形的基本性质，还要注意在解题时不要凭空想象，自造条件。3、忽略隐含条件。（例题见“三、思想方法”之方程思想）一个问题的解决往往是从某处突破，发现并利用好隐含条件就是关键。4、 分析问题时不够全面。（例题见“三、思想方法”之分类讨论思想）只有通过平时解题时养成良好习惯，从不同角度、用不同方法分析问题，并多进行归纳、总结，才能掌握解题的技巧，避免不完整地解题。：1、 转化思想例：如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,B=60，AD=4，BC=7，则梯形ABCD的周长是 。解析：运用平移、旋转、翻折等图形变换方式，将所需的图形“变”到恰当的位置，从而使条件得到充分利用，这是解决几何图形问题最常用的基本方法。解：过点A作AEDC交BC于点E，则四边形AECD是平行四边形。所以AE=CD.因为AB=CD，所以AE=AB.因为B=60，所以ABE是等边三角形。所以BE=AB。因为AD=4，BC=7，所以BE=AB=3.所以梯形ABCD的周长是17.2、 方程思想例：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，DEF为等腰直角三角形，DEF=90，AD+CD=10，AE=2，求AD的长。解析：勾股定理与方程思想的结合，往往是解决求边长问题的有效方法。此题条件中隐含着DAE与EBF全等。解：设AD的长为,根据题意，得BE=10过点E作EGDF，垂足为点G。因为DEF为等腰直角三角形，易得GD=GF=GE，ADE=BEF。以点G为旋转中心将RtDAE逆时针旋转90，则RtDAE与RtEBF重合，所以DA=BE，即。解得=4，即AD=4.3、 分类讨论思想例：如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,BC=4AD=4，B=45,直角三角板含45角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F。若ABE为等腰三角形，则CF的长等于 。解析：ABE为等腰三角形时，有以下三种情况：（1） 如图，当角的顶点E移动到点E1，即AE1=BE1时，ABE1等腰三角形.B=45 ABE1为等腰直角三角形。在等腰梯形ABCD中，BC=4AD=4，BE1=,则CE1=AE1F1=45 CE1F1=45C=B=45 CE1F1为等腰直角三角形。根据勾股定理可算出CF1=（2） 如图，当角的顶点E移动到点E2，即BA=BE2时，ABE2等腰三角形，此时，CE2F2也为等腰三角形，即CE2=CF2.由（1）可利用勾股定理计算出AB=3，BE2=3 CE2=4-3，则CF2=4-3（3） 如图，当角的顶点E移动到点E3，即AE3=AB时，ABE3为等腰直角三角形，此时，CE3F3也为等腰直角三角形，即CE3=E3F3.AE3=AB=3，BE3=3，CE3=。由勾股定理得CF3=2综上，CF的长为或4-3或2.：1. 如图，在矩形ABCD中，E为边DC上一点，BFAE于F,且BF=BC，猜想线段AE、AB之间的大小关系，并说明理由。2.如图，过矩形ABCD的各个顶点作对角线的平行线，得四边形EFGH，试说明四边形EFGH是菱形。3.某居民区有一块等腰梯形空地，经测量得知，梯形上底与腰相等，下底是上底的2倍，现计划把这块空地划分成形状和大小完全相同的四个部分，种上不同颜色的花草来美化环境，请你帮助画出设计的草图。4.试用面积法探究出与之间的关系。5.下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_个.6.如图，已知四边形ABCD为正方形，四边形AEFC为菱形，EHAC,垂足为H。试说明FC=2EH.7.如图，在等腰直角三角形ABC中，C=90，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上。（1）试说明AE=BF；（2）若BC=，求正方形DEFG的边长8.如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB=60.连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使D1AC=60;连结AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使D2AC1=60;按此规律所作的第个菱形的边长为 。9.如图，在梯形ABCD中，ADBC,B=80，C=50，试说明AB+AD=BC.10. 如图，梯形中，点在上，点是的中点，且若求的长。11.阅读并解答下列问题：如图，四边形ABCD中，对角线ACBD于O，若AC=4，BD=3，则 ；若AC=10，BD=，则 ；根据以上计算规律，对于任意四边形ABCD，当ACBD,AC=，BD=时，其面积的计算公式为 。利用你发现的公式解决如下实际问题：如图，张村老王家有一块六边形的土地ABCDEF，经测量发现AB=DE，且ABDE,AF=CD,且AFCD,过D的对角线中，DFBD,BD=22m，DF=30m.请你求出六边形土地ABCDEF的面积。12.已知如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。（1） 写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种四边形的名称 ， .(2)如图，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE，连接AD、DC.DCB=30.试说明,即四边形ABCD是勾股四边形。ACBPr1r2hDCBAENFMCABPr1r3r2h13.阅读材料：如图，中，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接AP，则即： （定值）（1） 理解与应用:如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且，F为CE上一点，于M，于N，试利用上述结论求出