2010江苏高考数学试卷含答案（校正精确版）

2010江苏一、填空题1、设集合，则实数_解析 ，2、设复数z满足z(23i)64i（其中i为虚数单位），则z的模为_解析 z(23i)2(32 i)，23i与32 i的模相等，z的模为23、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _解析4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_根在棉花纤维的长度小于20mm解析 100（000100010004）5305、设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a_解析 g(x)exaex为奇函数，由g(0)0，得a16、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析 法一x3代入1，得y，不妨设M(3，)，右焦点F(4，0)故MF4法二由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x1的距离比为离心率e2，故2，MF47、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_解析输出8、函数yx2(x0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_解析在点(ak，ak2)处的切线方程为：当时，解得，故9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_解析圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x5yc0的距离小于1，的取值范围是（13，13）10、定义在区间上的函数y6cosx的图像与y5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与ysinx的图像交于点P2，则线段P1P2的长为_解析线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx5tanx，解得sinx线段P1P2的长为11、已知函数，则满足不等式的x的范围是_解析 12、设实数x，y满足3xy28，49，则的最大值是 解析解法一：由3xy28，49，可知x0，y0，且，1681，由性质6，得227，故的最大值是27解二：设()m(xy2)n，则x3y4x2mny2nm，所以即又16 ()281，(xy2)1，227，故的最大值为2713、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则_解析（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性当AB或ab时满足题意，此时有：，（方法二），由正弦定理，得：上式14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是_解析设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是（方法二）利用函数的方法求最小值令，则：,故当时，S的最小值是二、解答题15、在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足()0，求t的值解析（1）（方法一）由题设知，则故故所求的两条对角线的长分别为、（法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，故D（1，4），故所求的两条对角线的长分别为BC、AD；（2）由题设知：(2，1)，由()0，得：，从而故或者：，16、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD900(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离解析 （1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，故PDBC由BCD900，得CDBC，又PDDCD，PD、DC平面PCD，故BC平面PCD因为PC平面PCD，故PCBC（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由（1）知：BC平面PCD，故平面PBC平面PCD于PC，因为PDDC，PFFC，故DFPC，故DF平面PBC于F易知DF，故点A到平面PBC的距离等于（方法二）体积法：连结AC设点A到平面PBC的距离为h因为ABDC，BCD900，故ABC900从而AB2，BC1，得的面积由PD平面ABCD及PD1，得三棱锥PABC的体积因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，故PDDC又PDDC1，故由PCBC，BC1，得的面积由，得，故点A到平面PBC的距离等于17、某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4m，仰角ABE，ADE(1) 该小组已经测得一组、的值，tan124，tan120，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，最大？解析 （1），同理：，ADABDB，故得，解得：因此，算出的电视塔的高度H是124m（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大因为，则，故当时，最大故所求的是m18、在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，设动点满足，求点的轨迹；设，求点的坐标；设，求证：直线必过轴上的一定点(其坐标与无关)【解】设点，则：、由得，化简得故所求点的轨迹为直线将，分别代入椭圆方程，以及，得：、，直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即联立方程组，解得：，故点的坐标为点的坐标为，直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、法一：当时，直线MN方程为：，令，解得：此时必过点；当时，直线方程为：，与轴交点为故直线必过x轴上的一定点法二：若，则由及，得，此时直线的方程为，过点若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，故直线过D点因此，直线必过轴上的点19设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列是公差为d的等差数列求数列an的通项公式(用n，d表示)；设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式SmSncSk都成立，求证：c的最大值为【解】由题意知，d0，(n1)d(n1)d又2a2a1a3，故3a2S3，即3(S2S1)S3，故3(d)2a1(2d)2，整理得，a12dd20，故d，a1d2，d(n1)dnd，Snn2d2当n2时，anSnSn1n2d2(n1)2d2(2n1)d2，适合n1情形故所求an(2n1)d2；(法一) 由SmSncSk，得m2d2n2d2ck2d2，即m2n2ck2，c恒成立又mn3k且mn，故2(m2n2)(mn)29k2，即，故c故c的最大值为(法二)由d及(n1)d得，d0，Snn2d2于是，对满足题设的m，n，k，mn，有SmSn(m2n2)d2(mn)2d2k2d2Sk故c的最大值cmax另一方面，任取实数a设k为偶数，令mk1，nk1，则m，n，k符合条件，且SmSn(m2n2)d2d2(k1)2(k1)2d2(9k24)于是，只要9k242ak2，即当k2(2a9)时，SmSnd22ak2aSk故满足条件的c，从而cmax因此的最大值为20设是定义在区间上的函数，其导函数为如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质设函数，其中为实数(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间已知函数具有性质给定，设为实数，且，若，求的取值范围解析(i)，因时，恒成立，故函数具有性质；(ii) (法一)：设，与的符号相同当时，故此时在区间上递增；当时，对于，有，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，故此时在区间上递增；(法二)：当时，对于，故，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而，当时，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增(法一)：由题意得：，又对任意的都有，故对任意的都有，在上递增又，当时，且， ，故，则或 ，若，则，故不合题意故，即，解得，故当时，符号题意当时，且 ，同理有，即，解得，故，综合以上讨论得：所求的取值范围是(法二)由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立故当时，从而在区间上单调递增当时，有，得，同理可得，故由的单调性知， ，从而有，符合题设当时，于是由及的单调性知，故 ，与题设不符当时，同理可得，进而得，与题设不符因此综合、得，所求的的取值范围是A 选修42：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设k为非零实数，矩阵M，N，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求k的值解由题设得，MN，由，可知A1(0,0)、B1(0，2)、C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|212所以k的值为2或2B 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值解析 将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0由题设知，圆心(1，0)到直线的距离为1，即有1，解得a8或a2，故a的值为8或222某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元设生产各种产品相互独立（1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率解析（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3，且 P（X10）0809072， P（X5）0209018， P（X2）0801008， P（X3）0201002 由此得X的分布列为：X10523P072018008002（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件由题设知，解得，又，得，或所求概率为答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为08192已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数解析证明(1)设三边长分别为a，b，c，cos A，因a，b，c是有理数，b2c2a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，故必为有理数，故cos A是有理数(2)当n1时，显然cos A是有理数；当n2时，因cos 2A2cos2A1，因为cos A是有理数，故cos 2A也是有理数；假设当nk(k2)时，结论成立，即cos