第二十二章 一元二次方程

初中数学第二十二章 一元二次方程 第二十二章 一元二次方程一、与一元二次方程相关的名词解释：等式 方程 方程的解 解方程 等式的性质 方程的同解原理等式：用等号连接的式子，叫等式（或：用等号表示相等关系的式子，叫等式）方程：含有未知数的等式叫方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解解方程：求方程解的过程叫解方程附：等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得的结果仍是等式方程的同解原理：方程同解原理1：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程方程同解原理2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程二、一元二次方程的定义及一般形式、四种常见解法（一）一元二次方程的一般形式：1、一元二次方程的定义：方程经过整理后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程四要点：未知数的个数限于1（即：一元）； 整理后未知数的最高次数是2（即：二次）； 是整式方程； 二次项系数a不为02、一元二次方程的一般形式： ax+bx+c0 (a0，且a、b、c为字母常数) ax是二次项，bx是一次项，c是常数项；a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；a是不等于的0实数，a0，即a可正，可负；b、c没有限制，即b可正、可负、可0；c可正、可负、可03、一元二次方程的一般形式的分类： 完全一般形式：ax+bx+c0 (a0) 因式分解法、公式法一元二次方程的一般形式 ax+bx0(a0) 因式分解法（提公因式法）ax+bx+c0 (a0) ax+c0直接开平方法、因式分解法(ac0) 不完全一般形式 ax0(a0) 直接开平方法，且x1x20（二）一元二次方程的四种解法：一元二次方程的四种解法分别为：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 1、直接开平方法：（理论依据：平方根的意义：x2a x） 适用于解形如：ax+c0(a0)的不完全一般形式的一元二次方程。即缺少一次项的一元二次方程和方程一边是一个含有未知数x的一次式的平方:(mx+n)，而另一边是一个非负数（或值为非负数的一个代数式），就可以用直接开平方法来解。2、 配方法：（即：配平方法，配成两个数的和或差的完全平方公式后，再用直接开平方法来解）配方法的步骤：1、将二次项系数化为1；2、移项；3、将方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；4、配方；5、开平方降次求解。配方法的作用：一元二次方程的配方法对于用来解答一元二次方程，则不是明智之举，在一元二次方程这一章中所起到的作用仅仅是用来推导出一元二次方程的求根公式。同时，求某些代数式的最大值或最小值、代数式的恒等变形时也用到配方法。此外，配方法在二次函数的极值、抛物线的平移等问题的研究中有较多的应用。配方法的原理是完全平方公式：a22abb2（ab）2 ，其关键是在把方程的二次项系数化为1的前提条件下，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，以便顺利完成配方后，再利用直接开平方法求解。 2、 公式法：公式法是以配方法为基础的，用配方法解一元二次方程的一般过程就是公式法的推导过程。 一元二次方程求根公式推导过程特别要注意以下两点：一是被开方数一定是非负数；二是在x+这一步中，应等于2|a|，但因为式子前面还有双重符号，所以无论a0，a0，最终结果都是一样的。在使用求根公式解方程时，必须注意以下几点：第一、求根公式是针对一元二次方程的一般形式而言的，在使用公式前，必须把所给的原方程化为一般形式，准确确定a、b、c的具体的值及求出b的值，在b0的情况下，然后再代入求根公式x求解第二、确定a、b、c的值后，应马上求出判别式的值（即b），并根据其符号判断方程根的存在性，如果方程没有实数根（即：b0），就没有必要继续往下进行，而是直接给方程下结论，所以原方程无解。第三、在有实数根的情况下（即：b0）便可把a、b、c的值代入求根公式，运用求根公式来解。这样，解方程的问题便转化为求代数式的值的问题了。在此过程中要特别注意计算的准确无误。4、因式分解法：在能分解因式的情况下，它是解一元二次方程的一种相当简便又行之有效的方法，特别是我们掌握了二次三项式的十字相乘法、平方差公式及两个数的和或差的完全平方公式后，用起来更是省时省力，得心应手，行之有效。用因式分解法的理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少要有一个为零；反过来，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零。能用因式分解法解一元二次方程的方程特征是：一元二次方程的一边是零，而另一边是易于分解成两个一次因式相乘的代数式。一般形如：ax+c0；ax+bx0；三、解一元二次方程基本指导思想： 解一元二次方程的基本指导思想是：降次。可分为：1、开平方降次；2、分解降次而解方程和方程组的总的指导思想是：消元降次转化四、一元二次方程解题注意事项及一元二次方程根的判别式及韦达定理1、运用一元二次方程有关知识解题时，必须至始至终考虑以下几点：1、a02、0 或：03、 ， 4、结合题目中其它的已知条件和隐含条件a0，则确保此方程为一元二次方程；0确保方程有两个实数根，0确保此方程没有实数根； ，在有实数根的前提下，至始至终有韦达定理（即永远满足和的关系、积的关系）；结合题目中其它的已知条件和隐含条件，因每道题有每一道题的已知条件，则具体问题具体分析，具体解决2、一元二次方程根的判别式和韦达定理：一元二次方程根的判别式（1）定义：式子b叫做一元二次方程ax+bx+c0 (a0)的判别式。通常用“”表示 （读作“德尔塔”）（2）一元二次方程根的判别式定理及逆定理0 一元二次方程有两个不相等的实数根；0 一元二次方程有两个相等的实数根；0 一元二次方程没有实数根从左边推出右边叫做一元二次方程根的判别式的性质定理；从右边到左边则是一元二次方程根的判别式的逆定理。（3）运用：运用之一： 不解方程，判断一元二次方程根的情况：若0 一元二次方程有两个不相等的实数根；若0 一元二次方程有两个相等的实数根；若0 一元二次方程没有实数根。反过来，我们也可以通过一元二次方程根的情况来判定判别式的符号。运用之二：根据一元二次方程确定根的情况，判定未知数的取值范围。一般来说，此时可先根据根的情况确定判别式的符号，从而得到关于未知系数的方程或不等式，由此即可进一步判定未知系数的取值情况运用之三：判定带字母系数的根的情况。这类题可先把判别式进行恒等变形，再通过判别式的取值情况给出结论运用之四：可以结合韦达定理判定一元二次三项式在实数范围内是否可以分解，判定一元二次方程根的符号，及利用判别式判定二次函数的符号，求二次函数的极值等等一元二次方程根与系数的关系（“一元二次方程根与系数的关系”又可以简称为“韦达定理”）韦达定理的内容：韦达定理指的是一元二次方程的根与系数的下述关系：设一元二次方程ax+bx+c0 (a0)的两个根是和，则 ，；这个定理的证明完全是由求根公式推导出来的。显然，对于简化了的一元二次方程x2pxq0，则有-p,q；即当二次项系数为1时，一元二次方程当判别式0时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项五、一元二次方程的实际运用一元二次方程的实际运用的应用题除了继续贯彻执行应用题贯用的“审、设、列、解、验、答”六大步的解题步骤之外，对于一元二次方程的应用题，我们主要讲解以下八种类形：1、传染问题；2、增长率问题；3、匀变速问题；4、面积问题；5、数字问题6、商品营销问题；7、存款问题；8、一元二次方程与几何问题；9、鸡场问题；10、有关n(n-1)=a或=a问题；11、浓度问题等等一元二次方程应用题专题之一-传染问题探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有 人患了流感。列方程 1xx(1x)121解方程，得 x1 ，x2 平均一个人传染了 个人，如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？答： 个人。练习1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每一支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出了多少小分支？初步估计：1、由于植物的主干、枝干、小分支的数目根据常理我们可以知道，它们理应是正整数，有实际意义。故列出方程求解后，所求得的解必是正整数。所以所求得的负整数解不合题意，必须舍去，此其一；其二：若所求得的方程的解不是整数解，而是小数解，分数解，甚至是无理数解。则可以据此断定所得到的方程无疑是列错了（前提是：所给出的题目没有出差错，也没有排板等其它错误），则应重新审题，重新列方程。 2、由于此题中所给的数据并不大，且我们知道题目的最终的实际答案必为正整数解，因此，我们可以用假设验证的方法与实践归纳的方法从假设每轮传染中平均一个人传染了1 人，或传染了2人，或传染了3人，或传染了4人，或传染了5人，或传染了6人，直至找到正确的答案为止。但这种方法一般只适合做填空题，或是选择题。并且题目中所涉及到的数据不能够太大。3、支干上长小分支的同时，原有的主干上在已长出分支的前提下，不会重新长出新的小支干。4、设每个支干长出了x小分支，可列方程为：1xx291，解得：x1 ，x2 ，由于小分支的数目不可能是负数，所以x 不合题意，舍去。练习2 某种植物的主干长出了若干数目的支干，每个支干又长出一半数目的小分支。主干、支干、小分支的总数是41，每个支干长出了多少个小分支？解法一：直接设未知数 解：设每个支干上长出x了个小分支，则主干上长出了2x个支干，根据题意得：（即：所谓“先写解，后写设，最后根据题意得”）12x2x241，解得：x1 5 ，x2 ；解法二：间接设未知数 解：设主干上长出了x个支干，则每个支干上长出了x个小分支，根据题意得： 1xx241 解得： x1 ，x2 因为支干的数目不可能是负数，所以x 不合题意，舍去答：每个支干上长出 了个小分支练习3 小明获得全国初中数学联赛一等奖的消息马上被传播开来。首先是王老师告诉了一定数量的同学，然后每个同学又告诉了同样数量的另一部分同学。两轮下来，共有111人知道了消息，你能求出王老师告诉了多少同学吗？练习4 有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信一个人要向 个人发送短信。练习5 专家预测，某人患H1N1流感，经过两轮传染后共有256人被传染，若设平均一个人传染x个人，可列方程为 练习3答案：设王老师告诉了x个同学，则:1xx2111，x111 （舍去） x210练习4答案：设每轮发送短信一个人要向x个人发送短信，则：xx290，x110，x29一元二次方程应用之二：增长率问题增长率问题一、求一个数的几倍、几分之几、百分之几是多少？用乘法，都是用这个数乘以几倍、几分之几、百分之几。例如：求100的两倍是多少？ 1002 求100的12%是多少？ 10012% 求100的是多少？ 100 求比100多100的的数是多少？ 100（1+） 求比100少100的12%的数是多少？ 100（112%）二、一元二次方程增长率问题的模型：1、a(1+x)2=b 或 a(1x)2=b2、a+a(1+x)+a(1+x)2=b 或 a+a(1x)+a(1x)2=b三、专题训练探究2 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为（50003000）21000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（60003600）21200（元），显然，乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）。成本下降额前一年成本本年成本成本下降率设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1x）元，两年后甲种药品成本为5000（1x）2元，于是有 5000（1x）23000解方程，得 x11+ x21因为药品成本的年下降率不可能超过100%，所以x1+ 不合题意，舍去乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的下降率。附两题：题1 党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头二十年（20012020）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（ ） A（1x）22 B（1x）24 C1+2 x2 D（1x）+2（1x）24题2 旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年，如果第一年的折旧率为20%，以后的折旧率有所变化，现知第三年末这辆轿车值7776万元，则这辆轿车第二年、第三年平均每年的折旧率为 练习：1、a(1+x) 或a(1x)以及a(1+x)2=b 或 a(1x)2=b 1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率。2、为执行“两免一补”政策，某地区2008年投入教育经费2500万元，预计2010年投入3600万元，设两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）A2500 x23600 B2500（1+x）23600C2500（1+x%）23600D2500（1+x）+2500（1+x）236003、某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x，根据题意，得（ ）A5000（1+x）27200B5000（1+x）+5000（1+x）27200C5000（1+x）27200D5000+5000（1+x）+5000（1+x）272004、某厂前年缴税30万元，今年缴税363万元，如果该厂缴税的年平均增长率为x，那么可列方程为（ ）A30（1+x）2363 B30（1x）2363C30（1+x）2363D30（1x）23635、某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）A1185 x2580 B1185（1x）2580C1185（1x2）580 D580（1+x）211856、随着新农村建设的进一步加快，某市农村居民人均纯收入增长迅速，据统计，2007年该市农村居民人均收入比上一年增长142%，若2006年该市农村居民人均纯收入为a元，则2007年该市农村居民人均纯收入可表示为（ ）A142a B142a C1142 a D0142 a 7、某商品原价a元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场物价调整，又一次降价20%，降价后这种商品的价格是（ ）A0968a B088a C108 a D a 8、某公司销售电视机的年利润由2007年的1000万元增加到2009年的1320万元，已知2008年的年利润比上一年增长的百分率是2009年的年利润比上一年增长的百分率的，2009年的年利润比上一年增长了（ ）A10% B20% C30%D25%8、某商品连续两次降价10%为m元，则该商品原价为（ ）A元 B112m元 C元D081m元9、已知：问题1，某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年平均增长的百分数；问题2，某厂的总产值用2年的时间在原来的a万元的基础上增加了b万元，求每年平均增长的百分数；问题3，某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分数。设每年平均增长的百分数为x，那么下面的三个方程：（1+x）2b, a（1+x）2a+b, （1+x）2b+1，按问题1、2、3的序号排列，相对应的是（ ）A BC D10、2005年武汉市政府工作报告预计当年该市农民人均纯收入将比上年增长6%，又据武汉统计信息网资料表明2004年该市农民人均纯收入为3955元，比上年增长131%，现有下列说法：2003年该市农民人均纯收入为元；预计2005年该市农民人均纯收入将达到3955（1+6%）元；预计2005年该市农民人均纯收入比2003年增长191%。其中正确的说法序号是（ ）A B C D11、根据国家税务总局报道，2004年全国税收收入完成25718亿元，比上年增长257%，占2004年国内生产总值（GDP）的19%根据以上信息，有下列说法：2003年全国税收收入约为25718（1257%）亿元；2003年全国税收收入约为亿元；若按相同的增长率计算，预计2005年全国税收收入约为25718（1+257%）亿元；2004年国内生产总值（GDP）约为亿元，其中正确的说法序号是（ ）A B C D13、我市某购物中心今年三月份的营业额为500万元，四月份营业额比三月份减少10%，从五月份起逐月上升，六月份达到648万元，求五、六月份营业额的月平均增长率？14、（2007，太原）市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调一些药品的价格。某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒。假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率是多少？练习：2、a+a(1+x)+a(1+x)2=b 或 a+a(1x)+a(1x)2=b 15、某经济开发区今年一月份工业产值为50万元，第一季度的总产值达1750万元，问二月、三月平均每月的增长率是 16、为了绿化家乡，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底，使三年植树的总数达1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数是多少？ 17、某经济技术开发区今年一月份工业产值达到50亿元，第一季度总产值为175亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意列方程得（ ）A50（1+x）2175 B50+50（1+x）2175C50（1+x）+50（1+x）2175 D50+50（1+x）+50（1+x）217518、为了解决下岗职工生活困难问题，在近两年的财政改革中，市政府采取一系列政策措施，据统计：2007年市财政用于解决下岗职工生活困难资金60万元，预计2009年将达到1764万元。求2007年到2009年市财政每年投入解决下岗职工生活困难资金的平均增长率？（参考数据：103210609；104210816；105211025；106211236）与其它知识的综合运用与统计知识相联系的应用题：1、 某农户承包荒山种了44棵苹果树，现已进入第三年的收获期。收获时，先随意采摘了5棵树上的苹果，称得每棵树上摘得的苹果重量如下：（单位：kg）35，35，34，39，37，（1）根据以上数据估计，这年苹果总产量为多少千克？（2）若市场上苹果售价为每千克5元，则这一年该农户苹果的总收入是多少元？（3）已知该农户第一年卖苹果的总收入为5500元，假设第二、第三年都比上一年增长了一个相同的百分数，根据以上估计，第二年的总收入是多少元？2、某养鱼户搞池塘养鱼已有三年，头一年放养鲢鱼苗20000尾，其成活率约为70%，在秋季捕捞时，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下（单位：千克）：0.8,0.9,1.2,1.3,0.8,0.9,1.1,1.0,1.2,0.8,(1)估计鱼的总产量是 千克；（2）如果把池塘鲢鱼全部卖掉，其市场售价为每千克4元，那么能收入 元，除去当年的成本16000元，第一年纯收入 元；（3）已知该养鱼户三年纯收入为132400元，求第二、第三年两年平均每年的增长率x是多少？可列方程为 3、某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件324元，（1）若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价02元，即可多销售10件，若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？一元二次方程应用之三：匀变速问题 匀变速问题包括匀加速问题和匀减速问题1、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25 m后停车，（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15 m时约用了多少时间（精确到01s）？2、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30m后停车，（1）汽车从刹车到停车用了多少时间？（2）刹车后汽车滑行到10 m时用了多少时间？3、一辆汽车从静止开始，匀加速到最大速度20m/s时，汽车前行了25 m。（1）汽车从静止至达到最大速度时用了多少时间？（2）汽车从静止至达到最大速度时平均每秒车速增加多少？（3）汽车从静止开始至前行16米用了多少时间？4、一个跳水运动员距水面10m高的跳台向上跳起08 m，最后以14m/s的向下运动速度入水，（1）运动员从起跳后的最高点到入水用了多少时间？（2）平均每秒运动员下落速度的变化量是多少（精确到01m/s）？（3）运动员从起跳后的最高点到离水面 5m时用了多少时间（精确到01s）？5、一名杂技演员从距地面蹦床10 m高的踏板上向上跳起06 m，最后以106 m/s的向下运动速度落在蹦床上（其它因素不考虑）。（1）该杂技演员从起跳后的最高点到落在蹦床上用了多少时间？（2）该杂技演员下落速度平均每秒增加多少？（3）该杂技演员从起跳后的最高点到离蹦床3 m时用了多少时间（精确到01秒）？ 6、一个小球以5m/s的速度向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动，（1）平均每秒小球的滚动速度减少了多少？（2）小球滚动到5 m约用了多少时间（结果保留小数点后一位）？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程 s、时间t的关系为st一元二次方程运用之四：面积问题面积问题：单一的几何平面图形有的有它自身的面积公式，这样的图形，其面积往往多直接由其面积公式直接求得即可；对于不规则的平面图形，则可以根据具体的实际图形将不规则的几何图形通过作辅助线，将图形适当的进行旋转、翻折、平移后化归为多个单一的几何图形，然后再考虑用：合并求和、去空求差、等积移补及三种方法的综合运用来解决问题。达到求出所要求的不规则的图形的面积的目的。另外，初中阶段面积问题的研究主要集中在两个地方：一是与一元二次方程有关的问题中多涉及到面积问题；二是在圆中多会涉及到一些与圆有关知识相关联的某些组合图形的面积。一、例讲：探究：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）分析：封面的长宽之比是272197，中央的长方形的长宽之比也应是97，设中央的长方形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左右边衬的宽度之比是： (279a) (217a)9(3a)7(3a)97设上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm，则中央的长方形的长为(2718x)cm，宽为 cm要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的长方形的面积是封面面的四分之三，于是可列出方程：(2718x) (2114x) 2721(1)整理，得：16x248x90解方程，得：x上、下边衬的宽均为 ，左右边衬的宽均为 根据问题的已知条件，x合乎实际，否则，取另一个根x，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长和宽如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试试。从题目中可以抽象出二个模型：一个是在矩形外添加一个矩形框，另一个是在矩形上设计一个小矩形。可以简称为“外镶”和“内镶”。二、练习：1、要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？2、要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为32如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？3、（内镶）有一间长20m，宽5m的会议室，在它的