中学生数学学习中笼统归纳的思想的开展路径剖析

中学生数学学习中笼统归纳的思想的开展路径剖析林少杰（1953-），男，广东广州人，广州市教育局教育研讨室中学特级教员，首要从事中学数学教育研讨（广东广州510030）. 一、笼统归纳的逻辑进程在数学活动层面的期间假定 “笼统”一词，来源于拉丁语“abstracio”，意思为扫除、抽取.一般地，人在思想中把客观事物的某一方面特性与其他特性别离开来独自思考，即是笼统.笼统是与详细相对应的概念，详细是事物多种规定性的总和，因此笼统亦可知道为由详细事物的多种性质中抛弃了若干性质而固定了另一些性质的思想活动. 所谓归纳，是指在思想上把笼统出来的各种目标或表象之间的一起特色、实质特征联系起来的进程.科学的、正确的归纳即是把存在于事物和联系中的一起内容提取出来.笼统和归纳是相互联系、密不可分的，笼统是归纳的根底，没有笼统就不可以知道任何事物的实质特色，就无法归纳.归纳也是笼统进程中的所必需的一个环节，对一起点的归纳才可得到目标的实质特色. 在数学学习中，笼统和归纳被以为是数学活动中的首要逻辑办法，学生数学学习水平的凹凸与学生笼统归纳才干的凹凸有直接的联系1，研讨数学学习进程中学生进行笼统归纳时所发生的思想妨碍显得分外重要.从研讨数学活动进程的笼统归纳的思想妨碍层面来看，对笼统归纳不能仅逗留于笼统的知道，需求联系学生进行数学活动时的思想特征，把在实践中一般以归纳办法呈现的笼统归纳进程进行科学地分化，分分出它所包括的基本要素，研讨这些要素之间的彼此联系，知道其相对安稳的布局特征，知道这些基本要素的功用，进而为正确知道数学学习中进行笼统归纳时可以发生的思想妨碍供给依据2.基于此，研讨者在文献研讨和经历归纳的根底上，树立起学生在数学活动中，进行笼统归纳的进程之一般办法的假定系统，直接为研讨数学学习进程中笼统归纳的思想妨碍供给分类根底，以期有效地提醒数学教育中培育学生笼统归纳才干的科学规则. 提醒数学活动中笼统归纳进程的一般办法，先树立以下假定： 假定1数学活动中的笼统归纳进程由若干相对独立的期间构成. 阐明：数学活动中任一详细的笼统归纳的进程都不是乱七八糟地进行的，细心去剖析数学活动的笼统归纳进程可知，无论怎样简缩和跳动，皆需求经过抽离、挑选、扩大和承认等4个期间，这其间的某些期间在实践中或许可以简缩或甚至于不被主体察觉，但却是逻辑地存在于数学活动的笼统归纳的进程之中.研讨它们的存在和功用正是深入讨论数学学习中笼统归纳活动规则的重要内容. 假定2无论是什么种类的数学目标的学习，其笼统归纳进程的期间和智力活动成分是一样的，都是指向数学事物的“实质特色”和“一起特征”. 阐明：虽然学术界对知识的分类系统不一样3（例如安德森把知识分为现实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识，而其别人对知识的分类与安德森不尽一样），可是主体在数学活动中，其笼统归纳的指向都是数学事物的“实质特色”和“一起特征”. 以下剖析主体在数学活动进程中进行笼统归纳的4个期间. （1）笼统归纳的抽离期间 当主体开端对数学目标进行研讨时，首要要做的是依据数学活动的需求，经过比照、区别之后，抛弃数学目标的某些特色或特征而断定其间的一些特色或特征，并经过文字或符号言语将这些特色或特征表达出来（详细进程中一般表现为单个的内部言语）.这种将特色或特征从目标中抽取出来的进程，就称为笼统归纳的抽离期间.例如，将“长度”这一特色从“物体”这一目标中别离抽取出来.又如，关于数列2，4，6，8，10，12.调查其实质特色时，往往可以是先被抽出只需有些特征的一系列特色（这时被抽取的特色未必是该数学目标特有的或是实质的特色），对这些特色的表达一般以“判别”的办法呈现.例如：首末两个数的个位数是2；每个数都是偶数，且大于2；每一个数都比前一个数大2；榜首个数是2，从第二个数开端，每一个数与前一个数之差是2；第二个数与第五个数的和与头尾两个数之和持平. 这一期间，笼统归纳的目标可以是未被标准的言语精确表述的、在详细事物中的某些数学特色和特征.抽取的办法是力求用办法化的数学言语将被断定的数学特色和特征表述出来.这一期间显着受数学活动需求的分配，也受前此知识布景的制约.但这一期间所抽离出来的未必都是事物的数学方面的实质特色和一起特征. （2）笼统归纳的挑选期间 主体依据数学活动的需求，对在榜首期间顶用数学言语表述的特色和特征进行逻辑加工，别离从包括（由判别A可以推出判别B，则说A包括B）、并排（各个判别中触及的目标没有穿插有些）、对立（两个判别彼此对立）、相容（各判别中触及的目标有穿插有些）、等价（判别之间可以彼此推出）等各种逻辑办法去调查所面临的特色和特征，从中挑选出合理的有些.例如关于以上数列特色的调查，经过挑选，可知包括了其他几条，而其他几条都是并排的.这一期间，需求主体具有相对完善的逻辑布局，把握相应的知识，对用办法化表述的数学内容中的关联术语和联系有正确的知道和知道. （3）笼统归纳的假定、扩大期间 第二期间所挑选出来的特色和特征一般仍带有详细的被笼统归纳的详细事物的痕迹，例如对以上数列的特色中所挑选出的，仍富含详细数列中的“2”这一该数列的特别特色.第三期间的功用是要处置怎么将特别化为一般.主体面临经前两期间加工的数学特色或特征时，依照笼统归纳的需求，思想的方向是从特别扩大到一般，这种扩大的首要逻辑办法是归纳与类推.例如关于以上数列的特色，将特别目标中的“2”这一约束除掉，扩大成一般的等差数列的实质特色.但由于这种扩大仅仅从某些详细事物动身的扩大，能否带有一般含义仍需进一步调查，因此这种扩大带有假定的成分.关于才干强者，所作的笼统归纳可以趁热打铁，思想呈现出跳动. （4）笼统归纳的承认期间 关于在第三期间假定建立的数学目标的实质特色或一起特征，仍需求进行查验或证明，才干承认其能否契合数学学科的真理性标准.这时一般可以呈现两种状况：榜首种是经过查验或证明，否定了本来的假定，此刻，若是主体不抛弃，则只能再次重复以上的4个期间，批改本来的进程中的误漏，直至成功.第二种是经过查验或证明，承认了本来的假定.这里又分两种状况，其一是笼统归纳的定论是齐备的，即不含特例于定论之外；其二是笼统归纳的定论是不齐备的，即存在单个特例于定论之外，有必要作弥补界说或弥补阐明，进行“特例承认”.例如，在归纳出“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这一规则后，还有必要弥补界说 =1（a0）的状况. 二、数学学习进程中笼统归纳的思想妨碍分类系统 1.数学学习进程笼统归纳思想妨碍的操作性界说 为了使所研讨的笼统归纳进程具有显着的数学学习特征，使研讨中所指的“笼统归纳”的思想妨碍具有清晰的内在.在此给出数学学习进程中笼统归纳的思想妨碍的操作性界说：学生学习数学进程中笼统归纳的思想妨碍是指学生学习数学时，对用什物、模型、句子、符号或图画所表明的详细学习目标的数学实质特色和一起特征进行抽离、挑选、假定和承认时，来自于非学科知识缺漏的认知妨碍. 之所以要除掉由于数学知识的缺漏而导致的妨碍，是为了确保所研讨的妨碍的发生仅与学生的笼统归纳水平直接关联.只需研讨契合这一操作性界说的笼统归纳的思想妨碍，才干更有效地提醒学生学习数学时笼统归纳的思想规则. 2.数学学习进程中笼统归纳的思想妨碍的分类 在文献研讨和经历归纳的根底上，联系对学生的实践检测的剖析，树立起如下的笼统归纳的思想妨碍分类（共4类11种）系统4. （1）抽离期间的妨碍 抽取数学特色的知道不强（抽离的知道）； 抽取数学特色的思想方向不清晰（抽离的方向）：抽取的仅仅单个特色或非实质特征，而不是一起特色或实质特征；或只对给出目标的有些进行抽取，而没有作全体思考； 对所抽取的特色的办法化的表达不精确或许不谨慎而发生歧义（抽离的表达）. （2）挑选期间的妨碍 面临表述研讨目标的数学特色的句子（含符号句子）时，进行逻辑加工的知道不强（挑选的知道）； 在挑选研讨目标的数学特色时，对有必要遵从从特别到一般，从详细到笼统去挑选和提取才干得到实质特色的思想方向不清晰（挑选的逻辑方向）； 对表明等价联系和非等价联系（包括、并排、对立、相容）的判别句子的辨认与运用有艰难（挑选的逻辑根底及对应的言语表达）. （3）假定期间的妨碍 对用句子或式子表达的数学特色进行归纳和类推时，要力求使之具有一般性的知道不强（扩大的知道）； 在将详细的数学定论推行时，不懂得怎么用字母或文字去表明详细定论的一般办法（扩大的表达办法）. （4）承认期间的妨碍 面临已给出的或经挑选期间断定的一般定论时，盲目去进行查验或证明，以承认其正确性的知道不强（承认的知道）； 对怎么证明定论与怎么否定定论的逻辑标准不清晰（承认的逻辑）：经过结构反例去查验定论能否正确的逻辑功用不清晰；对由归纳或类推所得的定论需求进行严厉证明其正确性的逻辑需求不清晰； 按笼统的句子或符号去表达详细的数学目标时有艰难（承认的办法详细化）；不善于按假定的一般定论和笼统数学办法去结构出特别或详细的数学办法（承认时常常需求经过结构正例或反例去查验假定的定论）. 三、中学生数学学习进程中笼统归纳的思想妨碍检测系统的构建思路 不失一般性，研讨者对初中学生在数学学习中笼统归纳的思想妨碍进行了抽样检测，借此去讨论中学生在数学活动中笼统归纳的思想妨碍的表象和程度. 以下是检测的办法、进程和所得的定论. 首要，假定同一年龄期间、一样知识布景的学生在进行数学学习时所可以发生的笼统归纳的思想妨碍在全体上是共同的，在取样合理的条件下，经过样本研讨可以对全体的特征做出正确的判别. 其次，为了研讨中学生学习进程中笼统归纳的思想妨碍，依照前面临这些妨碍的分类，描绘出模仿数学学习进程的具有代表性的，需求进行笼统归纳才干处置的资料系列，作为对学生进行检测的标题.如前所述，这些标题都尽量注意到知识布景的合理性，以确保被试不会由于知识缺点而对要处置的疑问发生妨碍，使这些标题对中学生数学学习中笼统归纳的思想妨碍的确诊具有满意的信度. 例如，在笼统归纳的第四期间承认期间，主体常需求对得到的期间性定论用详细的数学办法去验证（详细见以下事例）. 事例：当主体经过不彻底归纳得到“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这个定论之后，为了查验该定论能否正确，做法之一即是可以用详细的数学办法去表达之，看看如此之后会发生对立否.所以，主体就可以列出各种详细式子去查验.一旦详细的表达式中呈现类似于 的状况时，主体才会导致对“负整数指数幂”的思考，然后才干够对“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这个定论得到完好的知道. 因此，用详细的数学办法去查验待证的期间性定论进程，是主体在进行笼统归纳活动中不可或缺的. 为知道学生在“承认期间”的进程中按某种笼统的需求去结构出详细的数学目标时可以发生妨碍的状况，可描绘如下标题去进行检测. 例题（该疑问要检测的是学生能否按笼统的句子去结构详细的数学办法，在这里是由给出的句子去结构详细的数列）：现有两个句子 A.一列数，其间的每一个数都是大于2的偶数； B.一列数，其间的首末两个数的个位数是2. （1）写出一列数，使之只契合这两个句子中的一个句子的需求而不契合另一个句子的需求； （2）写出一列数，使之一起契合这两个句子的需求. 被试在答复这个疑问时，对其间的数学知识应该是彻底把握的（测验之前要承认被试现已知道何谓“一列数”），这样描绘的检测标题才干到达检测的意图. 四、初中学生数学学习进程中笼统归纳的思想妨碍的确诊检测剖析及定论 研讨者用按以上的描绘准则描绘的检测题在广州市的6所普通中学进行测验，别离在初二、初三（首要在初三）共取样约600人次.成果表明，学生学习数学进程中笼统归纳的妨碍相当严峻，教员在教育中应当对此有满意的估量，许多在教员眼里是显着的东西，学生却有艰难. 以笼统归纳中的抽离知道为例，让初三的学生103人去完结以下的标题，时刻为4分钟. 标题：恳求出下面方格中的16个数的和. 现实上，只需学生具有先按这些数的特征去挑选算法的知道（抽离数学特征的知道），则不难断定优化核算的计划，并且就能高效地完结后续作业.因此这个的标题功用可视刁难抽离知道的检测. 测验成果如下：大体上有3类解法： 榜首种，能从全体上处置，把1+2+3+4+5+6+7+8凑成4个9之和，而把9，19，29，39凑整十后核算的有14人，占13.5%（其间有1人算错答案，占这种做法的人数的7.1%，占总人数的0.97%）； 第二种，能从全体上处置1+2+3+8的和，但只会直接核算9、19、29、39的两倍后相加的有53人，占51.5%（其间有9人算错答案，占这种算法人数的17.0%，占总人数的8.7%）； 第三种，不能从全体上处置，只会逐行按次序核算的有36人，占35.5%（其间有17人算错答案，占这种算法人数的47.2%，占总人数的16.5%）. 可见，三分之一以上的被试没有抽离的知道，而一旦具有了抽离的知道，则都能较轻易地断定优胜的算法并且据此核算出正确成果. 由此得到的定论是：抽离知道强的被试的核算过错率远小于抽离知道弱的. 再以笼统归纳中的抽离期间中的抽离方向为例： 标题：有3位同学别离去研讨1，3，5，7，9，11，13这一列数，他们都期望个人对这一列数的特色把握得更多，从下面他们各自得出的定论来看，你以为谁找到的特色最多？请说出理由. 甲：（1）都由奇数组成；（2）两数之间相差2；（3）其间有一个数是9；（4）有5个质数；（5）最小的数是1. 乙：（1）由最小是1，最大是13的7个互不持平的正奇数组成；（2）其间有一个数是9. 丙：由最小是1，最大是13的7个互不持平的正奇数组成. 关于以上的疑问，被试往往知道不到对事物实质特色的描绘才干够尽头对该事物特色的描绘，而把抽离数学特色的方向指向有些或非实质特色.他们以为找到最多特色的应是甲或乙，这样看的被试占初三被试人数的75.5%，占初二被试人数的85.5%. 又以挑选期间的挑选知道为例，关于以下疑问： 标题：写出契合以下4点需求的数列（排成一列的若干个数即是一个数列，例如：4，2，8，5，1，0，2即是一个数列）： A.其间有两个偶数； B.其间最小的数是2，其他的5个数都是2的倍数； C.其间有两个数是互为相反数； D.其间有一个数与另一个数的乘积是10. 若是被试能有关于信息的挑选知道，就能轻易地只写出一个数列便能一起满意以上4点需求.但不少被试却不具有这种挑选知道，呆板地按每点需求去写出不一样的数列，检测的成果是，初三被试学生这样做的占89.3%. 再以挑选期间的逻辑妨碍为例，学生的艰难更为遍及，关于以下疑问（此疑问实践上也触及“承认的办法化”，即可以按逻辑需求去结构出详细的数列）： 标题：几张赤色卡片上写着一样的一列数，几张蓝色卡片上写着一样的别的一列数，有几位同学各拿一张卡片（可以拿的是红卡片，也可以拿的是蓝卡片），他们别离说出了卡片中的那一列数的一些特色： 甲：我卡片中的数有正数，也有负数； 乙：我卡片中的数里有一个数是0； 丙：我卡片中的数里有一个数是2； 丁：我卡片中的数都是正奇数； 戊：我卡片中的数都大于3； 己：我卡片中的数里有两个奇数是互为相反数； 庚：我卡片中的数都大于-4. 依据他们说的，能断定持某种色彩卡片的同学是（），此刻持另一种色彩卡片的同学是（），不能断定持哪一种色彩卡片的同学是（）. 检测成果表明，不能正确写出成果的即使是初三被试学生占94.5%. 现实上，由丁说的可知，甲、乙、丙和己所持的卡片是同一种色彩，丁和戊所持的卡片色彩是与甲等人不一样的别的一种色彩；而庚所持的卡片不能断定是哪一种色彩. 而关于以下一般应视为简略的疑问，不能做出判别的，占初