第4章-蒙特卡罗仿真方法

航空航天中的计算方法,授课教师：陈琪锋中南大学航空航天学院,第4章蒙特卡罗仿真方法,2020/6/6,内容提要,4.1蒙特卡罗法的基本概念4.2蒙特卡罗法的理论依据4.3随机变量的抽样4.4随机模拟结果的统计分析参考资料：1闫晓东,许志.飞行器系统仿真实训教程,西北工业大学出版社，2013.Chp.6.2DavidL.Darmofal,ComputationalMethodsinAerospaceEngineering(LectureNotes),MIT,2005.Chp.15,16.3AverillM.Law,仿真建模与分析(FourthEdition),清华大学出版社,2009.Chp.1.5.,2020/6/6,4.1蒙特卡罗法的基本概念问题干扰和偏差客观存在，无法消除：风、推力误差、结构和装配误差如何分析干扰和偏差对飞行过程的影响？随机因素对系统运动影响的统计规律？蒙特卡罗（MonteCarlo）法通过随机变量的统计试验（或随机模拟），求解问题近似解的数值方法，又称统计试验法或随机模拟法。,4.1蒙特卡罗法的基本概念,2020/6/6,基本思想：对随机现象总体进行抽样，通过样本的仿真和分析，对结果进行统计。基本过程：对影响系统的随机现象根据其概率分布产生随机样本（抽样）；用确定性方法对样本进行分析；对随机样本分析结果进行统计，得到统计规律。,4.1蒙特卡罗法的基本概念,2020/6/6,蒙特卡罗法的基本步骤（1）建立系统数学模型；（2）确定系统中的各种随机扰动因素及概率分布；（3）产生各随机扰动变量的抽样值；（4）将随机扰动变量的抽样值输入系统数学模型，进行确定性仿真计算，得到扰动下系统运动过程；（5）重复（4），进行多次抽样仿真，得到系统运动过程子样；（6）对子样仿真结果进行处理，得到系统运动的统计特征量。,4.1蒙特卡罗法的基本概念,2020/6/6,4.2蒙特卡罗法的理论依据大数定理如果随机变量X1，X2，XN独立同分布，且具有有限期望值E(X)，则：即随机变量X的简单子样的算术平均值，当子样数N充分大时，以概论1收敛于它的期望值。子样均值与数学期望的偏差？,4.2蒙特卡罗法的理论依据,2020/6/6,方差：得：,4.2蒙特卡罗法的理论依据,2020/6/6,中心极限定理如果随机变量X1，X2，XN独立同分布，且具有有限非零的方差2，则当N充分大时，有：其中称为置信度，1-称为置信水平。蒙特卡罗方法（均值）的误差：0.50.050.003t0.67451.963,4.2蒙特卡罗法的理论依据,查标准正态分布表确定,精度提高一个数量级，试验次数N需增加2个数量级,2020/6/6,4.3随机变量的抽样4.3.1随机数的产生随机数序列0,1上服从均匀分布的随机变量的抽样序列。用专门的算法和程序可在计算机上生成伪随机数。平方取中法、线性同余法、加同余法、平方同余法确定的算法、给定初值（种子），确定的序列！需对伪随机数进行独立性、均匀性等统计性质的检验。周期长、统计性质好的伪随机数，用于模拟试验造成的误差不大。,4.3随机变量的抽样,2020/6/6,4.3.2离散随机变量的抽样设随机变量X，其概率分布为：可按轮盘赌的方式，由产生的随机数序列进行抽样。令：依次产生随机数ri，若则第i次抽样时随机变量X的抽样值为xk。,4.3随机变量的抽样,2020/6/6,4.3.3连续随机变量的抽样直接法（反变换法）0,1上服从均匀分布的随机变量R的分布函数：连续随机变量X的分布函数为F(x)是值域在0,1上单调增的连续函数，利用ri得到X的抽样值：函数F-1(R)可显示表示时，才能应用。,4.3随机变量的抽样,2020/6/6,例：指数分布随机变量的生成参数为a的指数分布的概率密度函数：累积分布函数：反函数：用随机数产生服从指数分布的随机变量X的抽样：,4.3随机变量的抽样,2020/6/6,函数变换法已知随机变量的联合概率密度函数为。随机变量的变换若逆变换存在且具有一阶连续偏导数，即,4.3随机变量的抽样,2020/6/6,则随机变量的联合概率密度函数为：,4.3随机变量的抽样,2020/6/6,例：正态分布随机变量的生成设X，Y独立服从标准正态分布：变换：随机变量和的分布函数：用反变换法得和的抽样：得到随机变量X，Y的抽样：,4.3随机变量的抽样,2020/6/6,4.4随机模拟结果的统计分析随机模拟试验的目的是获得所研究的随机现象的统计特性。把所要研究的随机现象用随机变量X表示，N次随机模拟试验得到的结果（抽样）序列为。X的数学期望和方差分别用样本均值和样本方差来统计：,4.4随机模拟结果的统计分析,2020/6/6,方差的估值为：数学期望的置信区间（置信水平为1-）为：事件概率的估计为：其中m为N次试验中事件出现的次数。,4.4随机模拟结果的统计分析,2020/6/6,作业：考虑炮弹在二维铅锤平面内的运动，假设地面为一水平面，重力加速度为9.8m/s2，大气密度为1.29kg/m3。炮弹质量30kg，阻力系数为0.1，迎风截面积为0.05m2。初速度为95,105m/s区间的均匀分布，发射角（初速度方向与水平面的夹角）服从均值为40deg、均方差为0.1deg的正态分布，炮弹初始高度