7 4 一阶线性微分方程

目录 上页 下页 返回 结束 第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式: )()( d d xQyxP x y 若若 Q(x) 0, 0)( d d yxP x y 若若 Q(x) 0, 称为称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 . 1. 解齐次方程解齐次方程 分离变量分离变量 两边积分得两边积分得 CxxPylnd)(ln 故通解为故通解为 xxP Cy d)( e 称为称为一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程 ; 目录 上页 下页 返回 结束 xxP Cy d)( e 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 齐次方程通解齐次方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解 xxP C d)( e 2. 解非齐次方程解非齐次方程 )()( d d xQyxP x y 用用常数变易法常数变易法: ,e)()( )( xxP xuxy d 则则 xxP u d)( e)(xP xxP u d)( e)(xQ 故原方程的通解故原方程的通解 xxQ xxPxxP de)(e d)(d)( CxxQy xxPxxP de)(e d)(d)( y 即即 即即 作变换作变换 xxP uxP d)( e)( CxxQu xxP de)( d)( 两端积分得两端积分得 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求方程求方程 的通解。的通解。 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解方程解方程 解解: 先解先解 ,0 1 2 d d x y x y 即即 1 d2d x x y y 积分得积分得 即即 2 ) 1( xCy 用用常数变易法常数变易法求特解求特解. ,) 1()( 2 xxuy则则 ) 1(2) 1( 2 xuxuy 代入非齐次方程得代入非齐次方程得 解得解得 Cxu 2 3 ) 1( 3 2 故原方程通解为故原方程通解为 令令 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 求一连续可导函数求一连续可导函数 使其满足下列方程使其满足下列方程: 提示提示: 令令 txu uufxxf x d)(sin)( 0 则有则有 xxfxfcos)()( 0)0(f 线性方程线性方程 )esin(cos 2 1 )( x xxxf 利用公式可求出利用公式可求出 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 一阶线性方程一阶线性方程 方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法. 方法方法2 用通解公式用通解公式 CxxQy xxPxxP de)(e )()(dd 2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如例如, 解方程解方程 yxx y 1 d d 目录 上页 下页 返回 结束 yx y x d d , yxu, xuy 1 d d d d x u x y 法法1. 取取 y 作自变量作自变量: 线性方程线性方程 法法2. 作变换作变换 则则 代入原方程得代入原方程得 , 1 1 d d ux u u u x u1 d d 可分离变量方程可分离变量方程 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 判别下列方程类型判别下列方程类型: x y yxy x y x d d d d ) 1( )ln(ln d d )2(xyy x y x 0d2d)() 3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy 提示提示: x x y y yd d 1 可分离可分离 变量方程变量方程 x y x y x y ln d d 齐次方程齐次方程 22 1 d d 2 x y xx y 线性方程线性方程 22 1 d d 2 y x yy x 线性方程线性方程 目录 上页 下页 返回 结束 1 (3) , (5) ,(7); 2 (1),(4) ; 3 ; 作业作业 第五节 习题课1 习题习题7-4 P315 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设有微分方程设有微分方程 , )(xfyy 其中其中 )(xf 10,2 x 1,0x 试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件 的连续解的连续解. 解解: 1) 先解定解问题先解定解问题 10, 2xyy 0 0 x y 利用通解公式利用通解公式, 得得 x y d e 1 d de2Cx x )e2(e 1 C xx x C e2 1 利用利用 0 0 x y得得 2 1 C 故有故有 ) 10(e22 xy x 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题再解定解问题 1,0xyy 1 1 e22) 1 ( yy x 此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为 ) 1(e 2 xCy x 利用衔接条件