实变函数论主要知识点

实变函数论主要知识点 第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限；练习： 证明；证明；2、 对等与基数的定义及性质；练习： 证明；证明；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： 证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ；0,1中有理数集的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ； （P为Cantor集）； 第二章 点 集 1、 度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。2、 ，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则 称z为E的聚点。内点:如果存在点P的某个邻域U(P)E，则称P为E的内点。3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习： ， ， ；= ；第三章 测 度 论1、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、 零测度集的例子和性质； 4、 可测集的例子和性质；练习： ， ；零测度集的任何子集仍为零测度集；有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；0,1中有理数集的相关结论；5、存在不可测集合；第四章 可 测 函 数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习： 第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习： 第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L积分的定义；练习： Direchlet函数在上的L积分2、可测函数L积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue控制收敛定理的内容和简单应用；4、L积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann可积的充要条件；练习： 上的Direchlet函数不是R-可积的；6、Lebesgue可积的充要条件：若是可测集合上的有界函数，则在上L-可积在上可测；练习： 上的Direchlet函数是L-可积的；设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。例1、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点+ 例2.边长为a和b(ab)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边a与液面平行位于