一个高效的设计可变分数延迟滤波器使用第一一阶微分器

一个高效的设计可变分数延迟滤波器使用第一一阶微分器 秀昌培，研究员，IEEE，并渐成井，高级会员，IEEE 1.介绍 在许多信号处理的应用中，需要一个采样周期的分数的延迟。这些应用有数字接收机的时间调整、天线阵波束指向、语音编码与合成、乐器造型、采样速率转换、时延估计、梳状滤波器设计、模拟数字转换等。1一10在指南论文 3 ， 4 提出了一个优秀的分数延迟滤波器设计的调查。给定的可变分数延迟滤波器所需的频率响应为 （1）延迟D是一个整数，并且p是一个变量或可调的分数在 - 0.5，0.5 。到目前为止，已经有几种方法来设计可变分数延迟的有限脉冲响应滤波器。在文献5中，用于近似本规范的杉木过滤器的传递函数被选择如下： （2）式中an(p)是p 的m次多项式函数，即 （3） Farrow结构可调延迟p分数延迟滤波器用（3）替换（2），传递函数可以重写作为 （4）式中。在文献 5 一10 提出了几种方法设计M + 1阶子滤波器G（k）(k=0,1,2.M)。这样滤波器H(z，p)接近所需的响应的Hd(w，p)。一旦M + 1子滤波器G（k）设计好，滤波器H（z，p）可以通过有效的Farrow结构实施，如文献5图1所示。 另一方面，数字微分器一直是一个非常有用的工具，在确定和估计一个给定信号的时间导数时。例如，在雷达和声纳应用中，使用微分器的位置测量计算速度和加速度，在文献【11】。在生物医学工程中，往往需要获得高阶导数的生物医学数据，特别是在低频范围，在文献【12】。到现在为止，已经开发了几种方法来设计无限脉冲响应（IIR）和FIR数字微分器，如雷米兹交换算法，文献【13】，滤波器法，文献 14 ，最小二乘法，文献 15 ， 16 ，二次规划，文献【17】，等。本文中，泰勒级数展开将用于将分数延时滤波器的设计问题转变为一个第一阶微分器，以便于FIR和IIR微分器的设计可以直接应用到的分数延时滤波器。该结构在系数存储方面是更有效的比图1中的Farrow结构滤波器，因为只有一个一阶微分器需要设计并不是M + 1子滤波器需要实现。最后，值得一提的是，实施一个分数延迟滤波器或插值的各阶微分器的想法不是新提出的。有关的研究可以在 18 和 19 中找到。然而，在本文中，只使用单一的一阶微分器的构思新颖。 2.设计方法在这一节中，我们将使用泰勒级数展开式将分数延迟滤波器的设计问题转换为一个一阶微分器的设计。其主要思想是基于以下证明。证明：如果一阶微分器的频率响应表示为和延迟D= Mn0，然后可以表明分数延迟滤波器Hd(w,p)可以被写为式中M，n0为两个任意整数，O（x）则表示一个术语，至少为零，当接近零。 证明:使用泰勒级数展开，可以表示为如下的多项式： （6）两边都乘以，我们可以得到以下等式：将D=Mn0代入（7）中，并且F（w）=，我们得到：由于分数阶数p的范围是【一0.5，0.5，当M非常大的时候，接近于零。因此，分数延迟滤波器的理想响应可近似以下形式：M越大，越接近。为了评估这种近似的性能，归一化均方根误差（NRMS）的定义为 很容易得出所以NRMS只取决于M和的选择。表I列出当 = 0.9时，M取不同值时的各种NRMS。从这个结果，可以发现，当m5，NRMS小于0.1%。因此，当m5时能更好地接近理想响应。现在，让我们来描述如何设计一个近似的可变滤波器。从（9）我们看到，如果我们设计一个滤波器G（z）接近一阶微分响应，那么，下面这个滤波器就很好地接近。基于（11），分数延迟滤波器可以由一阶微分算子G（Z）和M实现图2所示的整数延迟。因此，设计问题简化为一阶微分算子G（z）的设计。在文献中，已经提出了几种方法来设计FIR和IIR微分器G（z）文献【13】【17】。一旦G（z）设计并插入到结构中，如图2所示，我们可以很容易地调整分数，以获得所需的延迟响应。现在，结构图1中所提出的Farrow结构和图2中所提的方法在三个方面进行效率的比较。1） 计算复杂度：Farrow结构的M + 1子滤波器G（z），但是我们的结构有M 个G（z）滤波器和M个标量乘法。因此，两者几乎具有相同的运算复杂度。2） 滤波器时延：在Farrow结构，整数时延是固定的，预先指定的延迟，但我们的结构时延近似于Mn0。因此，当滤波器阶数M比较大，所提出的结构的延迟比Farrow结构延迟时间长。3） 存储要求：对于Farrow结构实现，有M + 1个子滤波器的系数要被存储在存储器中。然而，所提出的结构，只有一个单一的一阶微分系数需要被存储在存储器中。因此，在滤波器系数的存储条件上该结构比Farrow结构更有效。 3.设计实例 在这一部分中，例用MATLAB语言在IBM兼容的个人计算机来说明该设计方法的有效性。为了评估性能，最大绝对误差和均方根误差定义为其中误差在这个例子中，参数被选择为n0= 29，M= 7，= 0.9。因此，整数延迟D=Mn0 = 203。现在，最小二乘法（文献 16 ）是用来设计长度为2n0 + 1和通带截止频率的线性相位FIR微分器G（z）。图3显示了一阶微分算子G（z）的幅度响应。显然，G（z）在范围【0，0.9】内接近理想反应w。通过将设计的微分器G（Z）插入如图2所示的结构，可以得到可变分数延迟滤波器H（z，p）。图4和5分别描述了可变分数延迟滤波器H（z，p）分贝刻度和组设计的幅度响应，延迟频率范围在 0，0.9 ，p在-0.5,0.5。最大绝对误差为，均方根误差为由于错误是非常小的，该规范是很好的。最后，相同的算法复杂度下比较所提出的结构与传统的Farrow结构的性能是有趣的。因为滤波器Gk（z）在Farrow结构的非线性相位，要实现Gk（z）需要N + 1次的乘法。在上面的例子中，一阶微分算子G（z）是长度为2n0+ 1的线性相位，所以实现微分器G（z）不需要乘法。因此，当我们选择N+1 =n0，这两个结构的滤波器具有相同的算术复杂度。现在，用 7 中的传统的加权最小二乘法设计Farrow结构中的滤波器Gk（z），规范N= 30，D = N / 2 = 15，均匀加权。结果，最大绝对误差为4.778 x 10-3和均方根误差为7.84510-4。因此，在相同的算法复杂度下，该结构比Farrow结构具有更小的设计错误。然而，Farrow结构的延迟是15，但我们的结构的延迟是Mn0 = 203。