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数学与应用数学专业常微分方程试卷B题号一二三四五六七八总分题分2410101010121212100得分系名称班 级学 号姓 名一、 选择题（3分8=24分）1、（ A ）是一阶线性微分方程。 A B C D 2、（ B ）不是变量可分离微分方程。 A B C D3、下列等式中为微分方程的是 （ D ）AB C. D. 4、向量组在区间I上线性相关是它们对应的朗斯基行列式在I上为零的（ C ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件5、若方程存在满足的非零解，则为（ B ）A B C D6、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是（ B ）A BC D7、微分方程的通解为 （ B ） A B C D 8、方程的通过点（0，0）的解的最大存在区间是（ A ）A（-，+） B（-2，+） C（-，2） D（-2，2）二、求解方程。（10分）解：所给微分方程可写成 即有 上式两边同除以，得 由此可得方程的通解为 即 三、求微分方程 的通解（10分） 解：对应齐次方程的特征方程为 特征根，对应齐次方程通解 由于是特征方程的根，故方程有形如的特解将它代入原方程 2从而 A= 故通解 y=四、解微分方程 （10分）解：，特征根 ，齐次方程通解由于是单征根，故非齐次方程有形如的通解 将它代入已知方程，并比较x的同次幂系数得 故故通解为五、解微分方程 （10分）解：令y=xu 代入方程中， 得即当，分离变量和积分 得即 当，为方程解故方程为sin u=cx将y=xu回代上解的sin六、求解微分方程 的通解（12分）解： 齐次方程是得得出 故由于i是特征方程的单根，故所求特解应具有形式现将上式代入原方程 可求出因而，所求通解为 七、求解方程组： （12分）解：系数矩阵为A= 特征方程为 特征根为 当时 对应解为当时 对应两个线性无关解 形如并且、满足 由于 那么 解得两个线性无关向量 、 代入到中，得为零向量 于是的线性无关解 最后得到通解八、试讨论为何值时方程存在满足y的非零解。（12分）解：当时 方程通解是要使y，必须= =0, 于是=0当时 方程的通解是y=要使y必须+=0即=因此，要使即 0=将=代入到上式有 必须有=0 从而=0 。
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